A négyzetgyököt tartalmazó numerikus kifejezésekkel való munka képessége szükséges számos OGE és USE probléma sikeres megoldásához. Ezeken a vizsgákon általában elegendő annak alapvető ismerete, hogy mi a gyökérkivonás és hogyan történik a gyakorlatban.
Definíció
Az X szám n-edik gyöke egy x szám, amelyre igaz az egyenlőség: xn =X.
A gyökérrel rendelkező kifejezés értékének megtalálása azt jelenti, hogy x-et találunk adott X és n mellett.
X négyzetgyöke vagy, ami megegyezik, második gyöke - az x szám, amelyre az egyenlőség teljesül: x2 =X.
Megnevezés: ∛Х. Itt 3 a gyökér foka, X a gyökérkifejezés. A '√' jelet gyakran radikálisnak nevezik.
Ha a gyök feletti szám nem a fokot jelöli, akkor az alapértelmezett a 2.
Egy páros fokozatú iskolai kurzusban általában nem veszik figyelembe a negatív gyökereket és a radikális kifejezéseket. Például nincs√-2, és a √4 kifejezésre a helyes válasz 2, annak ellenére, hogy (-2)2 szintén 4.
A gyökerek racionalitása és irracionalitása
A gyökérrel végzett legegyszerűbb feladat egy kifejezés értékének megtalálása vagy racionalitási tesztelése.
Például számítsa ki az értékeket√25; ∛8; ∛-125:
- √25=5, mert 52 =25;
- ∛8=2, mert 23 =8;
- ∛ - 125=-5, mivel (-5)3 =-125.
A megadott példákban a válaszok racionális számok.
Amikor olyan kifejezésekkel dolgozik, amelyek nem tartalmaznak literális állandókat és változókat, ajánlatos az ellenőrzést mindig a természetes hatványra emelés fordított műveletével végezni. Az x szám megtalálása az n-edik hatványra egyenlő az x n tényezőjének szorzatának kiszámításával.
Sok gyökös kifejezés van, amelyek értéke irracionális, azaz végtelen, nem periodikus törtként van írva.
A definíció szerint a racionális számok azok, amelyek közös törtként fejezhetők ki, az irracionálisak pedig az összes többi valós szám.
Ezek a következők: √24, √0, 1, √101.
Ha a feladatkönyv azt mondja: keresse meg a kifejezés értékét 2, 3, 5, 6, 7 stb. gyökével, vagyis azokból a természetes számokból, amelyek nem szerepelnek a négyzettáblázatban, akkor a helyes válasz √ 2 is jelen lehet (hacsak nincs másképp jelezve).
Értékelés
Problémák vannak velenyitott válasz, ha nem lehet megkeresni egy kifejezés értékét gyökérrel és racionális számként írni, akkor az eredményt gyökként kell hagyni.
Egyes feladatok értékelést igényelhetnek. Hasonlítsa össze például a 6-ot és a √37-et. A megoldáshoz mindkét szám négyzetre emelése és az eredmények összehasonlítása szükséges. Két szám közül az a nagyobb, amelynek a négyzete nagyobb. Ez a szabály minden pozitív számra érvényes:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- jelentése √37 > 6.
Ugyanígy megoldódnak azok a feladatok is, amelyekben több számot kell növekvő vagy csökkenő sorrendbe rendezni.
Példa: Rendezd 5, √6, √48, √√64 növekvő sorrendbe.
A négyzetesítés után a következőket kapjuk: 25, 6, 48, √64. Az összes számot ismét négyzetre vethetjük, hogy összehasonlítsuk őket √64-gyel, de ez megegyezik a 8. 6 < 8 < 25 < 48 racionális számmal, így a megoldás: 48.
A kifejezés egyszerűsítése
Előfordul, hogy a gyökérrel rendelkező kifejezés értékét nem lehet megtalálni, ezért egyszerűsíteni kell. A következő képlet segít ebben:
√ab=√a√b.
Két szám szorzatának gyöke egyenlő a gyökeinek szorzatával. Ehhez a művelethez egy szám faktorizálásának képességére is szükség van.
A kezdeti szakaszban a munka felgyorsítása érdekében javasolt, hogy legyen kéznél egy prímszámokat és négyzeteket tartalmazó táblázat. Ezek a táblázatok gyakoria jövőbeni felhasználás emlékezetes marad.
Például √242 irracionális szám, ezt a következőképpen konvertálhatja:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Általában az eredményt 11√2-ként írják le (értsd: tizenegy gyökér a kettőből).
Ha nehéz azonnal belátni, hogy egy számot melyik két tényezőre kell felbontani ahhoz, hogy az egyikből természetes gyökér kinyerhető legyen, használhatja a teljes bontást prímtényezőkre. Ha ugyanaz a prímszám kétszer fordul elő a bővítésben, akkor kikerül a gyökjelből. Ha sok tényező van, a gyökér több lépésben kinyerhető.
Példa: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). A 2-es szám kétszer fordul elő a bővítésben (sőt, több mint kétszer, de minket továbbra is az első két előfordulás érdekel a bővítésben).
Kivesszük a gyökérjel alól:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Ismételje meg ugyanazt a műveletet:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
A fennmaradó gyökös kifejezésben a 2 és a 3 egyszer fordul elő, tehát marad az 5-ös tényező kivonása:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√ (2 × 3);
és hajtsa végre a számtani műveleteket:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Tehát √2400=20√6.
Ha a feladatban nem szerepel kifejezetten: "keresse meg a kifejezés értékét négyzetgyökkel", akkor a választás,A választ milyen formában kell meghagyni (a gyökér kivonása a gyök alól) a tanulóra marad, és a megoldandó probléma függvénye.
Eleinte magas követelményeket támasztanak a feladatok tervezésével, számításaival, beleértve a szóbelit vagy írásbelit is, technikai eszközök használata nélkül.
Csak az irracionális numerikus kifejezésekkel való munka szabályainak megfelelő elsajátítása után van értelme továbblépni a bonyolultabb szó szerinti kifejezésekre és az irracionális egyenletek megoldására, valamint a kifejezés lehetséges értékeinek tartományának kiszámítására. radikális.
A hallgatók ilyen jellegű problémákkal találkoznak a matematika egységes államvizsgáján, valamint a szakegyetemek első évfolyamán, amikor matematikai elemzést és kapcsolódó tudományokat tanulnak.
