A háromszög a síkon zárt legegyszerűbb alakzat, amely mindössze három egymással összefüggő szegmensből áll. Geometriai problémák esetén gyakran meg kell határozni ennek az ábrának a területét. Mit kell ehhez tudni? A cikkben megválaszoljuk azt a kérdést, hogy hogyan lehet megtalálni a háromszög területét három oldalán.
Általános képlet
Minden tanuló tudja, hogy a háromszög területét a háromszög bármelyik oldalának hosszának a szorzataként számítják ki - a magasság felével - h, leengedve a választott oldalra. Alább látható a megfelelő képlet: S=ah/2.
Ez a kifejezés akkor használható, ha legalább két oldal és a köztük lévő szög értéke ismert. Ebben az esetben a h magasság könnyen kiszámítható trigonometrikus függvényekkel, mint például a szinusz. De nem mindenki tudja, hogyan találja meg a területet a háromszög három oldalán.
Heron's Formula
Ez a képlet a válasz a hogyan kérdésérehárom oldal keresse meg a háromszög területét. Mielőtt felírnánk, jelöljük egy tetszőleges ábra szakaszainak hosszát a, b és c-vel. A Heron-képlet a következőképpen írható fel: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Ahol p az ábra fél kerülete, azaz: p=(a+b+c)/2.
A látszólagos nehézkesség ellenére az S terület fenti kifejezése könnyen megjegyezhető. Ehhez először ki kell számítania a háromszög fél kerületét, majd ki kell vonnia belőle az ábra oldalának egy hosszát, meg kell szoroznia az összes kapott különbséget és magát a fél kerületet. Végül vegye a szorzat négyzetgyökét.
Ez a képlet Alexandriai Heronról kapta a nevét, aki korszakunk elején élt. A modern történelem úgy véli, hogy ez a filozófus alkalmazta először ezt a kifejezést a megfelelő számítások elvégzésére. Ezt a képletet a Metrica publikálta, amely i.sz. 60-ra nyúlik vissza. Vegyük észre, hogy Arkhimédésznek, aki két évszázaddal korábban élt, mint Heron, egyes művei tartalmaznak arra utaló jeleket, hogy a görög filozófus már ismerte a képletet. Ezenkívül az ókori kínaiak azt is tudták, hogyan találják meg a háromszög területét, három old alt ismerve.
Fontos megjegyezni, hogy a probléma megoldható anélkül, hogy ismernénk a Heron-képlet létezését. Ehhez rajzoljon néhány magasságot a háromszögbe, és használja az előző bekezdés általános képletét, és állítsa össze a megfelelő egyenletrendszert.
A Heron kifejezése felhasználható tetszőleges sokszögek területeinek kiszámítására, miután felosztotta őketháromszögek és az eredményül kapott átlók hosszának kiszámítása.
Példa problémamegoldásra
Tudva, hogyan találjuk meg a háromszög területét három oldalról, szilárdítsuk meg tudásunkat a következő feladat megoldásával. Legyen az ábra oldalai 5 cm, 4 cm és 3 cm. Keresse meg a területet.
A háromszög három oldala ismert, így használhatja Heron képletét. Kiszámoljuk a fél kerületet és a szükséges különbségeket, a következőt kapjuk:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1 cm;
- p-b=2 cm;
- p-c=3 cm.
Ezután megkapjuk a területet: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
A feladat feltételében megadott háromszög derékszögű, ami könnyen ellenőrizhető, ha a Pitagorasz-tételt használjuk. Mivel egy ilyen háromszög területe a lábak szorzatának fele, a következőt kapjuk: S=43/2=6 cm2.
A kapott érték megegyezik a Heron-képletével, ami megerősíti az utóbbi érvényességét.
