A geometria a matematikának egy olyan ága, amely a térbeli struktúrákat és a köztük lévő kapcsolatokat vizsgálja. Viszont szakaszokból is áll, és ezek egyike a sztereometria. Lehetővé teszi a térben elhelyezkedő térfogati figurák tulajdonságainak tanulmányozását: kocka, piramis, golyó, kúp, henger stb.
A kúp egy test az euklideszi térben, amely egy kúpos felületet és egy síkot határol, amelyen generátorainak végei fekszenek. Kialakulása egy derékszögű háromszög bármely lába körüli forgása során következik be, ezért a forgástestekhez tartozik.
Kúpos alkatrészek
A következő típusú kúpokat különböztetjük meg: ferde (vagy ferde) és egyenes. Ferde az, amelynek tengelye nem derékszögben metszi az alapja középpontját. Emiatt az ilyen kúp magassága nem esik egybe a tengellyel, mivel ez egy szegmens, amelyet a test tetejétől a síkjába süllyesztenekalap 90°.
Azt a kúpot, amelynek tengelye merőleges az alapjára, egyenes kúpnak nevezzük. Egy ilyen geometriai testben a tengely és a magasság egybeesik, mivel a benne lévő csúcs az alapátmérő középpontja felett helyezkedik el.
A kúp a következő elemekből áll:
- A kör, amely az alapja.
- Oldal.
- Egy pont, amely nem az alap síkjában fekszik, amelyet a kúp tetejének neveznek.
- Szegmensek, amelyek összekötik a geometriai test alapja körének pontjait a tetejével.
Ezek a szegmensek a kúp generátorai. A geometriai test alapjához dőlnek, és derékszögű kúp esetén a vetületük egyenlő, mivel a csúcs egyenlő távolságra van az alapkör pontjaitól. Így arra a következtetésre juthatunk, hogy egy szabályos (egyenes) kúpban a generátorok egyenlőek, azaz azonos hosszúságúak és azonos szöget zárnak be a tengellyel (vagy magassággal) és az alappal.
Mivel egy ferde (vagy ferde) forgástestben a csúcs az alapsík középpontjához képest el van tolva, az ilyen testben lévő generátorok eltérő hosszúságúak és vetületűek, mivel mindegyik különböző távolságra van. az alapkör bármely két pontjából. Ezenkívül a köztük lévő szögek és a kúp magassága is eltérő lesz.
A generátorok hossza egy jobb oldali kúpban
Amint korábban írtuk, egy egyenes geometriai forgástestben a magasság merőleges az alap síkjára. Így az alap generatrixa, magassága és sugara derékszögű háromszöget hoz létre a kúpban.
Azaz az alap sugarának és magasságának ismeretében a Pitagorasz-tétel képletével kiszámíthatja a generatrix hosszát, amely egyenlő lesz az alapsugár négyzeteinek összegével és magasság:
l2 =r2+ h2 vagy l=√r 2 + h2
ahol l generatrix;
r – sugár;
h – magasság.
Generatív ferde kúpban
Abból a tényből kiindulva, hogy egy ferde vagy ferde kúpban a generátorok nem egyforma hosszúak, további konstrukciók és számítások nélkül nem lehet őket kiszámítani.
Először is ismernie kell a magasságot, a tengely hosszát és az alap sugarát.
Ezekkel az adatokkal kiszámolhatja a sugárnak a tengely és a magasság között fekvő részét a Pitagorasz-tétel képletével:
r1=√k2 - h2
ahol r1 a sugárnak a tengely és a magasság közötti része;
k – tengelyhossz;
h – magasság.
A sugár (r) és a tengely és a magasság között fekvő részének (r1) összeadásával megtudhatja a jobb oldal teljes oldalát háromszög, amelyet a kúp generatrixa, magassága és átmérője része:
R=r + r1
ahol R a háromszög szára, amelyet az alap magassága, generatrixa és átmérőjének egy része alkot;
r – alapsugár;
r1 – a sugár egy része a tengely és a magasság között.
A Pitagorasz-tétel ugyanazt a képletet használva megtudhatja a kúp generátorának hosszát:
l=√h2+ R2
vagy az R külön történő kiszámítása nélkül egyesítse a két képletet egy:
l=√h2 + (r + r1)2.
Annak ellenére, hogy egyenes vagy ferde kúpról van szó, és milyen bemeneti adatokról van szó, a generátor hosszának meghatározására szolgáló összes módszer mindig egy eredményre vezet - a Pitagorasz-tétel használatára.
Kúp szakasz
A kúp tengelyirányú metszete a tengelye vagy magassága mentén elhaladó sík. Derékszögű kúpban ilyen szakasz egy egyenlő szárú háromszög, amelyben a háromszög magassága a test magassága, oldalai a generátorok, az alap pedig az alap átmérője. Egy egyenlő oldalú geometriai testben a tengelymetszet egyenlő oldalú háromszög, mivel ebben a kúpban az alap és a generátorok átmérője egyenlő.
A tengelyirányú metszet síkja egy egyenes kúpban a szimmetriasíkja. Ennek az az oka, hogy a teteje az alapja közepe fölött van, vagyis a tengelyirányú metszet síkja a kúpot két egyforma részre osztja.
Mivel ferde testben a magasság és a tengely nem egyezik, előfordulhat, hogy a tengelyirányú metszet síkja nem tartalmazza a magasságot. Ha lehetséges egy ilyen kúpban tengelymetszetek halmazát megszerkeszteni, mivel ehhez csak egy feltételt kell betartani - csak a tengelyen kell átmennie, akkor a síkból csak egy tengelymetszet, amely a sík magasságához fog tartozni. ez a kúp megrajzolható, mert a feltételek száma nő, és mint ismeretes, két egyenes (együtt) tartozhatcsak egy repülőgép.
Szakaszterület
A korábban említett kúp tengelyirányú szakasza egy háromszög. Ennek alapján a területe kiszámítható a háromszög területére vonatkozó képlettel:
S=1/2dh vagy S=1/22rh
ahol S a keresztmetszeti terület;
d – alapátmérő;
r – sugár;
h – magasság.
Egy ferde, vagy ferde kúpban a tengely menti metszet is háromszög, így a benne lévő keresztmetszeti területet is hasonlóan számítjuk ki.
Hangerő
Mivel a kúp egy háromdimenziós alakzat a háromdimenziós térben, ki tudjuk számítani a térfogatát. A kúp térfogata egy olyan szám, amely ezt a testet térfogategységben, azaz m3-ban jellemzi. A számítás nem attól függ, hogy egyenes vagy ferde (ferde), mivel e két testtípus képlete nem különbözik.
Amint azt korábban említettük, a derékszögű kúp a derékszögű háromszög egyik lába mentén történő elforgatása miatt következik be. A ferde vagy ferde kúp különbözőképpen alakul ki, mivel magassága eltolódik a test alapsíkjának középpontjától. Az ilyen szerkezeti különbségek azonban nem befolyásolják a térfogat kiszámításának módszerét.
Térfogatszámítás
Bármely kúp térfogatának képlete így néz ki:
V=1/3πhr2
ahol V a kúp térfogata;
h – magasság;
r – sugár;
π - konstans egyenlő 3, 14.
A kúp térfogatának kiszámításához adatokkal kell rendelkeznie a test alapjának magasságáról és sugaráról.
A test magasságának kiszámításához ismernie kell az alap sugarát és a generatrix hosszát. Mivel a sugár, a magasság és a generatrix egy derékszögű háromszögben van egyesítve, a magasság kiszámítható a Pitagorasz-tétel képletével (a2+ b2=c 2 vagy esetünkben h2+ r2=l2 , ahol l - generatrix). Ebben az esetben a magasságot úgy számítjuk ki, hogy kivonjuk az alsó és a másik láb négyzetei közötti különbség négyzetgyökét:
a=√c2- b2
Azaz a kúp magassága megegyezik azzal az értékkel, amelyet a generatrix hosszának négyzete és az alap sugarának négyzete közötti különbségből kapott négyzetgyök kinyerése után kapunk:
h=√l2 - r2
A magasság kiszámításával ezzel a módszerrel, és ismerve az alap sugarát, kiszámíthatja a kúp térfogatát. Ebben az esetben a generatrix fontos szerepet játszik, mivel a számítások segédelemeként szolgál.
Hasonlóan, ha ismeri a test magasságát és generatrixának hosszát, akkor megtalálhatja alapjának sugarát úgy, hogy kivonja a generatrix négyzete és a magasság négyzete közötti különbség négyzetgyökét.:
r=√l2 - h2
Ezután a fenti képlet segítségével számítsa ki a kúp térfogatát.
Döntött kúp térfogata
Mivel a kúp térfogatának képlete ugyanaz minden típusú forgástestnél, a számítás különbsége a magasság keresése.
A ferde kúp magasságának meghatározásához a bemeneti adatoknak tartalmazniuk kell a generátor hosszát, az alap sugarát és a középpont távolságátalapja és a test magasságának metszéspontja alapja síkjával. Ennek ismeretében könnyen kiszámítható az alapátmérő azon része, amely egy derékszögű háromszög alapja lesz (amelyet az alap magassága, generatrixa és síkja alkot). Ezután ismét a Pitagorasz-tétel segítségével számítsa ki a kúp magasságát, majd a térfogatát.
