A függvények és grafikonjaik tanulmányozása kiemelt figyelmet kapott téma a középiskolai tanterv keretében. A matematika vizsga profilszintjében a matematikai elemzés egyes alapjai - a differenciálás - szerepel. Néhány iskolásnak gondja van ezzel a témával, mivel összekeverik a függvény és a derivált grafikonját, és elfelejtik az algoritmusokat is. Ez a cikk a feladatok főbb típusait és azok megoldását ismerteti.
Mi a függvény értéke?
A matematikai függvény egy speciális egyenlet. Kapcsolatot hoz létre a számok között. A függvény az argumentum értékétől függ.
A függvény értékét a megadott képlet alapján számítjuk ki. Ehhez az x helyére cserélje be a képletben szereplő érvényes értékek tartományának megfelelő argumentumot, és hajtsa végre a szükséges matematikai műveleteket. Mi?
Hogyan találhatja meg egy függvény legkisebb értékét,grafikonfüggvényt használ?
Egy függvény argumentumtól való függésének grafikus ábrázolását függvénygráfnak nevezzük. Egy adott egységszegmenssel rendelkező síkra épül, ahol egy változó vagy argumentum értéke a vízszintes abszcissza tengely mentén, a megfelelő függvényérték pedig a függőleges ordináta tengely mentén van ábrázolva.
Minél nagyobb az argumentum értéke, annál jobbra helyezkedik el a grafikonon. És minél nagyobb magának a függvénynek az értéke, annál magasabb a pont.
Mit mond ez? A függvény legkisebb értéke az a pont lesz, amelyik a legalacsonyabb a grafikonon. A diagramszegmensen való megtalálásához a következőkre lesz szüksége:
1) Keresse meg és jelölje meg ennek a szakasznak a végeit.
2) Vizuálisan határozza meg, hogy ezen a szakaszon melyik pont van a legalacsonyabb.
3) Válaszul írja le a számértékét, amely úgy határozható meg, hogy egy pontot az y tengelyre vetít.
Extrém pontok a derivált diagramon. Hol nézz körül?
A feladatok megoldása során azonban előfordul, hogy egy gráfot nem egy függvényről, hanem annak deriváltjáról adnak meg. A véletlen hiba elkerülése érdekében érdemes figyelmesen elolvasni a feltételeket, mert attól függ, hol kell keresni a szélsőséges pontokat.
Tehát a derivált a függvény pillanatnyi növekedési sebessége. A geometriai definíció szerint a derivált az érintő meredekségének felel meg, amelyet közvetlenül az adott ponthoz húzunk.
Ismerhető, hogy a szélsőpontokban az érintő párhuzamos az Ox tengellyel. Ez azt jelenti, hogy a meredeksége 0.
Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a szélsőpontokban a derivált az x tengelyen fekszik vagy eltűnik. De emellett ezeken a pontokon a függvény irányt változtat. Vagyis egy növekedési időszak után csökkenni kezd, és ennek megfelelően a derivált pozitívról negatívra változik. Vagy fordítva.
Ha a derivált pozitívból negatív lesz, ez a maximális pont. Ha negatívból pozitív lesz - a minimum pont.
Fontos: ha meg kell adni egy minimum vagy maximum pontot a feladatban, akkor válaszul az abszcissza tengelye mentén írja be a megfelelő értéket. De ha meg kell találnia a függvény értékét, akkor először be kell cserélnie az argumentum megfelelő értékét a függvénybe, és ki kell számítania.
Hogyan találhatunk szélsőpontokat derivált használatával?
A vizsgált példák főként a vizsga 7. számú feladatára vonatkoznak, amely egy derivált vagy antiderivált grafikonjával való munkavégzést foglalja magában. De az USE 12. feladatát – egy függvény legkisebb értékének (néha a legnagyobb) megtalálása egy szegmensen – rajzok nélkül hajtják végre, és alapvető matematikai elemzési készségeket igényel.
Végrehajtásához tudnia kell szélsőséges pontokat találni a derivált segítségével. A megtalálásuk algoritmusa a következő:
- Keresse meg egy függvény deriváltját.
- Állítsa nullára.
- Keresse meg az egyenlet gyökereit.
- Ellenőrizze, hogy a kapott pontok szélsőpontok vagy inflexiós pontok-e.
Ehhez rajzoljon egy diagramot, és továbba kapott intervallumok meghatározzák a derivált előjeleit úgy, hogy a szegmensekhez tartozó számokat behelyettesítik a deriváltba. Ha az egyenlet megoldása során kettős multiplicitás gyököket kaptunk, ezek inflexiós pontok.
A tételek alkalmazásával határozza meg, hogy melyik pont a minimum és melyik a maximum
A függvény legkisebb értékének kiszámítása derivált segítségével
Azonban mindezen műveletek végrehajtása után meg fogjuk találni a minimum és maximum pontok értékét az x tengely mentén. De hogyan lehet megtalálni egy függvény legkisebb értékét egy szegmensen?
Mit kell tenni annak érdekében, hogy megtaláljuk a függvénynek megfelelő számot egy adott pontban? Az argumentum értékét be kell cserélnie ebbe a képletbe.
A minimum és maximum pontok a függvény legkisebb és legnagyobb értékének felelnek meg a szakaszon. Tehát a függvény értékének meghatározásához ki kell számítanunk a függvényt a kapott x értékek felhasználásával.
Fontos! Ha a feladat megköveteli egy minimum vagy maximum pont megadását, akkor válaszul írja be a megfelelő értéket az x tengely mentén. De ha meg kell találnia a függvény értékét, akkor először be kell cserélnie az argumentum megfelelő értékét a függvénybe, és végre kell hajtania a szükséges matematikai műveleteket.
Mit tegyek, ha nincs mélypont ebben a szegmensben?
De hogyan lehet megtalálni egy függvény legkisebb értékét egy szélsőpont nélküli szakaszon?
Ez azt jelenti, hogy a funkció monoton csökken vagy nő rajta. Ezután ennek a szegmensnek a szélső pontjainak értékét kell behelyettesítenie a függvénybe. Két módja van.
1) Kiszámolvaderiváltja és az intervallumok, amelyeken pozitív vagy negatív, annak megállapításához, hogy a függvény csökken vagy növekszik egy adott szakaszon.
Ezeknek megfelelően cserélje be az argumentum kisebb vagy nagyobb értékét a függvénybe.
2) Egyszerűen cserélje be mindkét pontot a függvénybe, és hasonlítsa össze a kapott függvényértékeket.
Mely feladatokban nem kötelező a derivált megtalálása
Általában a USE hozzárendeléseknél továbbra is meg kell találni a származékot. Csak néhány kivétel van.
1) Parabola.
A parabola csúcsát a képlet határozza meg.
Ha egy < 0, akkor a parabola ágai lefelé irányulnak. És a csúcsa a maximális pont.
Ha egy > 0, akkor a parabola ágai felfelé irányulnak, a csúcs a minimumpont.
A parabola csúcspontjának kiszámítása után az értékét be kell cserélni a függvénybe, és ki kell számítani a függvény megfelelő értékét.
2) y függvény=tg x. Vagy y=ctg x.
Ezek a funkciók monoton módon növekednek. Ezért minél nagyobb az argumentum értéke, annál nagyobb magának a függvénynek az értéke. Ezután példákkal megvizsgáljuk, hogyan találhatjuk meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy szegmensen.
Fő feladattípusok
Feladat: a függvény legnagyobb vagy legkisebb értéke. Példa a diagramon.
A képen az f (x) függvény deriváltjának grafikonja látható a [-6; 6]. A szakasz mely pontján [-3; 3] f(x) veszi a legkisebb értéket?
Tehát kezdésként válassza ki a megadott szegmenst. Rajta a függvény egyszer nulla értéket vesz fel, és megváltoztatja az előjelét - ez a szélsőpont. Mivel a negatív deriváltja pozitív lesz, ez azt jelenti, hogy ez a függvény minimumpontja. Ez a pont megfelel a 2. argumentum értékének
Válasz: 2.
Továbbra is nézze meg a példákat. Feladat: keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a szakaszon.
Keresse meg az y=(x - 8) ex-7 függvény legkisebb értékét a [6; 8].
1. Vegyük egy komplex függvény deriváltját.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Egyenlítse a kapott deriváltot nullával, és oldja meg az egyenletet.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, vagy ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, nincs gyökér
3. Helyettesítsd be a függvénybe a szélső pontok értékét, valamint az egyenlet kapott gyökereit.
y (6)=(6-8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7-8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8-8) e8-7=0e1=0
Válasz: -1.
Tehát ebben a cikkben azt a fő elméletet vizsgáltuk meg, hogyan lehet egy függvény legkisebb értékét megtalálni egy szegmensen, ami a speciális matematikai USE feladatok sikeres megoldásához szükséges. A matematika elemei isA vizsga C részéből történő feladatok megoldása során elemzést használnak, de nyilvánvalóan más összetettségi szintet képviselnek, és a megoldásukhoz szükséges algoritmusok nehezen illeszthetők egy anyag keretébe.
