A térbeli alakzatok térfogatának kiszámítása a sztereometria egyik fontos feladata. Ebben a cikkben megvizsgáljuk egy ilyen poliéder, mint piramis térfogatának meghatározását, és megadjuk a szabályos hatszögletű gúla térfogatának képletét is.
hatszögletű piramis
Először is nézzük meg, mi az az ábra, amelyről a cikkben lesz szó.
Vegyünk egy tetszőleges hatszöget, amelynek oldalai nem feltétlenül egyenlőek egymással. Tegyük fel azt is, hogy olyan pontot választottunk a térben, amely nincs a hatszög síkjában. Ez utóbbi összes sarkát a kiválasztott ponttal összekötve piramist kapunk. Két különböző, hatszögletű alappal rendelkező piramis látható az alábbi ábrán.
Látható, hogy a hatszögön kívül az ábra hat háromszögből áll, melyek kapcsolódási pontját csúcsnak nevezzük. Az ábrázolt piramisok között az a különbség, hogy a jobb oldali h magasságuk nem metszi a hatszög alapját annak geometriai középpontjában, és a bal oldali alak magassága leesik.pont abban a központban. Ennek a kritériumnak köszönhetően a bal oldali piramist egyenesnek, a jobb oldaliat ferdenek nevezték.
Mivel az ábrán a bal oldali ábra alapját egy hatszög alkotja, amelynek oldalai és szögei egyenlők, ezért helyesnek nevezzük. A cikk további részében csak erről a piramisról fogunk beszélni.
A hatszögletű piramis térfogata
Egy tetszőleges piramis térfogatának kiszámításához a következő képlet érvényes:
V=1/3hSo
Itt h az ábra magasságának hossza, So az alapterülete. Használjuk ezt a kifejezést egy szabályos hatszögletű gúla térfogatának meghatározására.
Mivel a vizsgált ábra egy egyenlő oldalú hatszögen alapul, területének kiszámításához használhatja a következő általános kifejezést egy n-szögre:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Itt n a sokszög oldalainak (sarkainak) számával egyenlő egész szám, a az oldalának hossza, a kotangens függvényt a megfelelő táblázatok segítségével számítjuk ki.
Az n=6 kifejezést alkalmazva a következőt kapjuk:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Most hátra van, hogy ezt a kifejezést behelyettesítsük az V kötet általános képletébe:
V6=S6h=√3/2ha2
Tehát a vizsgált gúla térfogatának kiszámításához ismerni kell két lineáris paraméterét: az alap oldalának hosszát és az ábra magasságát.
Példa problémamegoldásra
Megmutatjuk, hogyan használható a V6 kapott kifejezés a következő probléma megoldására.
Ismert, hogy egy szabályos hatszögletű gúla térfogata 100 cm3. Meg kell határozni az alap oldalát és az ábra magasságát, ha ismert, hogy ezek a következő egyenlőséggel kapcsolódnak egymáshoz:
a=2ó
Mivel csak a és h szerepel a térfogat képletében, ezen paraméterek bármelyike behelyettesíthető a másikkal kifejezve. Például a helyettesítéssel a következőt kapjuk:
V6=√3/2ó(2ó)2=>
h=∛(V6/(2√3))
A figura magasságának meghatározásához ki kell venni a térfogatból a harmadik fok gyökerét, amely megfelel a hossz dimenziójának. Behelyettesítjük a piramis V6 térfogatértékét a feladatkifejezésből, így megkapjuk a magasságot:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Mivel az alap oldala a probléma állapotának megfelelően kétszerese a talált értéknek, ezért megkapjuk az értéket:
a=2ó=23, 0676=6, 1352cm
Egy hatszögletű gúla térfogata nem csak az ábra magasságából és az alapja oldalának értékéből határozható meg. Kiszámításához elegendő ismerni a piramis két különböző lineáris paraméterét, például az apotémát és az oldalél hosszát.
