A háromszög az egyik legelterjedtebb geometriai forma, amelyet már általános iskolában ismerünk. A háromszög területének megtalálásának kérdésével minden diák szembesül a geometria órákon. Tehát milyen jellemzői vannak annak, hogy egy adott ábra területét megtaláljuk? Ebben a cikkben megvizsgáljuk az ilyen feladat elvégzéséhez szükséges alapvető képleteket, valamint elemezzük a háromszögek típusait.
A háromszögek típusai
Egy háromszög területét teljesen különböző módon lehet megkeresni, mert a geometriában többféle alakzat létezik, amelyek három szöget tartalmaznak. Ezek a fajok a következők:
- Akut háromszög.
- Szabadszögű.
- Egyenlő oldalú (helyes).
- Derékszögű háromszög.
- Egyenlőszárú.
Nézzük meg közelebbről a meglévő háromszögtípusokat.
Akutháromszög
Az ilyen geometriai alakzatot tekintik a legelterjedtebbnek a geometriai feladatok megoldásában. Amikor szükségessé válik egy tetszőleges háromszög rajzolása, ez az opció segít.
A hegyesszögű háromszögben, ahogy a neve is sugallja, minden szög hegyesszögű, és összeadva 180°.
Tökéletes szögű háromszög
Ez a háromszög is nagyon gyakori, de valamivel kevésbé gyakori, mint a hegyesszögű. Például háromszögek megoldásánál (vagyis több oldalát és szögét ismeri, és meg kell találnia a fennmaradó elemeket), néha meg kell határoznia, hogy a szög tompaszög-e vagy sem. A tompaszög koszinusza negatív szám.
Egy tompa háromszögben az egyik szög értéke meghaladja a 90°-ot, így a fennmaradó két szög kis értéket vehet fel (például 15° vagy akár 3°).
Egy ilyen típusú háromszög területének meghatározásához ismernie kell néhány árnyalatot, amelyekről később fogunk beszélni.
Szabályos és egyenlő szárú háromszögek
A szabályos sokszög olyan ábra, amely n szöget tartalmaz, és minden oldal és szög egyenlő. Ez a derékszögű háromszög. Mivel a háromszög összes szögének összege 180°, a három szög mindegyike 60°.
Egy szabályos háromszöget tulajdonságai miatt egyenlő oldalú alakzatnak is neveznek.
Azt is érdemes megjegyezni, hogy inegy szabályos háromszög csak egy körrel írható fel, és csak egy kör írható körül, és a középpontjuk egy pontban található.
Az egyenlő oldalú típus mellett választhatunk egy egyenlő szárú háromszöget is, amely kissé eltér tőle. Egy ilyen háromszögben két oldal és két szög egyenlő egymással, és a harmadik oldal (amelyhez egyenlő szögek csatlakoznak) az alap.
Az ábrán egy DEF egyenlő szárú háromszög látható, amelynek D és F szögei egyenlőek, és DF az alapja.
Derékszögű háromszög
Egy derékszögű háromszöget azért nevezünk így, mert az egyik szöge derékszög, azaz egyenlő 90°-kal. A másik két szög összeadva 90°.
Egy ilyen háromszög legnagyobb oldala, amely a 90°-os szöggel szemben fekszik, a hipotenusz, míg a másik két oldala a lábak. Az ilyen típusú háromszögekre a Pitagorasz-tétel alkalmazható:
A lábak hosszának négyzetösszege megegyezik a befogó hosszának négyzetével.
Az ábra egy BAC derékszögű háromszöget mutat be AC hipotenusszal, valamint AB és BC lábakkal.
A derékszögű háromszög területének meghatározásához ismernie kell a lábainak számértékeit.
Térjünk át az ábra területének meghatározására szolgáló képletekre.
Alapvető területképletek
A geometriában két olyan képlet létezik, amely a legtöbb háromszögtípus területének meghatározására alkalmas: hegyesszögű, tompaszögű, szabályos ésegyenlő szárú háromszögek. Elemezzük mindegyiket.
Emellett és magasságban
Ez a képlet univerzális az általunk vizsgált ábra területének megtalálásához. Ehhez elég tudni az oldal hosszát és a hozzá húzott magasság hosszát. Maga a képlet (az alap és a magasság szorzatának fele) így néz ki:
S=½AH, ahol A az adott háromszög oldala, H pedig a háromszög magassága.
Például egy hegyesszögű ACB háromszög területének meghatározásához meg kell szoroznia az AB oldalát a CD magassággal, és a kapott értéket el kell osztani kettővel.
Azonban nem mindig könnyű így megtalálni a háromszög területét. Például, ha ezt a képletet egy tompaszögű háromszögre szeretné használni, folytatnia kell az egyik oldalát, és csak ezután kell magasságot rajzolnia rá.
A gyakorlatban ezt a képletet gyakrabban használják, mint másokat.
Két oldalon és egy sarokban
Ez a képlet az előzőhöz hasonlóan a legtöbb háromszögre alkalmas, és jelentésében a háromszög oldala és magassága szerinti területet kereső képlet következménye. Vagyis a vizsgált képlet könnyen levezethető az előzőből. A megfogalmazása így néz ki:
S=½sinOAB, ahol A és B egy háromszög oldalai, O pedig az A és B oldalak közötti szög.
Emlékezzünk vissza, hogy egy szög szinuszát a kiváló szovjet matematikusról, V. M. Bradisről elnevezett speciális táblázatban tekinthetjük meg.
És most térjünk át más képletekre,csak kivételes típusú háromszögekhez használható.
Egy derékszögű háromszög területe
Az univerzális képlet mellett, amely magában foglalja a háromszög magasságának megrajzolását, a derékszöget tartalmazó háromszög területe a lábai alapján is megtalálható.
Így egy derékszöget tartalmazó háromszög területe a lábai szorzatának fele, vagy:
S=½ab, ahol a és b egy derékszögű háromszög lábai.
Szabályos háromszög
Az ilyen típusú geometriai alakzatok abban különböznek egymástól, hogy területe csak az egyik oldalának megadott értékével található meg (mivel egy szabályos háromszög minden oldala egyenlő). Tehát, miután találkozott azzal a feladattal, hogy "keresse meg a háromszög területét, amikor az oldalak egyenlőek", a következő képletet kell használnia:
S=A2√3 / 4, ahol A egy egyenlő oldalú háromszög oldala.
Heron's Formula
A háromszög területének meghatározására az utolsó lehetőség a Heron-képlet. Használatához ismerni kell az ábra három oldalának hosszát. Heron képlete így néz ki:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), ahol a, b és c ennek a háromszögnek az oldalai.
Néha az adott feladat: "egy szabályos háromszög területe - keresd meg az oldalának hosszát." Ebben az esetben egy szabályos háromszög területének meghatározásához a már ismert képletet kell használni, és ebből származtatja az oldal (vagy négyzet) értékét:
A2=4S / √3.
Vizsgaproblémák
A GIA feladatokbanA matematikában sok képlet létezik. Ezenkívül gyakran meg kell találni egy háromszög területét kockás papíron.
Ebben az esetben a legkényelmesebb az ábra egyik oldalára rajzolni a magasságot, meghatározni a hosszát cellákkal, és az univerzális képletet használni a terület megtalálásához:
S=½AH.
Tehát a cikkben bemutatott képletek áttanulmányozása után nem lesz gond egy háromszög területének megtalálásával.
