A síkok párhuzamosságának és merőlegességének meghatározásához, valamint ezeknek a geometriai objektumoknak a távolságának kiszámításához kényelmes az egyik vagy másik típusú numerikus függvény használata. Milyen problémákra célszerű a sík egyenletét szakaszokban használni? Ebben a cikkben megvizsgáljuk, mi ez, és hogyan kell használni gyakorlati feladatokban.
Mi az egyenlet vonalszakaszokban?
Egy síkot többféleképpen is meg lehet határozni a 3D térben. Ebben a cikkben ezek közül néhányat adunk meg különféle típusú problémák megoldása során. Itt részletes leírást adunk az egyenletről a sík szegmenseiben. Általában a következő formában van:
x/p + y/q + z/r=1.
Ahol a p, q, r szimbólumok bizonyos számokat jelölnek. Ez az egyenlet könnyen lefordítható általános kifejezésre és a síkra vonatkozó numerikus függvények más formáira.
Az egyenlet szakaszokban történő felírásának kényelme abban rejlik, hogy tartalmazza a sík és a merőleges koordinátatengelyek metszéspontjának explicit koordinátáit. Az x tengelyenaz origóhoz képest a sík levág egy p hosszúságú szegmenst, az y tengelyen - egyenlő q-val, a z-en - r hosszúságú.
Ha a három változó valamelyike nem szerepel az egyenletben, akkor ez azt jelenti, hogy a sík nem megy át a megfelelő tengelyen (a matematikusok szerint a végtelenben metszi).
Ezután itt van néhány probléma, amelyekben megmutatjuk, hogyan kell dolgozni ezzel az egyenlettel.
Az egyenletek általános és szegmenseinek közlése
Ismert, hogy a síkot a következő egyenlőség adja:
2x - 3y + z - 6=0.
A sík általános egyenletét szakaszokban kell felírni.
Ha hasonló probléma merül fel, ezt a technikát kell követni: a szabad tagot átvisszük az egyenlőség jobb oldalára. Ezután a teljes egyenletet elosztjuk ezzel a taggal, és megpróbáljuk az előző bekezdésben megadott formában kifejezni. Nálunk:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
A szegmensekben megkaptuk a sík egyenletét, kezdetben általános formában. Észrevehető, hogy a sík 3, 2 és 6 hosszúságú szakaszokat vág le az x, y és z tengelyekre. Az y tengely a negatív koordináta-területen metszi a síkot.
Ha egy egyenletet szegmensekben állítunk össze, fontos, hogy minden változó előtt legyen egy „+” jel. Csak ebben az esetben az a szám, amellyel ez a változó el van osztva, mutatja a koordináta levágását a tengelyen.
Normálvektor és pont a síkon
Ismert, hogy bizonyos síknak van irányvektora (3; 0; -1). Az is ismert, hogy áthalad az (1; 1; 1) ponton. Ehhez a síkhoz írjon fel egy egyenletet szegmensekben.
A probléma megoldásához először ennek a kétdimenziós geometriai objektumnak az általános alakját kell használnia. Az általános forma a következőképpen írható:
Ax + By + Cz + D=0.
Az első három együttható itt a vezetővektor koordinátái, ami a feladatmeghatározásban van megadva, azaz:
A=3;
B=0;
C=-1.
Még meg kell találni a D szabad kifejezést. Meghatározható a következő képlettel:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Ahol az 1-es indexű koordinátaértékek a síkhoz tartozó pont koordinátáinak felelnek meg. Értékeiket a probléma feltételéből helyettesítjük, így kapjuk:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Most már felírhatod a teljes egyenletet:
3x - z - 2=0.
A kifejezés egyenletté alakításának technikáját a sík szegmenseiben már bemutattuk fent. Alkalmazza:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Megérkezett a válasz a problémára. Vegye figyelembe, hogy ez a sík csak az x és a z tengelyt metszi. y esetén ez párhuzamos.
Két egyenes vonal határoz meg egy síkot
A térgeometria során minden tanuló tudja, hogy két tetszőleges egyenes egyedileg határoz meg egy síkotháromdimenziós tér. Oldjunk meg egy hasonló problémát.
Két egyenes egyenlet ismert:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
A sík egyenletét szakaszokban kell felírni, ezeken az egyeneseken átmenve.
Mivel mindkét egyenesnek a síkban kell feküdnie, ez azt jelenti, hogy a vektoruknak (vezetőknek) merőlegesnek kell lenniük a sík vektorára (vezetőjére). Ugyanakkor ismeretes, hogy tetszőleges két irányított szakasz vektorszorzata adja az eredményt a harmadik, a két eredetire merőleges koordináta formájában. Ezt a tulajdonságot figyelembe véve megkapjuk a kívánt síkra merőleges vektor koordinátáit:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Mivel tetszőleges számmal szorozható, ez az eredetivel párhuzamos új irányított szakaszt képez, a kapott koordináták előjelét lecserélhetjük az ellenkezőjére (szorozzuk meg -1-gyel), így kapjuk:
(1; 2; 1).
Ismerjük az irányvektort. Marad az egyik egyenes tetszőleges pontja, és fel kell készíteni a sík általános egyenletét:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Ezt az egyenlőséget szegmensekben kifejezve lefordítva a következőket kapjuk:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Így a sík mindhárom tengelyt metszi a koordinátarendszer pozitív tartományában.
Három pont és egy sík
Akárcsak két egyenes, három pont egyedileg határoz meg egy síkot a háromdimenziós térben. A megfelelő egyenletet szakaszokban írjuk fel, ha a síkban elhelyezkedő pontok alábbi koordinátái ismertek:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Tegyük a következőket: számítsuk ki két tetszőleges, ezeket a pontokat összekötő vektor koordinátáit, majd keressük meg a síkra merőleges n¯ vektort a talált irányított szakaszok szorzatának kiszámításával. Ezt kapjuk:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Vegyük példának a P pontot, állítsuk össze a sík egyenletét:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 vagy z=0.
Egy egyszerű kifejezést kaptunk, amely megfelel az xy síknak az adott derékszögű koordinátarendszerben. Nem írható szegmensbe, mivel az x és y tengely a síkhoz tartozik, a z tengelyen levágott szakasz hossza pedig nulla (a (0; 0; 0) pont a síkhoz tartozik).
