Matektanárt hallgatva a legtöbb diák axiómaként veszi az anyagot. Ugyanakkor kevesen próbálnak a mélyre jutni, és rájönni, hogy a „plusz”-on lévő „mínusz” miért ad „mínusz” jelet, és két negatív szám szorzásakor ez pozitív.
Matematika törvényei
A legtöbb felnőtt nem tudja megmagyarázni sem magának, sem gyermekének, hogy ez miért történik. Az iskolában alaposan áttanulmányozták ezt az anyagot, de meg sem próbálták kideríteni, honnan származnak ezek a szabályok. De hiába. A modern gyerekek gyakran nem olyan hiszékenyek, nekik kell a dolog végére jutniuk, és meg kell érteniük például, hogy a „plusz” a „mínusz”-on miért ad „mínuszt”. És néha a kisfiúk szándékosan trükkös kérdéseket tesznek fel, hogy élvezzék azt a pillanatot, amikor a felnőttek nem tudnak érthető választ adni. És tényleg katasztrófa, ha egy fiatal tanár összezavarodik…
Egyébként meg kell jegyezni, hogy a fent említett szabály szorzásra és osztásra is érvényes. Egy negatív és egy pozitív szám szorzata csak mínuszt ad. Ha két „-” jelű számjegyről beszélünk, akkor az eredmény pozitív szám lesz. Ugyanez vonatkozik a felosztásra is. Ha egyaz egyik szám negatív, akkor a hányados is „-” jellel lesz.
A matematika e törvényének helyességének megmagyarázásához meg kell fogalmazni a gyűrű axiómáit. De először meg kell értened, mi az. A matematikában gyűrűnek szokás nevezni olyan halmazt, amelyben két két elemű művelet vesz részt. De jobb ezzel egy példával foglalkozni.
A gyűrű axiómája
Több matematikai törvény létezik.
- Az első kommutatív, szerinte C + V=V + C.
- A második az asszociatív (V + C) + D=V + (C + D).
Betartják a szorzást is (V x C) x D=V x (C x D).
Senki sem törölte azokat a szabályokat, amelyek alapján a zárójelek nyithatók (V + C) x D=V x D + C x D, az is igaz, hogy C x (V + D)=C x V + C x D.
Emellett megállapítást nyert, hogy a gyűrűbe bevihető egy speciális, addíciós szempontból semleges elem, amelynek használatával a következő lesz igaz: C + 0=C. Ezenkívül minden C-re van egy ellentétes elem, amelyet (-C) jelölhetünk. Ebben az esetben C + (-C)=0.
Axiómák származtatása negatív számokhoz
A fenti állításokat elfogadva megválaszolhatjuk a kérdést: "A "plusz" a "mínusz"-hoz milyen előjelet ad? A negatív számok szorzására vonatkozó axióma ismeretében meg kell erősíteni, hogy valóban (-C) x V=-(C x V). És azt is, hogy igaz a következő egyenlőség: (-(-C))=C.
Ehhez először be kell bizonyítanunk, hogy minden elemnek csak egy vanszemközti testvér. Tekintsük a következő bizonyítási példát. Próbáljuk meg elképzelni, hogy két szám ellentétes C - V és D esetén. Ebből az következik, hogy C + V=0 és C + D=0, azaz C + V=0=C + D. Emlékezzünk az eltolási törvényekre a 0 szám tulajdonságairól pedig mindhárom szám összegét tekinthetjük: C, V és D. Próbáljuk meg kitalálni V értékét. Logikus, hogy V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, mert a C + D értéke, amint azt fentebb elfogadtuk, 0. Ezért V=V + C + D.
A D értéke pontosan ugyanúgy származtatható: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Ez alapján világossá válik, hogy V=D.
Annak megértéséhez, hogy a "plusz" a "mínusz"-on miért ad "mínuszt", meg kell értened a következőket. Tehát a (-C) elem ellentéte C és (-(-C)), azaz egyenlők egymással.
Ekkor nyilvánvaló, hogy 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Ebből következik, hogy C x V ellentéte (-)C x V, tehát (-C) x V=-(C x V).
A teljes matematikai szigorúság érdekében azt is meg kell erősíteni, hogy 0 x V=0 bármely elemre. Ha követi a logikát, akkor 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Ez azt jelenti, hogy a 0 x V szorzat hozzáadása semmilyen módon nem módosítja a beállított mennyiséget. Végül is ez a termék egyenlő nullával.
Ezen axiómák ismeretében nemcsak arra következtethet, hogy mennyit ad a "plusz" és a "mínusz", hanem arra is, hogy mi történik, ha negatív számokat szorozunk.
Két „-” jelű szám szorzása és osztása
Ha nem mélyedsz el a matematikábanárnyalatokat, megpróbálhatja egyszerűbben elmagyarázni a negatív számokkal végzett műveletek szabályait.
Tegyük fel, hogy C - (-V)=D, tehát C=D + (-V), azaz C=D - V. Vigye át V-t, és kapja meg, hogy C + V=D. Vagyis C + V=C- (-V). Ez a példa megmagyarázza, hogy egy olyan kifejezésben, ahol két "mínusz" van egymás után, miért kell az említett jeleket "pluszra" változtatni. Most foglalkozzunk a szorzással.
(-C) x (-V)=D, a kifejezéshez hozzáadhat és kivonhat két azonos szorzatot, amelyek nem változtatják meg az értékét: (-C) x (-V) + (C x V)) - (C x V)=D.
Emlékezve a zárójelekkel végzett munka szabályaira, a következőket kapjuk:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Ebből következik, hogy C x V=(-C) x (-V).
Hasonlóan bebizonyíthatjuk, hogy két negatív szám elosztása pozitív számot eredményez.
Általános matematikai szabályok
Természetesen ez a magyarázat nem megfelelő általános iskolásoknak, akik csak most kezdik el megtanulni az absztrakt negatív számokat. Jobb, ha a látható tárgyakon magyaráznak, manipulálva az ismerős kifejezést az üvegen keresztül. Például kitalált, de nem létező játékok találhatók ott. "-" jellel jeleníthetők meg. Két tükrös tárgy megsokszorozása átviszi őket egy másik világba, ami egyenlő a jelennel, vagyis ennek eredményeként pozitív számaink vannak. De egy absztrakt negatív szám pozitív számmal való szorzata csak a mindenki számára ismert eredményt adja. Mert "plusz"szorozzuk meg "mínusz"-val, adjuk "mínusz". Igaz, általános iskolás korban a gyerekek nem nagyon próbálnak elmélyülni minden matematikai árnyalatban.
Bár ha szembenéz az igazsággal, sok ember számára még felsőfokú végzettséggel is sok szabály rejtély marad. Mindenki magától értetődőnek veszi, amit a tanárok tanítanak neki, és nem veszteséges, hogy elmélyedjen a matematika összes bonyolultságában. A "mínusz" a "mínusz"-on "plusz"-t ad - erről kivétel nélkül mindenki tud. Ez igaz egész és tört számokra is.
