Egy szabályos négyszög alakú gúla oldalfelületének területe: képletek és példák a feladatokra

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

Tipikus geometriai problémák a síkban és a háromdimenziós térben a különböző alakzatok felületeinek meghatározásának problémái. Ebben a cikkben bemutatjuk egy szabályos négyszög alakú gúla oldalfelületének területének képletét.

Mi az a piramis?

Adjuk meg a piramis szigorú geometriai definícióját. Tegyük fel, hogy van egy sokszög, amelynek n oldala és n sarka van. Kiválasztunk egy tetszőleges pontot a térben, amely nem lesz a megadott n-szög síkjában, és összekapcsoljuk a sokszög minden csúcsával. Kapunk egy alakzatot, amelynek van valamilyen térfogata, amit n-szögű piramisnak nevezünk. Például mutassuk meg az alábbi ábrán, hogyan néz ki egy ötszögletű piramis.

Bármely piramis két fontos eleme az alapja (n-szög) és a teteje. Ezeket az elemeket n háromszög köti össze egymással, amelyek általában nem egyenlőek egymással. Merőleges leesett innenfentről lefelé haladást az alak magasságának nevezzük. Ha az alapot a geometriai középpontban metszi (egybeesik a sokszög tömegközéppontjával), akkor az ilyen piramist egyenesnek nevezzük. Ha ezen a feltételen kívül az alap egy szabályos sokszög, akkor az egész piramist szabályosnak nevezzük. Az alábbi ábra azt mutatja, hogyan néznek ki a szabályos piramisok háromszög, négyszög, ötszög és hatszög alappal.

Piramis felület

Mielőtt rátérnénk a szabályos négyszög alakú piramis oldalfelületének területére, érdemes elidőznünk magának a felületnek a fogalmánál.

Amint fentebb említettük és az ábrákon is látható, bármely piramist lapok vagy oldalak halmaza alkotja. Az egyik oldal az alap, az n oldal pedig a háromszög. Az egész ábra felülete az egyes oldalak területének összege.

Kényelmes a felületet egy kibontakozó alak példáján tanulmányozni. Az alábbi ábrákon egy szabályos négyszög alakú piramis keresése látható.

Látjuk, hogy a felülete egyenlő négy azonos egyenlő szárú háromszög területének és egy négyzet területének összegével.

Az ábra oldalait alkotó háromszögek teljes területét az oldalfelület területének nevezzük. Ezután megmutatjuk, hogyan kell kiszámítani egy szabályos négyszög alakú piramisra.

Egy négyszög alakú szabályos gúla oldalfelületének területe

Az oldalsó területének kiszámításáhozA megadott ábra felületén ismét rátérünk a fenti szkennelésre. Tegyük fel, hogy ismerjük a négyzet alap oldalát. Jelöljük a szimbólummal. Látható, hogy a négy egyforma háromszög mindegyikének van a hosszúságú alapja. A teljes területük kiszámításához ismernie kell ezt az értéket egy háromszögre. A geometriai kurzusból ismert, hogy az S_{t háromszög területe egyenlő az alap és a magasság szorzatával, amelyet fel kell osztani. Ez:}

S_t=1/2h_ba.

Ahol h_b az a alaphoz húzott egyenlő szárú háromszög magassága. Egy piramis esetében ez a magasság az apotéma. Most már meg kell szorozni a kapott kifejezést 4-gyel, hogy megkapjuk a kérdéses piramis oldalfelületének S_{b területét:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Ez a képlet két paramétert tartalmaz: az apotémet és az alap oldalát. Ha az utóbbi a legtöbb problémakörben ismert, akkor az előbbit más mennyiségek ismeretében kell kiszámítani. Íme a képlet a h_{b apotema kiszámításához két esetre:}

• ha az oldalborda hossza ismert;
• ha ismert a piramis magassága.

Ha az oldalél (egy egyenlő szárú háromszög oldala) hosszát L jellel jelöljük, akkor a h_{b apotémát a következő képlet határozza meg:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Ez a kifejezés a Pitagorasz-tétel alkalmazásának eredménye az oldalfelületi háromszögre.

Ha ismerta piramis h magassága, akkor a h_{b apotéma a következőképpen számítható:}

h_b=√(h² + a^2/4).

A kifejezés megszerzése akkor sem nehéz, ha a piramis belsejében egy derékszögű háromszöget veszünk figyelembe, amelyet a h és a/2 lábak, valamint a h_{b. alkotnak.}

Megmutatjuk, hogyan kell alkalmazni ezeket a képleteket két érdekes probléma megoldásával.

Probléma az ismert felülettel

Ismert, hogy egy szabályos négyszög alakú gúla oldalfelülete 108 cm². Ki kell számolni a h_{b apotémjének hosszát, ha a gúla magassága 7 cm.}

Írjuk fel a képletet az oldalfelület S_{bterületére a magasságon keresztül. Nálunk:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Itt a megfelelő apotema képletet behelyettesítettük az S_{b kifejezésbe. Nézzük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Az a érték meghatározásához módosítsuk a változókat:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Most behelyettesítjük az ismert értékeket és megoldjuk a másodfokú egyenletet:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Ennek az egyenletnek csak a pozitív gyökerét írtuk ki. Ekkor a piramis alapjának oldalai a következők lesznek:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Az apotema hosszának meghatározásához,csak használja a következő képletet:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 lásd:}

Kheopsz-piramis oldalfelülete

Határozza meg a legnagyobb egyiptomi piramis oldalfelületének értékét! Ismeretes, hogy a tövében egy négyzet fekszik, amelynek oldalhossza 230,363 méter. Az építmény magassága eredetileg 146,5 méter volt. Helyettesítsük be ezeket a számokat a megfelelő képletbe S_{b, így kapjuk:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

A talált érték valamivel nagyobb, mint a 17 futballpálya területe.