A piramis egy térbeli poliéder vagy poliéder, amely geometriai feladatokban fordul elő. Ennek az ábrának a fő tulajdonságai a térfogata és a felülete, amelyeket bármely két lineáris karakterisztikája ismeretében számítanak ki. Az egyik ilyen jellemző a piramis apotémája. A cikkben lesz szó róla.
Piramisforma
Mielőtt megadnánk a piramis apotémjének meghatározását, ismerkedjünk meg magával a figurával. A piramis egy poliéder, amelyet egy n-szögű alap és n háromszög alkot, amelyek az ábra oldalfelületét alkotják.
Minden piramisnak van egy csúcsa – az összes háromszög kapcsolódási pontja. Az ebből a csúcsból az alapra húzott merőlegest magasságnak nevezzük. Ha a magasság metszi az alapot a geometriai középpontban, akkor az ábrát egyenesnek nevezzük. Az egyenlő oldalú alappal rendelkező egyenes gúlát szabályos piramisnak nevezzük. Az ábrán egy hatszögletű alappal rendelkező gúla látható, amely oldalról és oldalról nézve
A jobb oldali piramis apotémája
Apotemának is hívják. A piramis tetejétől az ábra alapjának oldaláig húzott merőleges értendő. Értelemszerűen ez a merőleges a gúla oldallapját alkotó háromszög magasságának felel meg.
Mivel egy n-szögű alappal rendelkező szabályos piramisról van szó, akkor ennek mind az n apotémája azonos lesz, mivel ilyenek az ábra oldalfelületének egyenlő szárú háromszögei. Vegyük észre, hogy az azonos apotémek egy szabályos piramis tulajdonsága. Egy általános típusú (ferde, szabálytalan n-szögű) alaknál minden n apotém más lesz.
A szabályos piramis apotém másik tulajdonsága, hogy egyidejűleg a megfelelő háromszög magassága, mediánja és felezőpontja. Ez azt jelenti, hogy két egyforma derékszögű háromszögre osztja.
Háromszög alakú piramis és képletek apotémjének meghatározására
Minden szabályos piramisban a fontos lineáris jellemzők az alapja oldalának hossza, a b oldalél, a h magasság és a hb apotém. Ezeket a mennyiségeket a megfelelő képletekkel viszonyítjuk egymáshoz, amelyeket egy gúla rajzolásával és a szükséges derékszögű háromszögek figyelembevételével kaphatunk.
Egy szabályos háromszög alakú gúla 4 háromszöglapból áll, és ezek közül az egyiknek (az alapnak) egyenlő oldalúnak kell lennie. A többi általános esetben egyenlő szárú. apotémA háromszög alakú piramis más mennyiségekkel is meghatározható a következő képletekkel:
hb=√(b2- a2/4);
hb=√(a2/12 + h2)
E kifejezések közül az első bármely megfelelő alappal rendelkező piramisra érvényes. A második kifejezés csak egy háromszög alakú piramisra jellemző. Azt mutatja, hogy az apotém mindig nagyobb, mint az ábra magassága.
Ne keverje össze a piramis apotémáját a poliéderével. Ez utóbbi esetben az apotém egy merőleges szakasz, amelyet a poliéder középpontjától az oldalára húzunk. Például egy egyenlő oldalú háromszög apotémája √3/6a.
Apothem feladat
Legyen megadva egy szabályos piramis, amelynek alapja háromszög. Ki kell számítani az apotémjét, ha tudjuk, hogy ennek a háromszögnek a területe 34 cm2, és maga a piramis 4 azonos lapból áll.
A feladat feltételének megfelelően egyenlő oldalú háromszögekből álló tetraéderrel van dolgunk. Az egyik arc területének képlete:
S=√3/4a2
Ahol megkapjuk az a oldal hosszát:
a=2√(S/√3)
A hbapotém meghatározásához a b oldalélt tartalmazó képletet használjuk. A vizsgált esetben a hossza megegyezik az alap hosszával, a következőkkel rendelkezünk:
hb=√(b2- a2/4)=√3/2 a
A-tól S-ig behelyettesítve,megkapjuk a végső képletet:
hb=√3/22√(S/√3)=√(S√3)
Kaptunk egy egyszerű képletet, amelyben a piramis apotémája csak az alapterületétől függ. Ha az S értéket behelyettesítjük a feladat feltételéből, akkor a következő választ kapjuk: hb≈ 7, 674 cm.
