A térbeli alakzatok figyelembevételekor gyakran problémák merülnek fel a felületük meghatározásával. Az egyik ilyen alak a kúp. Fontolja meg a cikkben, hogy mi az oldalfelülete egy kerek alappal rendelkező kúpnak, valamint egy csonka kúpnak.
Kúp kerek alappal
Mielőtt rátérnénk a kúp oldalfelületének figyelembevételére, megmutatjuk, milyen alakról van szó, és hogyan lehet geometriai módszerekkel előállítani.
Vegyünk egy ABC derékszögű háromszöget, ahol AB és AC lábak. Tegyük ezt a háromszöget az AC lábra, és forgassuk el az AB láb körül. Ennek eredményeként az AC és BC oldalak az alábbi ábra két felületét írják le.
Az elforgatással kapott alakzatot kerek egyenes kúpnak nevezzük. Kerek, mert az alapja egy kör, és egyenes, mert az ábra tetejéről húzott merőleges (B pont) a kört a középpontjában metszi. Ennek a merőlegesnek a hosszát magasságnak nevezzük. Nyilvánvalóan megegyezik az AB lábbal. A magasságot általában h betűvel jelöljük.
A figyelembe vett kúpot a magasságon kívül még két lineáris karakterisztika írja le:
- generálás, vagy generatrix (BC hipoténusz);
- alapsugár (AC láb).
A sugarat r betűvel, a generátort pedig g-vel jelöljük. Ekkor a Pitagorasz-tételt figyelembe véve felírhatjuk a vizsgált ábra szempontjából fontos egyenlőséget:
g2=h2+ r2
Kúpos felület
Az összes generatrica egy kúp kúpos vagy oldalsó felületét alkotja. Külsőleg nehéz megmondani, melyik lapos alaknak felel meg. Ez utóbbit fontos tudni a kúpos felület területének meghatározásakor. A probléma megoldására a sweep módszert használják. Ez a következőkből áll: egy felületet gondolatban levágunk egy tetszőleges generatrix mentén, majd egy síkon kibontjuk. Ezzel a sweep módszerrel a következő lapos ábra jön létre.
Ahogy sejtheti, a kör az alapnak felel meg, de a körszektor egy kúpos felület, aminek a területe érdekel minket. A szektort két generatrica és egy ív határolja. Ez utóbbi hossza pontosan megegyezik az alap kerületének kerületével (hosszával). Ezek a jellemzők egyértelműen meghatározzák a körkörös szektor összes tulajdonságát. Nem köztes matematikai számításokat adunk, hanem azonnal felírjuk a végső képletet, amellyel kiszámítható a kúp oldalfelületének területe. A képlet a következő:
Sb=pigr
Egy kúpos felület területe Sb egyenlő két paraméter és Pi szorzatával.
Csonkakúp és felülete
Ha veszünk egy közönséges kúpot, és egy párhuzamos síkkal levágjuk a tetejét, a maradék alak egy csonka kúp lesz. Oldalfelületét két kerek alap határolja. Jelöljük a sugarukat R és r-ként. Az ábra magasságát h-val, a generatrixot pedig g-vel jelöljük. Az alábbiakban egy papírkivágás látható ehhez az ábrához.
Látható, hogy az oldalfelület már nem egy kör alakú szektor, hanem kisebb a területe, mivel a középső részt levágták róla. A fejlesztés négy vonalra korlátozódik, ebből kettő egyenes szakasz-generátor, a másik kettő ív a csonkakúp alapjainak megfelelő köreinek hosszával.
Oldalfelület Sba következőképpen számítva:
Sb=pig(r + R)
A generatrix, a sugarak és a magasság a következő egyenlőséggel függ össze:
g2=h2+ (R - r)2
Az ábrák területeinek egyenlőségével kapcsolatos probléma
Adott egy 20 cm magas és 8 cm alapsugarú kúp Meg kell találni annak a csonka kúpnak a magasságát, amelynek oldalfelülete azonos területű lesz, mint ennek a kúpnak. A csonka figura ugyanarra az alapra épül, a felső alap sugara 3 cm.
Először is írjuk fel a kúp és a csonka ábra területeinek egyenlőségi feltételét. Nálunk:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Most írjuk fel az egyes alakzatok generatricáinak kifejezéseit:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Helyettesítse be g1 és g2 az egyenlő területek képletét, és négyzetre helyezze a bal és jobb old alt, így kapjuk:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Ahol megkapjuk a h2:
kifejezést
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Nem egyszerűsítjük ezt az egyenlőséget, hanem egyszerűen helyettesítjük a következő feltételből ismert adatokat:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8-3)2) ≈ 14,85 cm
Így ahhoz, hogy az ábrák oldalfelületeinek területe egyenlő legyen, a csonka kúpnak a következő paraméterekkel kell rendelkeznie: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
