A lapos térben vizsgált fontos geometriai objektum az egyenes. A háromdimenziós térben az egyenes mellett egy sík is található. Mindkét objektum kényelmesen meghatározható irányvektorok segítségével. Mi ez, hogyan használhatók ezek a vektorok az egyenes és a sík egyenleteinek meghatározására? Ezeket és más kérdéseket a cikk tárgyalja.
Közvetlen vonal és annak meghatározása
Minden tanulónak jó ötlete van arról, hogy milyen geometriai objektumról beszél. Az egyenes matematikai szempontból olyan pontok halmaza, amelyek tetszőleges páronkénti kapcsolatuk esetén párhuzamos vektorok halmazához vezetnek. A vonalnak ezt a definícióját arra használják, hogy két- és háromdimenziós egyenletet írjanak neki.
A vizsgált egydimenziós objektum leírásához különböző típusú egyenleteket használunk, amelyeket az alábbi listában sorolunk fel:
- általános nézet;
- parametrikus;
- vektor;
- kanonikus vagy szimmetrikus;
- szegmensekben.
E fajok mindegyikének van néhány előnye a többihez képest. Például egy szegmensben lévő egyenlet kényelmesen használható egy egyenes viselkedésének a koordinátatengelyekhez viszonyított tanulmányozásakor, egy általános egyenlet kényelmes egy adott egyenesre merőleges irány megtalálásakor, valamint annak szögének kiszámításakor. metszéspontja az x tengellyel (lapos esetben).
Mivel ennek a cikknek a témája egy egyenes irányítóvektorával kapcsolatos, a továbbiakban csak azt az egyenletet fogjuk figyelembe venni, ahol ez a vektor alapvető és kifejezetten szerepel, azaz vektorkifejezés.
Egyenes vonal megadása vektoron keresztül
Tegyük fel, hogy van valami v¯ vektorunk ismert koordinátákkal (a; b; c). Mivel három koordináta van, a vektor térben van megadva. Hogyan ábrázoljuk téglalap alakú koordinátarendszerben? Ez nagyon egyszerűen történik: mindhárom tengelyen egy szakaszt ábrázolunk, amelynek hossza megegyezik a vektor megfelelő koordinátájával. Az xy, yz és xz síkra visszaállított három merőleges metszéspontja lesz a vektor vége. Kezdete a pont (0; 0; 0).
A vektor adott pozíciója azonban nem az egyetlen. Hasonlóképpen megrajzolhatjuk v¯-t, ha az origóját a tér tetszőleges pontjába helyezzük. Ezek az érvek azt mondják, hogy lehetetlen egy adott vonalat vektor segítségével beállítani. Egy végtelen számú párhuzamos egyenesből álló családot határoz meg.
Moströgzítse a tér P(x0; y0; z0) pontját. És beállítjuk a feltételt: egy egyenesnek át kell haladnia P-n. Ebben az esetben a v¯ vektornak is tartalmaznia kell ezt a pontot. Az utolsó tény azt jelenti, hogy egyetlen sor definiálható P és v¯ használatával. A következő egyenletként lesz felírva:
Q=P + λ × v¯
Itt Q az egyeneshez tartozó bármely pont. Ez a pont a megfelelő λ paraméter kiválasztásával érhető el. A felírt egyenletet vektoregyenletnek, v¯-t pedig az egyenes irányvektorának nevezzük. Ha úgy rendezzük el, hogy áthaladjon P-n, és a hosszát a λ paraméterrel változtatjuk, akkor Q minden pontját egyenesként kapjuk.
Koordináta formában az egyenlet a következőképpen lesz felírva:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
És explicit (paraméteres) formában a következőket írhatja:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Ha a fenti kifejezésekben kizárjuk a harmadik koordinátát, akkor a síkon lévő egyenes vektoregyenleteit kapjuk.
Milyen feladatokhoz hasznos ismerni az irányvektort?
Ezek a feladatok általában az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének meghatározására szolgálnak. Az irányt meghatározó direkt vektort az egyenesek és egy pont és egy egyenes közötti távolság kiszámításakor is használjuk az egyenes síkhoz viszonyított viselkedésének leírására.
Kétaz egyenesek akkor lesznek párhuzamosak, ha irányvektoruk. Ennek megfelelően az egyenesek merőlegességét vektoraik merőlegességével igazoljuk. Az ilyen típusú feladatoknál elegendő a figyelembe vett vektorok skaláris szorzatát kiszámítani a válaszhoz.
Az egyenesek és pontok közötti távolság kiszámítására szolgáló feladatoknál az irányvektor kifejezetten szerepel a megfelelő képletben. Írjuk fel:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Itt P1P2¯ - a P1 és P pontokra építve 2 irányított szegmens. A P2 pont tetszőleges, a v¯ vektorral rendelkező egyenesen fekszik, míg a P1 pont az, amelyhez a távolságnak kell lennie. légy határozott. Lehet független vagy egy másik vonalhoz vagy síkhoz tartozhat.
Ne feledje, hogy csak akkor van értelme a vonalak közötti távolságot kiszámítani, ha párhuzamosak vagy metszik egymást. Ha metszik egymást, akkor d nulla.
A fenti képlet d-re egy sík és egy vele párhuzamos egyenes távolságának kiszámítására is érvényes, csak ebben az esetben P1 kell a síkhoz tartoznia.
Megoldunk több feladatot, hogy jobban megmutassuk, hogyan kell használni a figyelembe vett vektort.
Vektoregyenlet-probléma
Ismert, hogy egy egyenest a következő egyenlet ír le:
y=3 × x - 4
Be kell írnia a megfelelő kifejezéstvektoros forma.
Ez egy tipikus egyenes egyenlete, amelyet minden iskolás ismer, általános formában írva. Mutatjuk, hogyan kell vektoros formában átírni.
A kifejezés a következőképpen ábrázolható:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Látható, hogy ha kinyitod, megkapod az eredeti egyenlőséget. Most a jobb oldalát két vektorra osztjuk úgy, hogy csak az egyik tartalmazzon x-et, a következőt kapjuk:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Még csak ki kell venni x-et a zárójelekből, meg kell jelölni egy görög szimbólummal, és felcserélni a jobb oldal vektorait:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Megkaptuk az eredeti kifejezés vektoros alakját. Az egyenes irányvektor koordinátái (1; 3).
A vonalak egymáshoz viszonyított helyzetének meghatározásának feladata
Két sor van megadva a térben:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Párhuzamosak, keresztezik vagy metszik egymást?
A nullától eltérő vektorok (-1; 3; 1) és (1; 2; 0) útmutatóként szolgálnak ezekhez a sorokhoz. Fejezzük ki ezeket az egyenleteket parametrikus formában, és helyettesítsük az első koordinátáit a másodikkal. Ezt kapjuk:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3/2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Helyettesítsük be a talált λ paramétert a fenti két egyenletbe, a következőt kapjuk:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3/2 × λ-1=5
A γ paraméter nem vehet fel egyszerre két különböző értéket. Ez azt jelenti, hogy az egyeneseknek nincs egyetlen közös pontjuk, vagyis metszik egymást. Nem párhuzamosak, mivel a nullától eltérő vektorok nem párhuzamosak egymással (a párhuzamosságukhoz olyan számnak kell lennie, amelyet egy vektorral megszorozva a második koordinátáihoz vezetne).
A sík matematikai leírása
A térbeli sík beállításához egy általános egyenletet adunk:
A × x + B × y + C × z + D=0
Itt a latin nagybetűk meghatározott számokat jelölnek. Ezek közül az első három a sík normálvektorának koordinátáit határozza meg. Ha n¯-vel van jelölve, akkor:
n¯=(A; B; C)
Ez a vektor merőleges a síkra, ezért útmutatónak nevezik. Ennek ismerete, valamint a síkhoz tartozó bármely pont ismert koordinátái egyértelműen meghatározzák az utóbbit.
Ha a P(x1; y1; z1) ponthoz tartozik a síkot, akkor a D metszéspontot a következőképpen számítjuk ki:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Oldjunk meg néhány problémát a síkra vonatkozó általános egyenlet segítségével.
Feladat ehheza sík normálvektorának megtalálása
A sík meghatározása a következő:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Hogyan találhatunk neki irányvektort?
A fenti elméletből az következik, hogy az n¯ normálvektor koordinátái a változók előtti együtthatók. Ebben a tekintetben az n¯ megtalálásához az egyenletet általános formában kell felírni. Nálunk:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Akkor a sík normálvektora:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
A sík egyenletének elkészítésének problémája
Három pont koordinátái adottak:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Hogy fog kinézni az ezeket a pontokat tartalmazó sík egyenlete.
Három ponton keresztül, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz az egyeneshez, csak egy síkot lehet megrajzolni. Az egyenletének megtalálásához először kiszámítjuk az n¯ sík irányvektorát. Ehhez a következőképpen járunk el: keresünk két tetszőleges, a síkhoz tartozó vektort, és kiszámítjuk a vektorszorzatukat. Ez ad egy vektort, amely merőleges lesz erre a síkra, azaz n¯. Nálunk:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Vegye az M1 pontot a rajzoláshozsík kifejezések. Ezt kapjuk:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Általános típusú kifejezést kaptunk egy térbeli síkra úgy, hogy először meghatároztunk egy irányvektort.
A keresztszorzat tulajdonságot meg kell jegyezni a síkokkal kapcsolatos feladatok megoldása során, mivel ez lehetővé teszi egy normálvektor koordinátáinak egyszerű meghatározását.
