A függvény és jellemzőinek tanulmányozása a modern matematika egyik kulcsfontosságú fejezete. Bármely függvény fő összetevője a grafikonok, amelyek nemcsak a tulajdonságait ábrázolják, hanem a függvény deriváltjának paramétereit is. Vessünk egy pillantást erre a trükkös témára. Tehát mi a legjobb módja egy függvény maximális és minimális pontjának megkeresésére?
Funkció: Definíció
Minden olyan változó, amely valamilyen módon függ egy másik érték értékétől, függvénynek nevezhető. Például az f(x2) függvény másodfokú, és meghatározza a teljes x halmaz értékeit. Tegyük fel, hogy x=9, akkor a függvényünk értéke egyenlő lesz: 92=81.
A függvényeknek sokféle típusa van: logikai, vektoros, logaritmikus, trigonometrikus, numerikus és egyebek. Olyan kiváló elmék foglalkoztak tanulmányukkal, mint Lacroix, Lagrange, Leibniz és Bernoulli. Írásaik védőbástyául szolgálnak a funkciók tanulmányozásának modern módszereiben. A minimumpontok meghatározása előtt nagyon fontos megérteni a függvény jelentését és származékát.
A származék és szerepe
Minden funkció be van kapcsolvaváltozó értéküktől függően, ami azt jelenti, hogy értéküket bármikor megváltoztathatják. A grafikonon ez egy görbeként jelenik meg, amely vagy csökken, vagy emelkedik az y tengely mentén (ez az "y" számok teljes halmaza a grafikon függőlegese mentén). Így a függvény maximumának és minimumának pontjának meghatározása éppen ezekkel a „rezgések”-hez kapcsolódik. Magyarázzuk el, mi ez a kapcsolat.
Bármely függvény deriváltját egy grafikonra rajzoljuk annak érdekében, hogy tanulmányozzuk a fő jellemzőit, és kiszámítsuk, hogy milyen gyorsan változik a függvény (azaz megváltoztatja értékét az "x" változótól függően). Abban a pillanatban, amikor a függvény növekszik, a deriváltjának grafikonja is növekedni fog, de bármelyik másodpercben a függvény elkezdhet csökkenni, majd a derivált grafikonja csökken. Azokat a pontokat, ahol a derivált mínuszból pluszba megy, minimumpontoknak nevezzük. Ahhoz, hogy megtudja, hogyan találja meg a minimumpontokat, jobban meg kell értenie a derivált fogalmát.
Hogyan kell kiszámítani a derivált?
Egy függvény deriváltjának definiálása és kiszámítása a differenciálszámítás több fogalmát is magában foglalja. Általában a derivált definíciója a következőképpen fejezhető ki: ez az az érték, amely a függvény változási sebességét mutatja.
A meghatározásának matematikai módja sok diák számára bonyolultnak tűnik, de valójában minden sokkal egyszerűbb. Csak követned kellszabványos terv bármely függvény deriváltjának megtalálásához. Az alábbiakban leírjuk, hogyan találhatja meg egy függvény minimumpontját a differenciálási szabályok alkalmazása és a derivált táblázat memorizálása nélkül.
- Grafikonnal kiszámíthatja egy függvény deriváltját. Ehhez meg kell ábrázolni magát a függvényt, majd fel kell venni egy pontot (az ábra A pontja) Rajzoljon egy egyenest függőlegesen lefelé az abszcissza tengelyig (x0 pont), és az A pontban rajzoljunk érintőt a függvénygrafikához. Az abszcissza tengely és az érintő egy a szöget alkot. A függvény növekedési sebességének kiszámításához ki kell számítani ennek a szögnek az érintőjét a.
- Kiderül, hogy az érintő és az x tengely iránya közötti szög érintője a függvény deriváltja egy kis területen A ponttal. Ez a módszer a derivált meghatározásának geometriai módszerének tekinthető..
Függvénykutatás módszerei
A matematika iskolai tantervében kétféleképpen lehet megtalálni egy függvény minimumpontját. Az első módszert már elemeztük a grafikon segítségével, de hogyan határozható meg a derivált számértéke? Ehhez meg kell tanulnia több képletet, amelyek leírják a derivált tulajdonságait, és segítenek a változók, például az „x” számokká alakításában. Az alábbi módszer univerzális, így szinte mindenféle függvényre alkalmazható (geometriai és logaritmikus egyaránt).
- Egyenlővé kell tenni a függvényt a derivált függvénnyel, majd egyszerűsíteni kell a kifejezést a szabályok segítségéveldifferenciálás.
- osztás nullával).
- Ezután a függvény eredeti alakját egyszerű egyenletté kell konvertálnia, a teljes kifejezést nullával egyenlővé téve. Például, ha a függvény így nézett ki: f(x)=2x3+38x, akkor a differenciálás szabályai szerint a deriváltja egyenlő: f'(x)=3x 2 +1. Ezután ezt a kifejezést a következő formájú egyenletté alakítjuk: 3x2+1=0.
- Az egyenlet megoldása és az "x" pontok megtalálása után fel kell rajzolni őket az x tengelyre, és meg kell határozni, hogy a derivált ezeken a területeken a jelölt pontok között pozitív vagy negatív. A kijelölés után kiderül, hogy a függvény mikor kezd csökkenni, azaz mínuszról az ellenkezőre vált előjelet. Így megtalálhatja a minimális és maximális pontot is.
Megkülönböztetési szabályok
A függvények és származékai tanulásának legalapvetőbb része a differenciálás szabályainak ismerete. Csak segítségükkel lehet nehézkes kifejezéseket és nagy összetett függvényeket átalakítani. Ismerkedjünk meg velük, elég sok van belőlük, de mind a hatványfüggvények, mind a logaritmikus függvények szabályos tulajdonságai miatt nagyon egyszerűek.
- Bármely konstans deriváltja nulla (f(x)=0). Vagyis az f(x)=x5+ x - 160 deriváltja a következő formában lesz: f' (x)=5x4+1.
- Két tag összegének deriváltja: (f+w)'=f'w + fw'.
- Egy logaritmikus függvény származéka: (logad)'=d/ln ad. Ez a képlet mindenféle logaritmusra vonatkozik.
- A végzettség származéka: (x)'=nxn-1. Például (9x2)'=92x=18x.
- Egy szinuszos függvény származéka: (sin a)'=cos a. Ha az a szög sine 0,5, akkor a deriváltja √3/2.
Extrém pontok
Már kitaláltuk, hogyan keressük meg a minimumpontokat, de létezik egy függvény maximumpontjainak fogalma. Ha a minimum azokat a pontokat jelöli, ahol a függvény mínuszból pluszba megy, akkor a maximum pontok az x tengely azon pontjai, ahol a függvény deriváltja pluszról az ellenkezőjére változik - mínusz.
A fent leírt módszerrel megtalálhatja a maximális pontokat, csak azt kell figyelembe venni, hogy azok azokat a területeket jelölik, ahol a függvény csökkenni kezd, vagyis a derivált nullánál kisebb lesz.
A matematikában mindkét fogalmat általánosítani szokás, a „szélsőséges pontok” kifejezéssel helyettesítve. Amikor a feladat ezeknek a pontoknak a meghatározását kéri, ez azt jelenti, hogy ki kell számítani ennek a függvénynek a deriváltját, és meg kell találni a minimális és maximális pontot.
