A csonka gúla oldalfelületének területe és térfogata: képletek és példa egy tipikus probléma megoldására

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

A háromdimenziós térben lévő alakzatok tulajdonságainak sztereometria keretein belüli tanulmányozása során gyakran kell problémákat megoldani a térfogat és a felület meghatározásához. Ebben a cikkben bemutatjuk, hogyan számítható ki egy csonka gúla térfogata és oldalfelülete jól ismert képletekkel.

Piramis a geometriában

A geometriában egy közönséges piramis egy alakzat a térben, amely valamilyen lapos n-szögre épül. Minden csúcsa egy ponthoz kapcsolódik, amely a sokszög síkján kívül helyezkedik el. Például itt van egy fénykép, amely egy ötszögletű piramist mutat.

Ezt az alakzatot lapok, csúcsok és élek alkotják. Az ötszögletű felületet alapnak nevezik. A fennmaradó háromszög alakú lapok az oldalfelületet alkotják. Minden háromszög metszéspontja a piramis fő csúcsa. Ha egy merőlegest leeresztünk róla az alapra, akkor a metszéspont helyzetének két lehetősége van:

• a geometriai középpontban, akkor a piramist egyenesnek nevezzük;
• nincs bentgeometriai középpont, akkor az ábra ferde lesz.

Továbbá csak a szabályos n-szögű alappal rendelkező egyenes alakzatokat fogjuk figyelembe venni.

Mi ez az ábra – csonka piramis?

Egy csonka gúla térfogatának meghatározásához világosan meg kell érteni, hogy melyik alakról van szó. Tisztázzuk ezt a kérdést.

Tegyük fel, hogy veszünk egy vágási síkot, amely párhuzamos egy közönséges gúla alapjával, és levágjuk vele az oldalfelület egy részét. Ha ezt a műveletet a fent látható ötszögletű gúlával hajtjuk végre, akkor az alábbi ábrán látható ábrát kapjuk.

A fotón látható, hogy ennek a piramisnak már két alapja van, és a felső hasonló az alsóhoz, de mérete kisebb. Az oldalfelületet már nem háromszögek, hanem trapézok ábrázolják. Egyenlő szárúak, és számuk megfelel az alap oldalainak számának. A csonka alakzatnak nincs fő csúcsa, mint egy szabályos piramisnak, magasságát pedig a párhuzamos alapok távolsága határozza meg.

Általános esetben, ha a vizsgált alakzatot n-szögű alapok alkotják, akkor n+2 lapja vagy oldala, 2n csúcsa és 3n éle van. Vagyis a csonka piramis egy poliéder.

Képlet egy csonka gúla térfogatához

Emlékezzünk vissza, hogy egy közönséges piramis térfogata magassága és alapterülete szorzatának 1/3-a. Ez a képlet nem alkalmas csonka piramisra, mivel két alapja van. És a hangerejemindig kisebb lesz, mint a szokásos számérték ugyanazon értéke, amelyből származik.

Anélkül, hogy belemennénk a kifejezés megszerzésének matematikai részleteibe, bemutatjuk a csonka piramis térfogatának végső képletét. A következőképpen van írva:

V=1/3ó(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Itt S₁ és S_{2 az alsó és felső alap területei, h az ábra magassága. Az írott kifejezés nem csak egy egyenes szabályos csonka gúlára érvényes, hanem az osztály bármely alakjára is. Sőt, az alapsokszögek típusától függetlenül. Az egyetlen feltétel, amely korlátozza a V kifejezés használatát, az az, hogy a piramis alapjainak párhuzamosnak kell lenniük egymással.}

E képlet tulajdonságainak tanulmányozásával több fontos következtetés is levonható. Tehát, ha a felső alap területe nulla, akkor egy közönséges piramis V képletéhez jutunk. Ha az alapok területei egyenlőek egymással, akkor megkapjuk a prizma térfogatának képletét.

Hogyan határozható meg az oldalfelület?

A csonka gúla jellemzőinek megismeréséhez nem csak térfogatának számítására van szükség, hanem az oldalfelület területének meghatározására is.

A csonka piramis kétféle lapból áll:

• egyenlőszárú trapézok;
• sokszögű alapok.

Ha van szabályos sokszög az alapokban, akkor a terület kiszámítása nem jelent nagyotnehézségek. Ehhez csak az a oldal hosszát és az n számát kell ismerni.

Oldalsó felület esetén a területének kiszámítása magában foglalja ezt az értéket az n trapéz mindegyikére. Ha az n-szög helyes, akkor az oldalsó felület képlete a következő:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Itt h_b a trapéz magassága, amelyet az ábra apotémájának nevezünk. Az a₁ és a_{2mennyiségek a szabályos n-szögű alapok oldalainak hosszai.}

Minden szabályos n-szögű csonka gúla esetében a h_b apotéma egyedileg definiálható az a₁ és a _{paraméterekkel. 2és az alakzat h magassága.}

Egy ábra térfogatának és területének kiszámításának feladata

Adott egy szabályos háromszög alakú csonka gúla. Ismeretes, hogy h magassága 10 cm, az alapok oldalainak hossza pedig 5 cm és 3 cm. Mekkora a csonka gúla térfogata és oldalfelületének területe?

Először is számítsuk ki a V értéket. Ehhez keressük meg az ábra alapjain található egyenlő oldalú háromszögek területeit. Nálunk:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Helyettesítse be az adatokat a képletbe V-be, megkapjuk a kívánt térfogatot:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Az oldalfelület meghatározásához tudnia kellapotém hossza h_{b. Figyelembe véve a megfelelő derékszögű háromszöget a piramison belül, felírhatjuk az egyenlőséget:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Az apotém értékét és a háromszögalapok oldalait behelyettesítjük az S_{bkifejezésbe, és megkapjuk a választ:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm²

Így megválaszoltuk a probléma összes kérdését: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.