A matematikában létezik a "halmaz" fogalma, valamint példák ugyanezen halmazok egymással való összehasonlítására. A halmazok összehasonlítási típusainak nevei a következő szavak: bijekció, injekció, szurjekció. Az alábbiakban mindegyiket részletesebben ismertetjük.
A bijekció… mi az?
Az első halmaz elemeinek egy csoportja a második halmaz második elemcsoportjával ebben a formában illeszkedik: az első csoport minden egyes eleme közvetlenül illeszkedik a második csoport egy másik eleméhez, és ott nem olyan helyzet, amikor bármely vagy két halmazcsoport elemeinek hiánya vagy felsorolása.
A fő tulajdonságok megfogalmazása:
- Egy elem az egyhez.
- Nincsenek extra elemek az egyeztetés során, és az első tulajdonság megmarad.
- Lehetőség van a leképezés megfordítására az általános nézet megőrzése mellett.
- A bijekció egy olyan függvény, amely injektív és szürjektív is.
Bijekció tudományos szempontból
A bijektív függvények pontosan izomorfizmusok a „függvénykészlet és halmaz” kategóriában. A bijekciók azonban nem mindig izomorfizmusok az összetettebb kategóriákhoz. Például a csoportok egy bizonyos kategóriájában a morfizmusoknak homomorfizmusoknak kell lenniük, mivel meg kell őrizniük a csoport szerkezetét. Ezért az izomorfizmusok csoportizomorfizmusok, amelyek bijektív homomorfizmusok.
Az "egy-az-egyhez megfelelés" fogalmát a részleges függvényekre általánosítják, ahol ezeket parciális bijekcióknak nevezik, bár a részleges bijekció az, aminek injekciónak kell lennie. Ennek az ellazulásnak az az oka, hogy a részleges (megfelelő) függvény már nincs definiálva tartományának egy részére. Így nincs jó ok arra, hogy inverz funkcióját egy teljesre korlátozzuk, azaz a tartományában mindenhol definiálva legyen. Egy adott alaphalmaz összes részleges bijekciójának halmazát szimmetrikus inverz félcsoportnak nevezzük.
A fogalom meghatározásának egy másik módja: érdemes azt mondani, hogy az A-ból B-be tartó halmazok parciális bijekciója bármely R reláció (parciális függvény) azzal a tulajdonsággal, hogy R egy f:A'→B bijekciós gráf. ' ahol A' A részhalmaza, B' pedig B részhalmaza.
Amikor egy részleges bijekció ugyanabban a halmazban van, néha egy az egyhez részleges transzformációnak nevezik. Példa erre az imént a komplex síkon definiált Möbius-transzformáció, nem pedig annak befejezése a kiterjesztett komplex síkban.
Injekció
Az első halmaz elemeinek egy csoportja a második halmaz második elemcsoportjával van párosítva ebben a formában: az első csoport minden egyes eleme a második egy másik eleméhez illeszkedik, de nem az összes párokká alakulnak át. A párosítatlan elemek száma attól függ, hogy ezeknek az elemeknek a számában mekkora különbség van az egyes halmazokban: ha az egyik halmaz harmincegy elemből áll, a másik pedig hét további elemből áll, akkor a párosítatlan elemek száma hét. Irányított injekció a készletbe. A bijekció és a befecskendezés hasonló, de nem több, mint hasonló.
Surjection
Az első halmaz elemeinek egy csoportját a második halmaz második elemcsoportjával illesztjük így: bármely csoport minden eleme egy párt alkot, még akkor is, ha van különbség az elemek száma között. Ebből következik, hogy az egyik csoport egy eleme párosítható egy másik csoport több elemével.
Sem bijektív, sem injektív, sem szürjektív függvény
Ez a bijektív és a szürjektív forma függvénye, de maradék (nem párosított)=> injekcióval. Egy ilyen függvényben egyértelműen van kapcsolat a bijekció és a szurjekció között, mivel közvetlenül tartalmazza ezt a két típusú halmazösszehasonlítást. Tehát ezeknek a függvényeknek az összessége önmagában nem tartozik közéjük.
Mindenféle függvény magyarázata
Például a megfigyelőt lenyűgözi a következő. Vannak íjász versenyek. Mindegyikéneka résztvevők célba akarnak találni (a feladat megkönnyítése érdekében: nem veszik figyelembe, hogy pontosan hol találja el a nyíl). Csak három résztvevő és három célpont – ez a verseny első helyszíne. A következő szakaszokban az íjászok száma megmarad, de a célok száma megváltozik: a másodikon - négy, a következőn - szintén négy, a negyediken pedig - öt. Minden résztvevő minden célpontra lő.
- A verseny első helyszíne. Az első íjász csak egy célt talál el. A második csak egy célt talál el. A harmadik megismétlődik a többiek után, és minden íjász különböző célpontot talál el: azokat, amelyek velük szemben vannak. Ennek eredményeként 1 (az első íjász) eltalálta a célt (a), 2 - in (b), 3 - in (c). A következő függőség figyelhető meg: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). A következtetés az lesz, hogy a halmazok ilyen összehasonlítása bijekció.
- A verseny második platformja. Az első íjász csak egy célt talál el. A második is csak egy célt talál el. A harmadik nem igazán próbálkozik, és mindent megismétel a többiek után, de a feltétel ugyanaz - minden íjász más célpontot talál el. De, mint korábban említettük, már négy célpont van a második platformon. Függőség: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - a halmaz páratlan eleme. Ebben az esetben az lesz a következtetés, hogy egy ilyen halmaz-összehasonlítás injekció.
- A verseny harmadik helyszíne. Az első íjász csak egy célt talál el. A második ismét csak egy célt talál el. A harmadik úgy dönt, hogy összeszedi magát, és eltalálja a harmadik és negyedik célpontot. Ennek eredményeként a függőség: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Itt a következtetés az lesz, hogy a halmazok ilyen összehasonlítása szurjektív.
- A verseny negyedik platformja. Az elsővel már minden világos, egyetlen célpontot talál el, amiben hamarosan nem lesz hely az amúgy is unalmas találatoknak. Most a második átveszi a még friss harmadik szerepét, és ismét csak egy célpontot talál el, megismétlve az első után. A harmadik továbbra is uralkodik magán, és nem hagyja abba a nyílvessző bevezetését a harmadik és negyedik célponthoz. Az ötödik azonban még mindig kívül állt az irányításán. Tehát függőség: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - a célkészlet páratlan eleme. Következtetés: a halmazok ilyen összehasonlítása nem szurjektálás, nem injekció és nem bijekció.
Most nem lesz probléma a bijekció, az injekció vagy a szurjekció megalkotása, valamint a köztük lévő különbségek megtalálása sem.
