Sokan, akik szembesülnek a „valószínűségelmélet” fogalmával, megijednek, és azt gondolják, hogy ez valami elsöprő, nagyon összetett dolog. De ez tényleg nem olyan tragikus. Ma megvizsgáljuk a valószínűségszámítás alapfogalmát, és megtanuljuk, hogyan oldjunk meg problémákat konkrét példák segítségével.
Tudomány
Mit vizsgál a matematikának egy olyan ága, mint a „valószínűségszámítás”? Megjegyzi a véletlenszerű események és mennyiségek mintáit. A tudósok először a tizennyolcadik században érdeklődtek a kérdés iránt, amikor a szerencsejátékot tanulmányozták. A valószínűségszámítás alapfogalma egy esemény. Minden olyan tény, amelyet tapasztalat vagy megfigyelés állapít meg. De mi a tapasztalat? A valószínűségszámítás másik alapfogalma. Ez azt jelenti, hogy a körülményeknek ez az összetétele nem véletlenül, hanem meghatározott célból jött létre. Ami a megfigyelést illeti, itt a kutató maga nem vesz részt a kísérletben, hanem egyszerűen tanúja ezeknek az eseményeknek, semmilyen módon nem befolyásolja a történéseket.
Események
Megtanultuk, hogy a valószínűségszámítás alapfogalma egy esemény, de nem vettük figyelembe az osztályozást. Mindegyik a következő kategóriákba sorolható:
- Megbízható.
- Lehetetlen.
- Véletlen.
Nem számíthogy a tapasztalat során milyen eseményeket figyelnek meg vagy hoznak létre, ezek mind ennek a besorolásnak a tárgyát képezik. Felajánljuk az egyes fajok külön-külön történő megismerését.
Bizonyos esemény
Ez egy olyan körülmény, amely előtt megtették a szükséges intézkedéseket. A lényeg jobb megértése érdekében jobb néhány példát hozni. A fizika, a kémia, a közgazdaságtan és a felsőfokú matematika e törvény hatálya alá tartozik. A valószínűségszámítás olyan fontos fogalmat tartalmaz, mint egy bizonyos esemény. Íme néhány példa:
- Dolgozunk, és bér formájában kapjuk a javadalmazást.
- Jól vizsgáztunk, sikeresen teljesítettük a versenyt, ezért jutalmat kapunk oktatási intézménybe való felvétel formájában.
- Pénzt fektettünk a bankba, szükség esetén visszakapjuk.
Az ilyen események megbízhatóak. Ha minden szükséges feltételt teljesítettünk, akkor biztosan a várt eredményt kapjuk.
Lehetetlen események
Most a valószínűségszámítás elemeit vizsgáljuk. Javasoljuk, hogy térjünk át a következő eseménytípus, nevezetesen a lehetetlen magyarázatára. Először is határozzuk meg a legfontosabb szabályt – a lehetetlen esemény valószínűsége nulla.
Ettől a megfogalmazástól nem lehet eltérni a problémák megoldása során. Az egyértelműség kedvéért íme példák az ilyen eseményekre:
- A víz plusz tíznél megfagyott (ez lehetetlen).
- Az áram hiánya semmilyen módon nem befolyásolja a termelést (ugyanúgy lehetetlen, mint az előző példában).
További példákNem érdemes idézni, hiszen a fentebb leírtak nagyon jól tükrözik ennek a kategóriának a lényegét. A lehetetlen esemény soha semmilyen körülmények között nem fog megtörténni az élmény során.
Véletlenszerű események
A valószínűségszámítás elemeit tanulmányozva különös figyelmet kell fordítani erre az eseménytípusra. Ezt tanulmányozza a tudomány. A tapasztalatok eredményeként történhet valami, vagy nem. Ezenkívül a teszt korlátlan számú alkalommal megismételhető. Élénk példák:
- Az érme feldobása élmény vagy próba, a fejléc egy esemény.
- A labda vakon kihúzása a zsákból próba, a piros labda elkapása esemény és így tovább.
Korlátlan számú ilyen példa lehet, de általában a lényegnek világosnak kell lennie. Az eseményekről szerzett ismeretek összegzésére és rendszerezésére táblázatot adunk. A valószínűségszámítás az összes bemutatott közül csak az utolsó típust vizsgálja.
| cím | definíció | példa |
| Megbízható | Események, amelyek bizonyos feltételek mellett 100%-os garanciával fordulnak elő. | Jó felvételi vizsgával bekerül egy oktatási intézménybe. |
| Lehetetlen | Események, amelyek soha semmilyen körülmények között nem fognak megtörténni. | Plus harminc Celsius-fok mellett esik a hó. |
| Véletlenszerű | Egy olyan esemény, amely egy kísérlet/teszt során előfordulhat, de előfordulhat, hogy nem. | Elütés vagy kihagyás, amikor kosárlabdát dob a karikába. |
Törvények
A valószínűségszámítás egy olyan tudomány, amely egy esemény bekövetkezésének lehetőségét vizsgálja. A többihez hasonlóan ennek is vannak szabályai. A valószínűségszámítás következő törvényei léteznek:
- Valószínűségi változók sorozatainak konvergenciája.
- A nagy számok törvénye.
A komplex lehetőségének kiszámításakor egyszerű eseményekből álló komplexumot használhat az eredmény egyszerűbb és gyorsabb elérése érdekében. Vegyük észre, hogy a valószínűségszámítás törvényei könnyen bebizonyíthatók néhány tétel segítségével. Kezdjük az első törvénnyel.
Valószínűségi változók sorozatainak konvergenciája
Ne feledje, hogy többféle konvergencia létezik:
- A valószínűségi változók sorozata valószínűség szerint konvergál.
- Szinte lehetetlen.
- RMS konvergencia.
- Konvergencia az elosztásban.
Tehát menet közben nagyon nehéz a lényegre térni. Íme néhány meghatározás, amelyek segítenek megérteni ezt a témát. Kezdjük az első pillantással. Egy sorozatot valószínűség szerint konvergensnek nevezünk, ha a következő feltétel teljesül: n a végtelenbe hajlik, a szám, amelyre a sorozat hajlik, nagyobb, mint nulla és közel egyhez.
A következő nézetre lépve szinte biztosan. Azt mondjáka sorozat szinte biztosan konvergál egy valószínűségi változóhoz, ahol n a végtelenbe, P pedig egyhez közeli értékhez tart.
A következő típus a gyökér-négyzetes konvergencia. SC-konvergencia használatakor a vektoros véletlenszerű folyamatok tanulmányozása a koordináta véletlenszerű folyamataik tanulmányozására redukálódik.
Az utolsó típus marad, vessünk egy pillantást rá, hogy közvetlenül a problémamegoldás felé haladjunk. Az elosztási konvergenciának van egy másik neve - „gyenge”, az alábbiakban elmagyarázzuk, miért. A gyenge konvergencia az eloszlásfüggvények konvergenciája a határeloszlási függvény minden folytonossági pontján.
Mindenképpen teljesítse az ígéretet: a gyenge konvergencia abban különbözik a fentiektől, hogy a valószínűségi változó nincs megadva a valószínűségi téren. Ez azért lehetséges, mert a feltétel kizárólag eloszlási függvények felhasználásával jön létre.
A nagy számok törvénye
E törvény bizonyításához kiváló segítséget nyújtanak a valószínűségszámítás tételei, például:
- Csebisev egyenlőtlensége.
- Csebisev tétele.
- Általánosított Csebisev-tétel.
- Markov tétele.
Ha mindezeket a tételeket figyelembe vesszük, akkor ez a kérdés több tucat lapra is elhúzódhat. Fő feladatunk a valószínűségelmélet gyakorlati alkalmazása. Meghívjuk Önt, hogy ezt most azonnal tegye meg. De előtte nézzük meg a valószínűségszámítás axiómáit, ezek lesznek a fő asszisztensek a problémák megoldásában.
Axiómák
Az elsővel már találkoztunk, amikor a lehetetlen eseményről beszéltünk. Ne feledjük: a lehetetlen esemény valószínűsége nulla. Egy nagyon szemléletes és emlékezetes példát adtunk: harminc Celsius-fok hőmérsékleten esett a hó.
A második így hangzik: megbízható esemény történik eggyel egyenlő valószínűséggel. Most pedig mutassuk meg, hogyan kell írni matematikai nyelven: P(B)=1.
Harmadik: Egy véletlen esemény előfordulhat vagy nem, de a lehetőség mindig nullától egyig terjed. Minél közelebb van az érték egyhez, annál nagyobb az esély; ha az érték megközelíti a nullát, annak a valószínűsége nagyon kicsi. Írjuk le ezt matematikai nyelven: 0<Р(С)<1.
Vegyük az utolsó, negyedik axiómát, amely így hangzik: két esemény összegének valószínűsége egyenlő valószínűségeik összegével. Matematikai nyelven írjuk: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
A valószínűségszámítás axiómái a legegyszerűbb szabályok, amelyeket könnyű megjegyezni. Próbáljunk meg néhány problémát megoldani a már megszerzett tudás alapján.
sorsjegy
Először is nézze meg a legegyszerűbb példát – a lottót. Képzeld el, hogy vettél egy lottószelvényt a szerencse kedvéért. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább húsz rubelt nyer? Összesen ezer jegy vesz részt a forgalomban, ezek közül egynek ötszáz rubel, tíz száz rubel, ötven húsz rubel és száz öt rubel a nyeremény. A valószínűségszámítás problémái a lehetőség megtalálásán alapulnaksok szerencsét. Most együtt elemezzük a fent bemutatott feladat megoldását.
Ha A betűvel ötszáz rubel nyereményt jelölünk, akkor az A megszerzésének valószínűsége 0,001. Hogyan kaptuk meg? Csak el kell osztania a "szerencsés" jegyek számát a teljes számukkal (jelen esetben: 1/1000).
A
B száz rubel nyeremény, ennek valószínűsége 0,01. Most ugyanazon elv szerint jártunk el, mint az előző akciónál (10/1000)
C - a nyeremény húsz rubelnek felel meg. Keresse meg a valószínűséget, ez egyenlő 0,05.
A többi jegy nem érdekel minket, mivel nyereményalapjuk kisebb, mint a feltételben megadott. Alkalmazzuk a negyedik axiómát: A legalább húsz rubel nyerési valószínűsége P(A)+P(B)+P(C). A P betű ennek az eseménynek a valószínűségét jelöli, ezeket már megtaláltuk az előző lépésekben. Már csak a szükséges adatok hozzáadása marad, a válaszban 0, 061-et kapunk. Ez a szám lesz a válasz a feladat kérdésére.
Kártyacsomag
A valószínűségszámítási feladatok bonyolultabbak is lehetnek, például vegye a következő feladatot. Előtted van egy harminchat lapból álló pakli. Az Ön feladata, hogy két lapot húzzon egymás után a pakli keverése nélkül, az első és a második lapnak ásznak kell lennie, a szín nem számít.
Először is keressük meg annak valószínűségét, hogy az első lap ász lesz, ehhez osztunk négyet harminchattal. Félretették. Kivesszük a második lapot, három harmincötöd valószínűségű ász lesz. A második esemény valószínűsége attól függ, hogy melyik lapot húztuk először, az érdekel minketász volt vagy sem. Ebből következik, hogy B esemény az A eseménytől függ.
A következő lépés az egyidejű megvalósítás valószínűségének meghatározása, azaz megszorozzuk A-t és B-t. A szorzatukat a következőképpen kapjuk meg: az egyik esemény valószínűségét megszorozzuk egy másik esemény feltételes valószínűségével, amit kiszámolunk., feltételezve, hogy az első esemény megtörtént, vagyis az első lappal ászt húztunk.
Annak érdekében, hogy minden világos legyen, adjunk megjelölést egy olyan elemnek, mint egy esemény feltételes valószínűsége. Kiszámítása feltételezve, hogy A esemény bekövetkezett. A következőképpen számítva: P(B/A).
Folytassuk a probléma megoldását: P(AB)=P(A)P(B/A) vagy P (AB)=P(B)P(A/B). A valószínűség: (4/36)((3/35)/(4/36). Számítsd ki századokra kerekítéssel. Van: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Kilenc század a valószínűsége, hogy egymás után két ászt húzunk Az érték nagyon kicsi, ebből következik, hogy az esemény bekövetkezésének valószínűsége rendkívül kicsi.
Elfelejtett szám
Javasoljuk néhány további lehetőség elemzését a valószínűségszámítással vizsgált feladatokhoz. Ebben a cikkben már láthatott néhány példát ezek megoldására, próbáljuk meg megoldani a következő problémát: a fiú elfelejtette barátja telefonszámának utolsó számjegyét, de mivel a hívás nagyon fontos volt, mindent sorra kezdett tárcsázni. Ki kell számolnunk annak a valószínűségét, hogy legfeljebb háromszor fog hívni. A probléma megoldása a legegyszerűbb, ha ismerjük a valószínűségszámítás szabályait, törvényeit és axiómáit.
Megtekintés előttmegoldást, próbáld meg megoldani magad. Tudjuk, hogy az utolsó számjegy nullától kilencig terjedhet, azaz összesen tíz érték van. Annak a valószínűsége, hogy megtalálja a megfelelőt, 1/10.
Ezután mérlegelnünk kell az esemény eredetére vonatkozó lehetőségeket, tegyük fel, hogy a fiú jól tippelt, és azonnal a megfelelőt pontozta, egy ilyen esemény valószínűsége 1/10. A második lehetőség: az első hívás hibás, a második pedig célt ér. Kiszámoljuk egy ilyen esemény valószínűségét: 9/10-et megszorozunk 1/9-cel, ennek eredményeként szintén 1/10-et kapunk. A harmadik lehetőség: az első és a második hívásról kiderült, hogy rossz címre érkezett, csak a harmadiktól jutott el a fiú oda, ahová akart. Kiszámoljuk egy ilyen esemény valószínűségét: 9/10-et megszorozunk 8/9-el és 1/8-cal, így 1/10-et kapunk. A probléma állapotától függően más lehetőségek nem érdekelnek minket, így hátra van az eredmények összeadása, ennek eredményeként 3/10-ünk van. Válasz: Annak a valószínűsége, hogy a fiú legfeljebb háromszor hív, 0,3.
Kártyák számokkal
Kilenc kártya van előtted, mindegyikre egytől kilencig egy szám van írva, a számok nem ismétlődnek. Dobozba helyezték és alaposan összekeverték. Ki kell számolnia annak a valószínűségét, hogy
- egy páros szám jelenik meg;
- kétjegyű.
Mielőtt továbblépnénk a megoldásra, határozzuk meg, hogy m a sikeres esetek száma, n pedig az opciók száma. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a szám páros. Nem lesz nehéz kiszámolni, hogy négy páros szám van, ez lesz a mi m-ünk, összesen kilenc lehetőség van, azaz m=9. Aztán a valószínűségegyenlő 0, 44 vagy 4/9.
Tekintsük a második esetet: az opciók száma kilenc, és egyáltalán nem lehet sikeres eredmény, azaz m egyenlő nullával. Annak a valószínűsége, hogy a kihúzott kártya kétjegyű számot tartalmaz, szintén nulla.
