Bármilyen térbeli alak tanulmányozásakor fontos tudni, hogyan kell kiszámítani a térfogatát. Ez a cikk egy szabályos négyszög alakú piramis térfogatának képletét tartalmazza, és azt is bemutatja, hogyan kell ezt a képletet használni egy példa segítségével a problémák megoldására.
Melyik piramisról beszélünk?
Minden középiskolás diák tudja, hogy a piramis olyan poliéder, amely háromszögekből és sokszögekből áll. Ez utóbbi az ábra alapja. A háromszögeknek van egy közös oldaluk az alappal, és egyetlen pontban metszik egymást, ami a piramis csúcsa.
Minden piramist az alap oldalainak hossza, az oldalélek hossza és a magassága jellemzi. Ez utóbbi egy merőleges szegmens, az ábra tetejétől az alapra süllyesztve.
A szabályos négyszög alakú piramis négyzet alappal rendelkező alakzat, amelynek magassága ezt a négyzetet a közepén metszi. Az ilyen típusú piramisok talán leghíresebb példái az ókori egyiptomi kőépítmények. Lent egy fotóKheopsz piramisai.
A vizsgált ábrának öt lapja van, amelyek közül négy egyforma egyenlő szárú háromszög. Öt csúcs is jellemzi, amelyek közül négy az alaphoz tartozik, és nyolc él (az alap 4 éle és az oldallapok 4 éle).
A négyszög gúla térfogatának képlete helyes
A kérdéses figura térfogata az öt oldallal határolt tér része. Ennek a térfogatnak a kiszámításához az Sz gúla alapjával párhuzamos szelet területének következő függését használjuk a z függőleges koordinátától:
Sz=So (h - z/h)2
Itt So a négyzet alapterülete. Ha az írott kifejezésbe behelyettesítjük a z=h-t, akkor Sz nulla értéket kapunk. Ez a z értéke egy olyan szeletnek felel meg, amely csak a piramis tetejét tartalmazza. Ha z=0, akkor az So.
alapterület értékét kapjuk
Könnyű megtalálni a piramis térfogatát, ha ismerjük az Sz(z) függvényt, ehhez elég az ábrát végtelen számú alakra vágni. rétegeket párhuzamosan az alappal, majd hajtsa végre az integrációs műveletet. Ezt a technikát követem, így kapjuk:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Mert S0a négyzet alapterületét, majd a négyzet oldalát a betűvel jelölve megkapjuk a szabályos négyszög alakú piramis térfogatának képletét:
V=1/3a2h.
Most használjunk problémamegoldási példákat annak bemutatására, hogyan kell alkalmazni ezt a kifejezést.
A piramis térfogatának meghatározásának problémája az apotémán és az oldalélén keresztül
A piramis apotémje az oldalsó háromszög magassága, amely az alap oldalára süllyesztett. Mivel egy szabályos piramisban minden háromszög egyenlő, apotémjeik is azonosak lesznek. Jelöljük a hosszát a hb szimbólummal. Az oldalsó élt b-vel jelölje.
Tudva, hogy a gúla apotémája 12 cm, oldalsó éle pedig 15 cm, keresse meg egy szabályos négyszög alakú gúla térfogatát.
Az ábra térfogatának előző bekezdésben leírt képlete két paramétert tartalmaz: a oldalhosszt és h magasságot. Jelenleg egyiket sem ismerjük, ezért vessünk egy pillantást a számításaikra.
Egy négyzet a oldalának hosszát könnyű kiszámítani, ha a Pitagorasz-tételt használjuk egy derékszögű háromszögre, amelyben a hipotenusz a b él, a lábak pedig a h b és az alap oldalának fele a/2. Ezt kapjuk:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
A feltételből az ismert értékeket behelyettesítve a=18 cm értéket kapjuk.
A piramis h magasságának kiszámításához két dolgot tehet: vegyél egy téglalapotháromszög hipotenusz-oldalsó éllel vagy hipotenusz-apotémmal. Mindkét módszer egyenlő, és ugyanannyi matematikai művelet végrehajtását foglalja magában. Maradjunk egy háromszög vizsgálatánál, ahol a hipotenusz a hb apotéma. A lábak benne h és a / 2 lesznek. Ekkor a következőt kapjuk:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Most már használhatja az V kötet képletét:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Így egy szabályos négyszögletű piramis térfogata körülbelül 0,86 liter.
Kheopsz piramisának térfogata
Most oldjunk meg egy érdekes és gyakorlatilag fontos problémát: keressük meg Giza legnagyobb piramisának térfogatát. A szakirodalomból ismeretes, hogy az épület eredeti magassága 146,5 méter, alapzatának hossza pedig 230,363 méter. Ezek a számok lehetővé teszik, hogy a képletet alkalmazzuk V kiszámításához. A következőt kapjuk:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
A kapott érték közel 2,6 millió m3. Ez a térfogat egy 137,4 méteres kocka térfogatának felel meg.
