A geometriai forradalom alakjai különös figyelmet kapnak jellemzőik és tulajdonságaik tanulmányozása során. Az egyik egy csonka kúp. Ez a cikk arra a kérdésre keresi a választ, hogy milyen képlettel számítható ki egy csonka kúp területe.
Melyik alakról beszélünk?
Egy csonka kúp területének leírása előtt meg kell adni ennek az ábrának a pontos geometriai meghatározását. Csonka egy ilyen kúp, amelyet egy közönséges kúp csúcsának egy síkkal történő levágása eredményeként kapunk. Ebben a meghatározásban számos árnyalatot kell hangsúlyozni. Először is, a metszetsíknak párhuzamosnak kell lennie a kúp alapjának síkjával. Másodszor, az eredeti alaknak körkúpnak kell lennie. Természetesen lehet elliptikus, hiperbolikus és más típusú figura, de ebben a cikkben csak egy körkúpra szorítkozunk. Ez utóbbi az alábbi ábrán látható.
Könnyen kitalálható, hogy nem csak egy síkszelvény, hanem egy forgatási művelet segítségével is megszerezhető. MertEhhez vegyen egy trapézt, amelynek két derékszöge van, és forgassa el a derékszögekkel szomszédos oldal körül. Ennek eredményeként a trapéz alapjai a csonka kúp alapjainak sugarai lesznek, a trapéz oldalirányú ferde oldala pedig a kúpos felületet írja le.
Alakfejlesztés
Egy csonka kúp felületét figyelembe véve célszerű a fejlődését, vagyis egy háromdimenziós alakzat felületének képét síkra hozni. Az alábbiakban a vizsgált ábra szkennelése látható tetszőleges paraméterekkel.
Látható, hogy az ábra területét három összetevő alkotja: két kör és egy csonka körszakasz. Nyilvánvalóan a szükséges terület meghatározásához össze kell adni az összes megnevezett figura területét. Oldjuk meg ezt a problémát a következő bekezdésben.
Csonkakúp terület
Az alábbi érvelés könnyebb megértése érdekében a következő jelölést vezetjük be:
- r1, r2 - a nagy és a kis alap sugarai;
- h - alak magassága;
- g - a kúp generatrixa (a trapéz ferde oldalának hossza).
Egy csonka kúp alapjainak területe könnyen kiszámítható. Írjuk fel a megfelelő kifejezéseket:
So1=pir12;
So2=pir22.
Egy körszakasz egy részének területét valamivel nehezebb meghatározni. Ha elképzeljük, hogy ennek a körszektornak a középpontja nincs kivágva, akkor a sugara egyenlő lesz a G értékkel. Nem nehéz kiszámítani, ha figyelembe vesszük a megfelelőthasonló derékszögű kúpháromszögek. Ez egyenlő:
G=r1g/(r1-r2).
Ekkor a teljes körszektor területe, amely a G sugárra épül, és amely egy 2pir1 hosszúságú ívre támaszkodik, egyenlő lesz címzett:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Most határozzuk meg az S2 kis körszektor területét, amelyet ki kell vonni az S1-ból. Ez egyenlő:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
A kúpos csonka felület területe Sb egyenlő az S1 és S közötti különbséggel 2. Ezt kapjuk:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Néhány nehézkes számítás ellenére egy meglehetősen egyszerű kifejezést kaptunk az ábra oldalfelületének területére.
Az alapok területeit és az Sb összeadásával megkapjuk a csonkakúp területének képletét:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Így a vizsgált ábra S értékének kiszámításához ismernie kell annak három lineáris paraméterét.
Példaprobléma
Kör alakú egyenes kúp10 cm sugarú és 15 cm magasságú síkkal levágtuk, így szabályos csonkakúpot kaptunk. Tudva, hogy a csonka alakzat alapjai közötti távolság 10 cm, meg kell találni a felületét.
A csonka kúp területének képletének használatához meg kell találnia három paraméterét. Egyet ismerünk:
r1=10 cm.
A másik kettő könnyen kiszámítható, ha hasonló derékszögű háromszögeket vesszük figyelembe, amelyeket a kúp tengelyirányú metszete eredményeként kapunk. A probléma körülményeit figyelembe véve a következőt kapjuk:
r2=105/15=3,33 cm.
Végül a g csonkakúp vezetője a következő lesz:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Most behelyettesítheti az r1, r2 és g értékeket az S:
képletébe.
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Az ábra kívánt felülete körülbelül 852 cm2.
