A kúp a forgás egyik térbeli alakja, amelynek jellemzőit és tulajdonságait sztereometria vizsgálja. Ebben a cikkben definiáljuk ezt az ábrát, és megvizsgáljuk azokat az alapvető képleteket, amelyek a kúp lineáris paramétereit a felületével és térfogatával összekötik.
Mi az a kúp?
A geometria szempontjából téralakról beszélünk, amelyet egyenes szakaszok halmaza alkot, amelyek egy adott térpontot kötnek össze egy sima lapos görbe összes pontjával. Ez a görbe lehet kör vagy ellipszis. Az alábbi ábra egy kúpot mutat.
A bemutatott ábrának nincs térfogata, mivel felületének falai végtelenül kicsiny vastagságúak. Ha azonban anyaggal van megtöltve, és felülről nem görbe, hanem lapos alakzat, például kör határolja, akkor egy tömör térfogati testet kapunk, amelyet kúpnak is szoktak nevezni.
A kúp alakja gyakran megtalálható az életben. Tehát van benne egy fagyl alttölcsér vagy csíkos fekete-narancssárga közlekedési kúpok, amelyeket az úttestre helyeznek, hogy felkeltsék a forgalom résztvevőinek figyelmét.
A kúp elemei és típusai
Mivel a kúp nem poliéder, az azt alkotó elemek száma nem olyan nagy, mint a poliédereknél. A geometriában egy általános kúp a következő elemekből áll:
- bázis, melynek határológörbéjét direktrixnek vagy generatrixnak nevezzük;
- az oldalfelület, amely a vezetőgörbe csúcsát és pontjait összekötő egyenes szakaszok (generatricák) összes pontja;
- csúcs, amely a generatricák metszéspontja.
Megjegyezzük, hogy a csúcs nem lehet az alap síkjában, mert ebben az esetben a kúp lapos alakzattá degenerálódik.
Ha felülről az alapra merőleges szakaszt rajzolunk, akkor megkapjuk az ábra magasságát. Ha az utolsó alap a geometriai középpontban metszi, akkor ez egy egyenes kúp. Ha a merőleges nem esik egybe az alap geometriai középpontjával, akkor az ábra ferde lesz.
Egyenes és ferde kúpok láthatók az ábrán. Itt a kúp alapjának magasságát és sugarát h-val, illetve r-rel jelöljük. Az ábra tetejét és az alap geometriai középpontját összekötő vonal a kúp tengelye. Az ábráról látható, hogy egyenes alaknál a magasság ezen a tengelyen fekszik, ferde alaknál pedig a magasság szöget zár be a tengellyel. A kúp tengelyét a betű jelzi.
Egyenes kúp kerek alappal
Talán ez a kúp a leggyakoribb a figurák figyelembe vett osztálya közül. Egy körből és egy oldalból állfelületek. Geometriai módszerekkel nem nehéz megszerezni. Ehhez vegyen egy derékszögű háromszöget, és forgassa el egy tengely körül, amely egybeesik az egyik lábbal. Nyilvánvalóan ez a láb lesz az ábra magassága, és a háromszög második lábának hossza alkotja a kúp alapjának sugarát. Az alábbi diagram bemutatja a szóban forgó forgatási ábra leírásának sémáját.
Az ábrázolt háromszög egy másik láb körül elforgatható, ami az elsőnél nagyobb alapsugárral és alacsonyabb magasságú kúpot eredményez.
A kerek egyenes kúp összes paraméterének egyértelmű meghatározásához ismernünk kell bármelyik két lineáris karakterisztikáját. Közülük megkülönböztetik az r sugarat, a h magasságot vagy a g generatrix hosszát. Mindezek a mennyiségek a figyelembe vett derékszögű háromszög oldalainak hosszai, ezért a Pitagorasz-tétel érvényes az összekapcsolásukra:
g2=r2+ h2.
Felület
Bármely háromdimenziós figura felületének tanulmányozásakor célszerű a kidolgozását síkon használni. A kúp sem kivétel. Kerek kúp esetében a fejlődés az alábbiakban látható.
Látjuk, hogy az ábra kibontása két részből áll:
- A kör, amely a kúp alapját képezi.
- A kör szektora, amely az ábra kúpos felülete.
A kör területét könnyű megtalálni, és a megfelelő képletet minden tanuló ismeri. A körkörös szektorról szólva megjegyezzük, hogy azegy g sugarú kör része (a kúp generatrixának hossza). Ennek a szektornak az ívének hossza megegyezik az alap kerületével. Ezek a paraméterek lehetővé teszik a terület egyértelmű meghatározását. A megfelelő képlet:
S=pir2+ pirg.
A kifejezés első és második tagja a terület alapjának kúpja, illetve oldalfelülete.
Ha a g generátor hossza ismeretlen, de az ábra h magassága adott, akkor a képlet a következőképpen írható át:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
Az ábra hangereje
Ha egy egyenes gúlát veszünk, és az alapja oldalainak számát a végtelenben növeljük, akkor az alap alakja kör alakú lesz, és a gúla oldalfelülete megközelíti a kúpos felületet. Ezek a megfontolások lehetővé teszik, hogy a gúla térfogatának képletét használjuk a kúp hasonló értékének kiszámításakor. A kúp térfogata a következő képlettel határozható meg:
V=1/3óSo.
Ez a képlet mindig igaz, függetlenül attól, hogy mi a kúp alapja, amelynek területe So. Ráadásul a képlet a ferde kúpra is vonatkozik.
Mivel egy kerek alappal rendelkező egyenes alak tulajdonságait vizsgáljuk, a térfogatának meghatározásához a következő kifejezést használhatjuk:
V=1/3hpir2.
A képlet nyilvánvaló.
A felület és a térfogat megtalálásának problémája
Adjunk meg egy kúpot, melynek sugara 10 cm, a generatrix hossza pedig 20Lásd: Meg kell határozni a térfogatot és a felületet ehhez az alakzathoz.
Az S terület kiszámításához azonnal használhatja a fent leírt képletet. Nálunk:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
A hangerő meghatározásához ismernie kell az ábra h magasságát. A kúp lineáris paraméterei közötti összefüggés alapján számítjuk ki. Ezt kapjuk:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 cm.
Most már használhatja a V képletet:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83cm3.
Ne feledje, hogy egy kerek kúp térfogata annak a hengernek a harmada, amelybe bele van írva.
