A térbeli alakzatok tulajdonságainak vizsgálata fontos szerepet játszik a gyakorlati problémák megoldásában. A térbeli alakokkal foglalkozó tudományt sztereometriának nevezik. Ebben a cikkben a szilárd geometria szempontjából egy kúpot veszünk figyelembe, és megmutatjuk, hogyan találjuk meg a kúp területét.
Kúp kerek alappal
Általános esetben a kúp valamilyen síkgörbére épített felület, amelynek minden pontját szakaszok kötik össze egy térbeli ponttal. Ez utóbbit a kúp csúcsának nevezzük.
A fenti definícióból világos, hogy a görbének tetszőleges alakja lehet, például parabola, hiperbola, elliptikus stb. Ennek ellenére a gyakorlatban és a geometriai problémákban gyakran egy kerek kúpról van szó. Az alábbi képen látható.
Itt az r szimbólum az ábra alján található kör sugarát jelöli, h pedig a kör síkjára merőleges, amelyet az ábra tetejéről húzunk. Magasságnak hívják. Az s érték a kúp generátora, vagy generátora.
Látható, hogy az r, h és s szakaszokderékszögű háromszöget alkot. Ha a h láb körül forgatjuk, akkor az s hipotenusz a kúpos felületet írja le, az r láb pedig az ábra kerek alapját. Emiatt a kúpot a forradalom alakjának tekintik. A három megnevezett lineáris paramétert az egyenlőség köti össze:
s2=r2+ h2
Megjegyezzük, hogy a megadott egyenlőség csak kerek egyenes kúpra érvényes. Egyenes alak csak akkor, ha magassága pontosan az alapkör közepébe esik. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor az ábrát ferdenek nevezzük. Az egyenes és a ferde kúpok közötti különbséget az alábbi ábra mutatja.
Alakfejlesztés
A kúp felületének tanulmányozása kényelmes, ha síkon tekintjük. Az alakok felületének térbeli ábrázolásának ezt a módját fejlesztésüknek nevezzük. A kúp esetében ez a fejlesztés a következőképpen érhető el: vegyen egy figurát, például papírból. Ezután ollóval vágja le a kerek alapot a kerület mentén. Ezután a generatrix mentén vágja le a kúpos felületet, és fordítsa síkra. Ezeknek az egyszerű műveleteknek az eredménye lesz a kúp kialakítása, az alábbi ábrán látható.
Amint látja, a kúp felülete valóban ábrázolható síkon. A következő két részből áll:
- kör r sugarú, amely az ábra alapját jelenti;
- g sugarú körszektor, amely egy kúpos felület.
A kúp területének képlete magában foglalja mindkét kibontott felület területeinek meghatározását.
Egy ábra felületének kiszámítása
Osszuk fel a feladatot két szakaszra. Először a kúp alapterületét, majd a kúpos felületét keressük meg.
A probléma első része könnyen megoldható. Mivel az r sugár adott, elég felidézni a megfelelő kifejezést a kör területének az alapterület kiszámításához. Írjuk fel:
So=pi × r2
Ha a sugár nem ismert, akkor először meg kell találnia a közte, a magasság és a generátor közötti relációs képlet segítségével.
A kúp területének megtalálásával kapcsolatos probléma második része valamivel bonyolultabb. Figyeljük meg, hogy a körszektor a generatrix g sugarára épül, és egy ív határolja, amelynek hossza megegyezik a kör kerületével. Ez a tény lehetővé teszi, hogy leírja az arányt és megtalálja a figyelembe vett szektor szögét. Jelöljük a görög φ betűvel. Ez a szög egyenlő lesz:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Egy körszektor középponti szögének φ ismeretében használhatja a megfelelő arányt a terület meghatározásához. Jelöljük az Sb szimbólummal. Ez egyenlő lesz:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Azaz a kúpos felület területe megfelel a g generatrix, az r alap sugara és a Pi szám szorzatának.
Tudva, hogy mindkettőnek mi a területefigyelembe vett felületekre felírhatjuk a végső képletet a kúp területére:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Az írott kifejezés feltételezi a kúp két lineáris paraméterének ismeretét az S kiszámításához. Ha g vagy r ismeretlen, akkor a h magasságon keresztül találhatók.
A kúp területének kiszámításának problémája
Ismert, hogy egy kerek egyenes kúp magassága megegyezik az átmérőjével. Ki kell számítani az ábra területét, tudva, hogy az alapterülete 50 cm2.
A kör területének ismeretében megtalálhatja az ábra sugarát. Nálunk:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Most keressük meg a g generátort h és r függvényében. A feltétel szerint az ábra h magassága két r sugárral egyenlő, ekkor:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
A g és r talált képleteit be kell cserélni a kúp teljes területére vonatkozó kifejezésbe. Ezt kapjuk:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
A kapott kifejezésbe behelyettesítjük az So alapterületét, és felírjuk a választ: S ≈ 161,8 cm2.
