A térbeli geometriai feladatok megoldása során előforduló alakzatok egyike a kúp. A poliéderekkel ellentétben a forgásfigurák osztályába tartozik. Nézzük meg a cikkben, hogy mit értünk ez alatt a geometriában, és vizsgáljuk meg a kúp különböző szakaszainak jellemzőit.
Kúp a geometriában
Tegyük fel, hogy van valami görbe a síkon. Ez lehet parabola, kör, ellipszis stb. Vegyünk egy pontot, amely nem tartozik a megadott síkhoz, és kapcsoljuk össze a görbe összes pontját. A kapott felületet kúpnak vagy egyszerűen kúpnak nevezzük.
Ha az eredeti görbe zárt, akkor a kúpos felület anyaggal tölthető meg. Az így kapott alak egy háromdimenziós test. Kúpnak is nevezik. Az alábbiakban számos papírkúp látható.
A kúpos felület a mindennapi életben megtalálható. Például egy fagyl alttölcsér vagy egy csíkos forgalmi tölcsér ilyen formával rendelkezik, amelyet arra terveztek, hogy felkeltse a járművezetők figyelmét ésgyalogosok.
Kúpok típusai
Ahogy sejtheti, a vizsgált ábrák a görbe típusa szerint különböznek egymástól. Például van egy kerek kúp vagy egy ellipszis alakú. Ezt a görbét az ábra alapjának nevezzük. Azonban nem az alap alakja az egyetlen jellemző, amely lehetővé teszi a kúpok osztályozását.
A második fontos jellemző a magasságnak az alaphoz viszonyított helyzete. A kúp magassága egy egyenes szakasz, amely az ábra tetejétől az alap síkjába süllyesztve merőleges erre a síkra. Ha a magasság metszi az alapot a geometriai középpontban (például a kör közepén), akkor a kúp egyenes lesz, ha a merőleges szakasz az alap bármely más pontjára esik vagy azon túl, akkor az ábra ferde.
A cikkben a továbbiakban csak egy kerek, egyenes kúpot fogunk figyelembe venni a figurák figyelembe vett osztályának fényes képviselőjeként.
Kúpelemek geometriai nevei
Fentebb elhangzott, hogy a kúpnak van alapja. Egy kör határolja, amelyet a kúp vezetőjének nevezünk. Azokat a szakaszokat, amelyek a vezetőt egy olyan ponthoz kötik, amely nem esik az alap síkjában, generátoroknak nevezzük. A generátorok összes pontjának halmazát az ábra kúpos vagy oldalfelületének nevezzük. Kerek jobb oldali kúp esetén minden generátor azonos hosszúságú.
A generátorok metszéspontját az ábra tetejének nevezzük. A poliéderekkel ellentétben a kúpnak egyetlen csúcsa van, és nincs csúcsaél.
Az ábra tetején és a kör közepén áthaladó egyenest tengelynek nevezzük. A tengely egy egyenes kúp magasságát tartalmazza, tehát derékszöget zár be az alap síkjával. Ez az információ fontos a kúp tengelyirányú szakaszának területének kiszámításakor.
Kerek egyenes kúp – forgási ábra
A figyelembe vett kúp egy meglehetősen szimmetrikus alakzat, amelyet a háromszög elforgatásával kaphatunk. Tegyük fel, hogy van egy derékszögű háromszögünk. Kúp létrehozásához elegendő ezt a háromszöget az egyik láb körül elforgatni, ahogy az alábbi ábrán látható.
Látható, hogy a forgástengely a kúp tengelye. Az egyik láb egyenlő lesz az ábra magasságával, a második láb pedig az alap sugara lesz. A háromszög befogópontja a forgás eredményeként egy kúpos felületet ír le. Ez lesz a kúp generatrixa.
A kerek egyenes kúp előállításának ezzel a módszerével kényelmesen tanulmányozható az ábra lineáris paraméterei közötti matematikai kapcsolat: a h magasság, a kerek alap sugara r és a g vezető. A megfelelő képlet egy derékszögű háromszög tulajdonságaiból következik. Az alábbiakban található:
g2=h2+ r2.
Mivel egy egyenletünk és három változónk van, ez azt jelenti, hogy egy kerek kúp paramétereinek egyedi beállításához bármely két mennyiséget ismerni kell.
Kúp metszetei egy olyan síkkal, amely nem tartalmazza az ábra csúcsát
Az ábra szakaszainak megalkotásának kérdése nemjelentéktelen. A helyzet az, hogy a kúp felületi metszetének alakja az ábra és a metszés egymáshoz viszonyított helyzetétől függ.
Tegyük fel, hogy a kúpot metszük egy síkkal. Mi lesz ennek a geometriai műveletnek az eredménye? A metszet alakjának beállításai az alábbi ábrán láthatók.
A rózsaszín rész egy kör. Az ábra és a kúp alapjával párhuzamos síkkal való metszés eredményeként jön létre. Ezek az ábra tengelyére merőleges metszetek. A vágási sík felett kialakított alak az eredetihez hasonló, de az alján kisebb körrel rendelkező kúp.
A zöld szakasz egy ellipszis. Ezt akkor kapjuk, ha a vágási sík nem párhuzamos az alappal, hanem csak a kúp oldalfelületét metszi. A sík felett levágott alakzatot elliptikus ferde kúpnak nevezzük.
A kék és narancssárga rész parabolikus, illetve hiperbolikus. Amint az ábrán látható, ezeket akkor kapjuk, ha a vágási sík egyidejűleg metszi az ábra oldalfelületét és alapját.
A kúp figyelembe vett metszeteinek területeinek meghatározásához a síkon a megfelelő ábra képleteit kell használni. Például egy kör esetében ez a Pi szám szorozva a sugár négyzetével, egy ellipszis esetén pedig a Pi és a kis- és főféltengely hosszának szorzata:
kör: S=pir2;
ellipszis: S=piab.
A kúp tetejét tartalmazó szakaszok
Most fontolja meg a metszet opcióit, amelyek akkor merülnek fel, ha a vágási sík azáthalad a kúp tetején. Három eset lehetséges:
- A szakasz egyetlen pontból áll. Például a csúcson áthaladó és az alappal párhuzamos sík pontosan ilyen szakaszt ad.
- A szakasz egy egyenes. Ez a helyzet akkor fordul elő, ha a sík egy kúpos felületet érint. A szakasz egyenes vonala ebben az esetben a kúp generátora lesz.
- Axiális szakasz. Akkor jön létre, ha a sík nemcsak az ábra tetejét tartalmazza, hanem a teljes tengelyét is. Ebben az esetben a sík merőleges lesz a kerek alapra, és a kúpot két egyenlő részre osztja.
Nyilvánvalóan az első két típusú szakasz területe nullával egyenlő. Ami a 3. típusú kúp keresztmetszeti területét illeti, ezt a kérdést a következő bekezdés részletesebben tárgyalja.
Axiális szakasz
Fentebb megjegyeztük, hogy a kúp tengelyirányú metszete az az alakzat, amely akkor keletkezik, amikor a kúpot a tengelyén áthaladó sík metszi. Könnyen kitalálható, hogy ez a szakasz az alábbi ábrán látható ábrát fogja képviselni.
Ez egy egyenlő szárú háromszög. A kúp tengelyirányú metszetének csúcsa ennek a háromszögnek a csúcsa, amelyet az azonos oldalak metszéspontja alkot. Ez utóbbiak megegyeznek a kúp generatrixának hosszával. A háromszög alapja a kúp alapjának átmérője.
A kúp tengelyirányú metszetének területének kiszámítása a kapott háromszög területének meghatározására redukálódik. Ha kezdetben ismert az r alap sugara és a kúp h magassága, akkor a vizsgált szakasz S területe:
S=hr.
Eza kifejezés a háromszög területére vonatkozó standard képlet (a magasság fele szorzata az alap szorzatával) alkalmazásának következménye.
Jegyezzük meg, hogy ha egy kúp generatrixa egyenlő a kerek alapjának átmérőjével, akkor a kúp tengelyirányú metszete egyenlő oldalú háromszög.
Háromszög metszet akkor jön létre, ha a vágási sík merőleges a kúp alapjára, és átmegy a tengelyén. A nevezettvel párhuzamos bármely más sík hiperbolát ad a metszetben. Ha azonban a sík tartalmazza a kúp csúcsát, és az alapját nem az átmérőn keresztül metszi, akkor a kapott szakasz egy egyenlő szárú háromszög is lesz.
A kúp lineáris paramétereinek meghatározásának problémája
Megmutatjuk, hogyan használhatjuk a tengelyirányú metszet területére írt képletet geometriai probléma megoldására.
Ismert, hogy a kúp tengelyirányú metszetének területe 100 cm2. A kapott háromszög egyenlő oldalú. Mekkora a kúp magassága és alapjának sugara?
Mivel a háromszög egyenlő oldalú, h magassága az a oldal hosszához kapcsolódik a következőképpen:
h=√3/2a.
Tekintettel arra, hogy a háromszög oldala kétszerese a kúp alapjának sugarának, és ezt a kifejezést behelyettesítve a keresztmetszeti terület képletébe, a következőt kapjuk:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Akkor a kúp magassága:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Marad a terület értékének helyettesítése a probléma állapotávalés megkapja a választ:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Milyen területeken fontos a figyelembe vett szakaszok paramétereinek ismerete?
A különböző típusú kúpszelvények vizsgálata nemcsak elméleti szempontból érdekes, hanem gyakorlati alkalmazásai is vannak.
Először is meg kell említeni az aerodinamika területét, ahol a kúpszelvények segítségével szilárd testek ideális sima formáit lehet létrehozni.
Másodszor, a kúpszelvények olyan pályák, amelyek mentén az űrobjektumok gravitációs mezőben mozognak. Azt, hogy a rendszer kozmikus testeinek mozgási pályáját milyen konkrét szakasz reprezentálja, tömegük, abszolút sebességük és a köztük lévő távolságok aránya határozza meg.
