A Fourier-transzformáció egy olyan transzformáció, amely néhány valós változó függvényét hasonlítja össze. Ezt a műveletet minden alkalommal végrehajtják, amikor különböző hangokat észlelünk. A fül egy automatikus „számítást” hajt végre, amire tudatunk csak a magasabb matematika megfelelő szakaszának tanulmányozása után képes. Az emberi hallószerv transzformációt épít fel, melynek eredményeként a hang (feltételes részecskék rezgő mozgása rugalmas közegben, amely szilárd, folyékony vagy gáz halmazállapotú közegben hullám alakban terjed) egymást követő értékek spektruma formájában jön létre. a különböző magasságú hangok hangereje. Ezt követően az agy ezt az információt mindenki számára ismerős hanggá alakítja.
Matematikai Fourier-transzformáció
A hanghullámok vagy más oszcillációs folyamatok (a fénysugárzástól és az óceán árapályától a csillagok vagy a naptevékenység ciklusaiig) átalakítása matematikai módszerekkel is végrehajtható. Tehát ezekkel a technikákkal lehetséges a függvények felbontása az oszcillációs folyamatok szinuszos komponensek halmazaként, azaz hullámos görbékként való megjelenítésével, amelyekmenj alacsonyról magasra, majd vissza alacsonyra, mint egy tengeri hullám. Fourier-transzformáció - olyan transzformáció, amelynek funkciója leírja az egyes szinuszosok fázisát vagy amplitúdóját egy bizonyos frekvenciának megfelelően. A fázis a görbe kezdőpontja, az amplitúdó pedig a magassága.
A Fourier-transzformáció (a példák a képen láthatók) egy nagyon hatékony eszköz, amelyet a tudomány különböző területein használnak. Egyes esetekben meglehetősen összetett egyenletek megoldására használják, amelyek fény-, hő- vagy elektromos energia hatására bekövetkező dinamikus folyamatokat írnak le. Más esetekben lehetővé teszi az összetett oszcillációs jelek szabályos komponenseinek meghatározását, aminek köszönhetően helyesen értelmezheti a kémia, az orvostudomány és a csillagászat különböző kísérleti megfigyeléseit.
Történelmi háttér
Az első személy, aki ezt a módszert alkalmazta, Jean Baptiste Fourier francia matematikus volt. A később róla elnevezett transzformációt eredetileg a hővezetési mechanizmus leírására használták. Fourier egész felnőtt életét a hő tulajdonságainak tanulmányozásával töltötte. Óriási hozzájárulást adott az algebrai egyenletek gyökereit meghatározó matematikai elmélethez. Fourier a Politechnikai Iskola elemző professzora volt, az Egyiptológiai Intézet titkára, a birodalmi szolgálatban állt, ahol kitüntette magát a torinói út építése során (vezetése alatt több mint 80 ezer négyzetkilométernyi malária.mocsarak). Mindez az erőteljes tevékenység azonban nem akadályozta meg a tudóst a matematikai elemzésben. 1802-ben levezetett egy egyenletet, amely leírja a hő terjedését szilárd anyagokban. 1807-ben a tudós felfedezett egy módszert ennek az egyenletnek a megoldására, amelyet "Fourier-transzformációnak" neveztek.
Hővezetőképesség-elemzés
A tudós matematikai módszert alkalmazott a hővezetési mechanizmus leírására. Kényelmes példa, amelyben nincs számítási nehézség, a hőenergia terjedése egy tűzben egy részbe merített vasgyűrűn keresztül. A kísérletek elvégzéséhez Fourier ennek a gyűrűnek egy részét vörösre melegítette, és finom homokba temette. Ezt követően hőmérsékletméréseket végzett a másik oldalán. Kezdetben a hőeloszlás szabálytalan: a gyűrű egy része hideg, a másik forró, ezek között a zónák között éles hőmérsékleti gradiens figyelhető meg. A fém teljes felületén történő hőterjedés folyamatában azonban egyenletesebbé válik. Tehát hamarosan ez a folyamat szinuszos formát ölt. Eleinte a gráf simán növekszik és simán csökken is, pontosan a koszinusz vagy szinuszfüggvény változási törvényei szerint. A hullám fokozatosan kiegyenlítődik, és ennek eredményeként a hőmérséklet a gyűrű teljes felületén azonos lesz.
A módszer szerzője azt javasolta, hogy a kezdeti szabálytalan eloszlás számos elemi szinuszra bontható. Mindegyiknek megvan a saját fázisa (kezdeti helyzete) és saját hőmérsékletemaximális. Ezen túlmenően, minden ilyen komponens a minimumról a maximumra változik, majd a gyűrű körüli teljes fordulattal egész számú alkalommal vissza. Az egy periódusú összetevőt alapharmonikusnak, a két vagy több periódusú értéket pedig másodiknak és így tovább. Tehát a hőmérsékleti maximumot, fázist vagy pozíciót leíró matematikai függvényt az eloszlásfüggvény Fourier-transzformációjának nevezzük. A tudós egyetlen, matematikailag nehezen leírható komponenst redukált egy könnyen használható eszközre - a koszinusz- és szinuszsorokra, amelyek összegzése adja az eredeti eloszlást.
Az elemzés lényege
Ezt az elemzést a gyűrű alakú szilárd objektumon keresztül történő hőterjedés átalakulására alkalmazva a matematikus úgy érvelt, hogy a szinuszos komponens periódusainak növelése annak gyors bomlásához vezet. Ez jól látható az alap- és a második harmonikuson. Utóbbiban a hőmérséklet egy menetben kétszer, az előbbiben pedig csak egyszer éri el a maximális és minimum értéket. Kiderül, hogy a hő által megtett távolság a második harmonikusban fele lesz az alapharmonikusénak. Ráadásul a másodikban a lejtő is kétszer olyan meredek lesz, mint az elsőben. Ezért, mivel az intenzívebb hőáram kétszer rövidebb utat tesz meg, ez a harmonikus négyszer gyorsabban csökken, mint az alapharmonikus az idő függvényében. A jövőben ez a folyamat még gyorsabb lesz. A matematikus úgy vélte, hogy ez a módszer lehetővé teszi a kezdeti hőmérséklet időbeli eloszlási folyamatának kiszámítását.
Kihívás a kortársaknak
A Fourier-transzformációs algoritmus megkérdőjelezte a matematika akkori elméleti alapjait. A tizenkilencedik század elején a legjelentősebb tudósok, köztük Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre és Biot, nem fogadták el kijelentését, miszerint a kezdeti hőmérséklet-eloszlás komponensekre bomlik fel egy alapharmonikus és magasabb frekvenciák formájában. A Tudományos Akadémia azonban nem hagyhatta figyelmen kívül a matematikus eredményeit, és díjjal jutalmazta a hővezetési törvények elméletéért, valamint a fizikai kísérletekkel való összehasonlításáért. Fourier megközelítésében a fő kifogás az volt, hogy a nem folytonos függvényt több folytonos szinuszos függvény összege reprezentálja. Hiszen szakadt egyenes és ívelt vonalakat írnak le. A tudós kortársai soha nem találkoztak hasonló helyzettel, amikor a nem folytonos függvényeket folytonosak kombinációjával írták le, például másodfokú, lineáris, szinuszos vagy exponenciális. Abban az esetben, ha a matematikusnak igaza volt az állításaiban, akkor egy trigonometrikus függvény végtelen sorozatának összegét le kell redukálni egy pontos fokozatosra. Akkoriban egy ilyen kijelentés abszurdnak tűnt. A kételyek ellenére azonban egyes kutatók (pl. Claude Navier, Sophie Germain) kibővítették a kutatások körét, és túlmutattak a hőenergia eloszlásának elemzésén. Eközben a matematikusok továbbra is küzdöttek azzal a kérdéssel, hogy vajon több szinuszfüggvény összege leredukálható-e egy nem folytonos függvény pontos reprezentációjára.
200 évestörténelem
Ez az elmélet két évszázadon keresztül fejlődött, ma végre kialakult. Segítségével a térbeli vagy időbeli függvényeket szinuszos komponensekre osztják, amelyeknek megvan a saját frekvenciája, fázisa és amplitúdója. Ezt a transzformációt két különböző matematikai módszerrel kapjuk meg. Az elsőt akkor használják, ha az eredeti függvény folyamatos, a másodikat pedig akkor, ha diszkrét egyedi változtatások halmaza képviseli. Ha a kifejezést diszkrét intervallumokkal meghatározott értékekből kapjuk, akkor több szinuszos kifejezésre osztható diszkrét gyakorisággal - a legalacsonyabbtól, majd kétszer, háromszor és így tovább, mint a fő. Ezt az összeget Fourier-sornak nevezzük. Ha a kezdeti kifejezés minden valós számhoz adott egy értéket, akkor az összes lehetséges frekvenciájú szinuszokra bontható. Általában Fourier-integrálnak nevezik, és a megoldás a függvény integrál transzformációit foglalja magában. Az átalakítás módjától függetlenül minden frekvenciához két számot kell megadni: amplitúdót és frekvenciát. Ezeket az értékeket egyetlen komplex számként fejezzük ki. Az összetett változók kifejezéseinek elmélete a Fourier-transzformációval együtt lehetővé tette a számítások elvégzését különféle elektromos áramkörök tervezésében, a mechanikai rezgések elemzésében, a hullámterjedés mechanizmusának tanulmányozásában stb.
Fourier-transzformáció ma
Ma ennek a folyamatnak a tanulmányozása főként a hatékony keresésre korlátozódikátmeneti módszerek egy függvényből annak átalakított formájába és fordítva. Ezt a megoldást direkt és inverz Fourier transzformációnak nevezzük. Mit jelent? Az integrál meghatározásához és a közvetlen Fourier-transzformáció előállításához használhatunk matematikai vagy analitikai módszereket. Annak ellenére, hogy a gyakorlati használat során bizonyos nehézségek merülnek fel, a legtöbb integrált már megtalálták és beépítették a matematikai kézikönyvekbe. Numerikus módszerekkel lehet kiszámítani olyan kifejezéseket, amelyek alakja kísérleti adatokon alapul, vagy olyan függvényeket, amelyek integráljai nem állnak rendelkezésre táblázatokban, és nehezen mutathatók be analitikus formában.
A számítógépek megjelenése előtt az ilyen transzformációk számítása nagyon fárasztó volt, nagyszámú aritmetikai művelet kézi végrehajtását igényelte, ami a hullámfüggvényt leíró pontok számától függött. A számítások megkönnyítésére ma már léteznek speciális programok, amelyek lehetővé tették új elemzési módszerek alkalmazását. Így 1965-ben James Cooley és John Tukey olyan szoftvert hozott létre, amely "Fast Fourier Transform" néven vált ismertté. Lehetővé teszi, hogy időt takarítson meg a számításokhoz azáltal, hogy csökkenti a szorzások számát a görbe elemzésében. A gyors Fourier-transzformációs módszer a görbe nagyszámú egységes mintaértékre való felosztásán alapul. Ennek megfelelően a szorzások száma felére csökken a pontok számának azonos csökkenésével.
A Fourier-transzformáció alkalmazása
Eza folyamatot a tudomány különböző területein alkalmazzák: számelméletben, fizikában, jelfeldolgozásban, kombinatorikában, valószínűségszámításban, kriptográfia, statisztika, óceánológia, optika, akusztika, geometria és mások. Alkalmazásának gazdag lehetőségei számos hasznos tulajdonságon alapulnak, amelyeket „Fourier-transzformációs tulajdonságoknak” neveznek. Vegye figyelembe őket.
1. A függvénytranszformáció lineáris operátor, és megfelelő normalizálással unitér. Ezt a tulajdonságot Parseval-tételként vagy általában Plancherel-tételként vagy Pontrjagin-dualizmusként ismerjük.
2. Az átalakulás visszafordítható. Sőt, a fordított eredménynek majdnem ugyanaz a formája, mint a közvetlen megoldásnál.
3. A szinuszos alapkifejezések saját differenciált függvények. Ez azt jelenti, hogy egy ilyen ábrázolás az állandó együtthatójú lineáris egyenleteket közönséges algebrai egyenletekké változtatja.
4. A "konvolúciós" tétel szerint ez a folyamat egy összetett műveletet elemi szorzássá változtat.
5. A diszkrét Fourier-transzformáció gyorsan kiszámítható számítógépen a "gyors" módszerrel.
A Fourier-transzformáció változatai
1. Leggyakrabban ezt a kifejezést olyan folytonos transzformáció jelölésére használják, amely bármilyen négyzetbe integrálható kifejezést biztosít összetett exponenciális kifejezések összegeként, meghatározott szögfrekvenciákkal és amplitúdókkal. Ennek a fajnak számos különböző formája van, amelyek képesekállandó együtthatókkal különböznek. A folytonos módszer egy konverziós táblázatot tartalmaz, amely matematikai kézikönyvekben található. Az általánosított eset egy tört transzformáció, amellyel az adott folyamat a szükséges valós teljesítményre emelhető.
2. A folytonos mód a Fourier-sorok korai technikájának általánosítása, amelyet különböző periodikus függvényekre vagy kifejezésekre definiáltak, amelyek korlátozott területen léteznek, és szinuszos sorozatként jelenítik meg őket.
3. Diszkrét Fourier transzformáció. Ezt a módszert a számítástechnikában használják tudományos számításokhoz és digitális jelfeldolgozáshoz. Az ilyen típusú számításokhoz olyan függvényekre van szükség, amelyek a folytonos Fourier-integrálok helyett egyedi pontokat, periodikus vagy korlátos területeket határoznak meg egy diszkrét halmazon. A jeltranszformációt ebben az esetben szinuszok összegeként ábrázoljuk. A „gyors” módszer alkalmazása ugyanakkor lehetővé teszi, hogy bármilyen gyakorlati problémára diszkrét megoldásokat alkalmazzunk.
4. Az ablakos Fourier-transzformáció a klasszikus módszer általánosított formája. Ellentétben a standard megoldással, amikor a jel spektrumát egy adott változó létezésének teljes tartományában veszik fel, itt csak a helyi frekvencia eloszlás az érdekes, feltéve, hogy az eredeti változó (idő) megmarad..
5. Kétdimenziós Fourier transzformáció. Ezt a módszert kétdimenziós adattömbök kezelésére használják. Ebben az esetben először egy irányba, majd befelé történik az átalakításegyéb.
Következtetés
Ma a Fourier-módszer szilárdan rögzült a tudomány különböző területein. Például 1962-ben a DNS kettős hélix alakját fedezték fel Fourier-analízissel és röntgendiffrakcióval kombinálva. Ez utóbbiak a DNS-szálak kristályaira fókuszáltak, ennek eredményeként a sugárzás diffrakciójával kapott képet filmre rögzítették. Ez a kép a Fourier transzformáció amplitúdójának értékéről adott információt egy adott kristályszerkezetre. A fázisadatokat a DNS diffrakciós térképének összehasonlításával kaptuk a hasonló kémiai szerkezetek elemzéséből nyert térképekkel. Ennek eredményeként a biológusok visszaállították a kristályszerkezetet – az eredeti funkciót.
A Fourier-transzformációk óriási szerepet játszanak a tér, a félvezető- és plazmafizika, a mikrohullámú akusztika, az óceánográfia, a radar, a szeizmológia és az orvosi felmérések tanulmányozásában.
