A mátrixok (numerikus elemeket tartalmazó táblázatok) különféle számításokhoz használhatók. Ezek egy része szorzás egy számmal, egy vektorral, egy másik mátrixszal, több mátrixszal. A termék néha hibás. A hibás eredmény a számítási műveletek végrehajtására vonatkozó szabályok ismeretének hiánya. Találjuk ki, hogyan kell szorozni.
Mátrix és szám
Kezdjük a legegyszerűbb dologgal – a számokkal ellátott táblázat megszorzásával egy adott értékkel. Például van egy A mátrixunk aij elemekkel (i a sorszámok és j az oszlopok száma), valamint az e számmal. A mátrix e szám szorzata lesz a B mátrix a bij elemekkel, amelyeket a következő képlettel találunk meg:
bij=e × aij.
T. e. a b11 elemhez vegyük az a11 elemet, és szorozzuk meg a kívánt számmal, így kapjuk a b12 meg kell találni az a12 elem és az e szám szorzatát stb.
Megoldjuk a képen látható 1. számú feladatot. A B mátrix létrehozásához egyszerűen szorozza meg az A elemeit 3-mal:
- a11 × 3=18. Ezt az értéket a B mátrixba írjuk az 1. oszlop és az 1. sor metszéspontjának helyére.
- a21 × 3=15. A b21.
- a12 × 3=-6. Megkaptuk a b12 elemet. Beírjuk a B mátrixba arra a helyre, ahol a 2. oszlop és az 1. sor metszi egymást.
- a22 × 3=9. Az eredmény a b22.
- a13 × 3=12. Írja be ezt a számot a mátrixba a b13.
- a23 × 3=-3. Az utolsó beérkezett szám a b23.
elemet kaptuk
Így egy numerikus elemekből álló téglalap alakú tömböt kaptunk.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektorok és a mátrixok szorzatának létezésének feltétele
A matematikai tudományokban létezik olyan, hogy "vektor". Ez a kifejezés az értékek rendezett halmazára vonatkozik a1 és a között. Ezeket vektortér-koordinátáknak nevezik, és oszlopként írják fel. Létezik a „transzponált vektor” kifejezés is. Összetevői karakterláncként vannak elrendezve.
A vektorok mátrixnak nevezhetők:
- oszlopvektor egy oszlopból felépített mátrix;
- sorvektor egy mátrix, amely csak egy sort tartalmaz.
Ha készA szorzási műveletek mátrixai felett fontos megjegyezni, hogy a szorzat létezésének feltétele van. Az A × B számítási művelet csak akkor hajtható végre, ha az A táblázat oszlopainak száma megegyezik a B táblázatban lévő sorok számával. A számítás eredményeként kapott mátrix mindig tartalmazza az A táblázatban lévő sorok számát és az oszlopok számát. táblázatban a B.
Szorzáskor nem javasolt a mátrixok (szorzók) átrendezése. A szorzatuk általában nem felel meg a szorzás kommutatív (eltolódási) törvényének, vagyis az A × B művelet eredménye nem egyenlő a B × A művelet eredményével. Ezt a tulajdonságot a szorzat szorzatának nem kommutativitásának nevezzük. mátrixok. Bizonyos esetekben az A × B szorzás eredménye megegyezik a B × A szorzás eredményével, azaz a szorzat kommutatív. Azokat a mátrixokat, amelyekre az A × B=B × A egyenlőség teljesül, permutációs mátrixoknak nevezzük. Lásd alább az ilyen táblázatokra vonatkozó példákat.
Szorzás oszlopvektorral
A mátrixot oszlopvektorral szorozva figyelembe kell vennünk a szorzat létezésének feltételét. A táblázatban lévő oszlopok számának (n) meg kell egyeznie a vektort alkotó koordináták számával. A számítás eredménye a transzformált vektor. Koordinátáinak száma megegyezik a táblázat sorainak számával (m).
Hogyan számítják ki az y vektor koordinátáit, ha van A mátrix és x vektor? A számításokhoz létrehozott képletek:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
ahol x1, …, x az x-vektor koordinátái, m a sorok száma a mátrixban és a szám koordináták az új y-vektorban, n az oszlopok száma a mátrixban és a koordináták száma az x-vektorban, a11, a12, …, amn– az A mátrix elemei.
Így, hogy megkapjuk az új vektor i-edik komponensét, végre kell hajtani a skaláris szorzatot. Az i-edik sor vektorát az A mátrixból vesszük, és megszorozzuk a rendelkezésre álló x vektorral.
Megoldjuk a 2. feladatot. Megtalálható egy mátrix és egy vektor szorzata, mert A-nak 3 oszlopa van, x-nek pedig 3 koordinátája van. Ennek eredményeként egy 4 koordinátájú oszlopvektort kell kapnunk. Használjuk a fenti képleteket:
- Számítsa ki az y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). A végső érték 2.
- Számítsa ki az y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Számításkor 0.
- Számítsa ki az y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). A feltüntetett tényezők szorzatának összege 6.
- Számítsa ki az y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). A koordináta -8.
Sor vektor-mátrix szorzás
Nem szorozhat meg több oszlopos mátrixot sorvektorral. Ilyen esetekben a mű meglétének feltétele nem teljesül. De egy sorvektor mátrixszal való szorzása lehetséges. Eza számítási művelet akkor kerül végrehajtásra, ha a vektor koordinátáinak száma és a táblázat sorainak száma egyezik. Egy vektor és egy mátrix szorzatának eredménye egy új sorvektor. Koordinátáinak számának meg kell egyeznie a mátrix oszlopainak számával.
Egy új vektor első koordinátájának kiszámítása magában foglalja a sorvektor és az első oszlopvektor szorzását a táblázatból. A második koordinátát hasonló módon számítjuk ki, de az első oszlopvektor helyett a második oszlopvektort veszik fel. Íme a koordináták kiszámításának általános képlete:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, ahol yk egy koordináta az y-vektorból, (k 1 és n között van), m a sorok száma a mátrixban és a koordináták száma az x-vektorban n a mátrix oszlopainak száma és az y-vektor koordinátáinak száma, a alfanumerikus indexekkel az A mátrix elemei.
Téglalap alakú mátrixok szorzata
Ez a számítás bonyolultnak tűnhet. A szorzás azonban könnyen elvégezhető. Kezdjük egy meghatározással. Egy m sorból és n oszlopból álló A mátrix, valamint egy n soros és p oszlopos B mátrix szorzata egy m soros és p oszlopos C mátrix, amelyben a cij elem a az A tábla i-edik sora és a B tábla j-edik oszlopa elemeinek szorzatának összege. Egyszerűbben a cij elem az i-edik sor skaláris szorzata vektor az A táblázatból és a j-edik oszlopvektor a B táblából.
Most nézzük meg a gyakorlatban, hogyan találjuk meg a téglalap alakú mátrixok szorzatát. Ehhez oldjuk meg a 3. feladatot, a termék létezésének feltétele teljesül. Kezdjük a cij:
elemek kiszámítását
- A Matrix C-nek 2 sora és 3 oszlopa lesz.
- C11 elem kiszámítása. Ehhez végrehajtjuk az A mátrix 1. sorának és a B mátrix 1. oszlopának skaláris szorzatát. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Ezután hasonló módon járunk el, csak a sorokat, oszlopokat változtatjuk (elemindextől függően).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Az elemek kiszámítása megtörtént. Most már csak egy téglalap alakú blokkot kell elkészíteni a kapott számokból.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Három mátrix szorzása: az elméleti rész
Megtalálható három mátrix szorzata? Ez a számítási művelet megvalósítható. Az eredmény többféleképpen is elérhető. Például van 3 négyzet alakú táblázat (azonos sorrendben) - A, B és C. A szorzat kiszámításához a következőket teheti:
- Először szorozza meg A-t és B-t, majd az eredményt szorozza meg C-vel.
- Először keresse meg B és C szorzatát. Ezután szorozza meg az A mátrixot az eredménnyel.
Ha téglalap alakú mátrixokat kell szoroznia, akkor először meg kell győződnie arról, hogy ez a számítási művelet lehetséges. KelleneA × B és B × C termékek léteznek.
A növekményes szorzás nem hiba. Van olyan, hogy "mátrixszorzás asszociativitása". Ez a kifejezés az (A × B) × C=A × (B × C) egyenlőségre vonatkozik.
Hárommátrixos szorzás gyakorlata
Négyzetmátrixok
Kezdje kis négyzetmátrixok szorzásával. Az alábbi ábra a 4-es számú feladatot mutatja, amelyet meg kell oldanunk.
Az asszociativitás tulajdonságot fogjuk használni. Először megszorozzuk A-t és B-t, vagy B-t és C-t. Csak egy dologra emlékszünk: a tényezőket nem lehet felcserélni, vagyis nem lehet B × A-t vagy C × B-t szorozni. Ezzel a szorzással kapunk egy hibás eredmény.
A döntés előrehaladása.
Első lépés. A közös szorzat megtalálásához először megszorozzuk A-t B-vel. Két mátrix szorzásakor a fentebb vázolt szabályokat kell követnünk. Tehát A és B szorzásának eredménye egy D mátrix lesz 2 sorral és 2 oszloppal, azaz egy téglalap alakú tömb 4 elemet fog tartalmazni. Keressük meg őket a következő számítással:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Kész a köztes eredmény.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Második lépés. Most szorozzuk meg D mátrixot C mátrixszal. Az eredmény egy 2 soros és 2 oszlopos G négyzetmátrix. Elemek kiszámítása:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Így a négyzetmátrixok szorzatának eredménye egy G táblázat számított elemekkel.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Téglalapmátrixok
Az alábbi ábra az 5. számú feladatot mutatja. A téglalap alakú mátrixokat meg kell szorozni, és meg kell találni a megoldást.
Ellenőrizzük, hogy teljesül-e az A × B és B × C szorzat létezésének feltétele A feltüntetett mátrixok sorrendjei lehetővé teszik a szorzás végrehajtását. Kezdjük a probléma megoldásával.
A döntés előrehaladása.
Első lépés. Megszorozzuk B-t C-vel, hogy megkapjuk D-t. A B mátrixnak 3 sora és 4 oszlopa van, a C mátrixnak pedig 4 sora és 2 oszlopa van. Ez azt jelenti, hogy egy 3 soros és 2 oszlopos D mátrixot kapunk. Számítsuk ki az elemeket. Íme 2 számítási példa:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Folytatjuk a probléma megoldását. A további számítások eredményeként a d21, d2 értékeket kapjuk. 2, d31 és d32. Ezek az elemek rendre 0, 19, 1 és 11. Írjuk be a talált értékeket egy téglalap alakú tömbbe.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Második lépés. Szorozzuk meg A-t D-vel, hogy megkapjuk a végső F mátrixot. 2 sora és 2 oszlopa lesz. Elemek kiszámítása:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Téglalap alakú tömb összeállítása, amely három mátrix szorzásának végeredménye.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Bevezetés a közvetlen munkába
Elég nehezen érthető anyag a mátrixok Kronecker-szorzata. Van egy további neve is - közvetlen mű. Mit jelent ez a kifejezés? Tegyük fel, hogy van egy m × n rendű A tábla és p × q rendű B tábla. Az A mátrix és a B mátrix közvetlen szorzata egy mp × nq rendű mátrix.
Van két A, B négyzetmátrixunk, amelyek a képen láthatók. Az elsőben 2 oszlop és 2 sor, a másodikban 3 oszlop és 3 sor van. Látjuk, hogy a közvetlen szorzat eredményeként kapott mátrix 6 sorból és pontosan ugyanannyi oszlopból áll.
Hogyan számítják ki egy új mátrix elemeit egy közvetlen szorzatban? Nagyon könnyű megtalálni a választ erre a kérdésre, ha elemzi a képet. Először töltse ki az első sort. Vegyük az első elemet az A táblázat felső sorából, és szorozzuk meg egymás után az első sor elemeivelA B táblázatból. Ezután vegyük ki az A táblázat első sorának második elemét, és szorozzuk meg a B táblázat első sorának elemeivel. A második sor kitöltéséhez vegyük ki ismét az A táblázat első sorának első elemét, és szorozza meg a B táblázat második sorának elemeivel.
A közvetlen szorzattal kapott végső mátrixot blokkmátrixnak nevezzük. Ha újra elemezzük az ábrát, akkor láthatjuk, hogy az eredményünk 4 blokkból áll. Mindegyik tartalmazza a B mátrix elemeit. Ezenkívül minden blokk egy elemét megszorozzuk az A mátrix egy adott elemével. Az első blokkban az összes elemet megszorozzuk a11-val, a második - a12, a harmadik - a21, a negyedik - a22.
Termékmeghatározó
A mátrixszorzás témakörében érdemes figyelembe venni egy olyan kifejezést, mint „a mátrixok szorzatának meghatározója”. Mi az a determináns? Ez a négyzetes mátrix fontos jellemzője, egy bizonyos érték, amely ehhez a mátrixhoz van rendelve. A determináns szó szerinti megnevezése det.
A két oszlopból és két sorból álló A mátrix esetében a determináns könnyen megtalálható. Van egy kis képlet, amely az egyes elemek szorzatai közötti különbséget jelenti:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Vegyünk egy példát egy másodrendű tábla determinánsának kiszámítására. Van egy A mátrix, amelyben a11=2, a12=3, a21=5 és a22=1. A determináns kiszámításához használja a következő képletet:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
3 × 3 mátrixok esetén a determinánst egy bonyolultabb képlet segítségével számítják ki. Az alábbiakban bemutatjuk az A mátrixhoz:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
A képlet emlékezetéhez kitaláltuk a háromszögszabályt, amelyet a kép szemléltet. Először a főátló elemeit megszorozzuk. A kapott értékhez hozzáadjuk a piros oldalú háromszögek szögeivel jelzett elemek szorzatait. Ezután kivonjuk a másodlagos átló elemeinek szorzatát, és kivonjuk a kék oldalú háromszögek sarkai által jelölt elemek szorzatát.
Most beszéljünk a mátrixok szorzatának determinánsáról. Van egy tétel, amely szerint ez a mutató egyenlő a szorzótáblák determinánsainak szorzatával. Erősítsük meg ezt egy példával. Van A mátrixunk a11=2, a12=3, a21=1 és abejegyzésekkel. 22=1 és B mátrix b11=4, b12=5, b 21 =1 és b22=2. Keresse meg az A és B mátrixok determinánsait, az A × B szorzatot és a szorzat determinánsát.
A döntés előrehaladása.
Első lépés. Számítsuk ki A determinánsát: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Ezután számítsa ki B determinánsát: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Második lépés. Találjuk kiA × B szorzat. Jelölje az új mátrixot C betűvel. Számítsa ki az elemeit:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Harmadik lépés. Számítsa ki C determinánsát: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Hasonlítsuk össze azzal az értékkel, amelyet az eredeti mátrixok determinánsainak szorzásával kaphatunk. A számok ugyanazok. A fenti tétel igaz.
Termékrangsor
A mátrix rangja egy olyan jellemző, amely a lineárisan független sorok vagy oszlopok maximális számát tükrözi. A rang kiszámításához a mátrix elemi transzformációit hajtjuk végre:
- két párhuzamos sor átrendezése;
- egy adott sor összes elemének szorzata a táblázatból egy nem nulla számmal;
- egyik sor elemeinek hozzáadása egy másik sor elemeihez, megszorozva egy adott számmal.
Az elemi átalakítások után nézze meg a nullától eltérő karakterláncok számát. Számuk a mátrix rangja. Tekintsük az előző példát. 2 mátrixot mutatott be: A a11=2, a12=3, a21=1 és a22 =1 és B b11=4, b12=5, b21=1 és b22=2. A szorzás eredményeként kapott C mátrixot is használjuk. Ha elemi transzformációkat hajtunk végre, akkor az egyszerűsített mátrixokban nem lesz nulla sor. Ez azt jelenti, hogy az A tábla és a B tábla rangja és a rangja isC táblázat 2.
Most fordítsunk különös figyelmet a mátrixok szorzatának rangjára. Van egy tétel, amely szerint a numerikus elemeket tartalmazó táblázatok szorzatának rangja nem haladja meg egyik tényező rangját sem. Ez bizonyítható. Legyen A k × s mátrix, B pedig s × m mátrix. A és B szorzata egyenlő C-vel.
Tanulmányozzuk a fenti képet. A C mátrix első oszlopát és annak egyszerűsített jelölését mutatja. Ez az oszlop az A mátrixban szereplő oszlopok lineáris kombinációja. Hasonlóképpen elmondható a C téglalap tömb bármely más oszlopáról is. Így a C tábla oszlopvektorai által alkotott altér a C tábla oszlopvektorai által alkotott altérben van. Az A tábla oszlopvektorai. Emiatt az 1. számú altér mérete nem haladja meg a 2. altér dimenzióját. Ez azt jelenti, hogy a C tábla oszlopainak rangja nem haladja meg az A tábla oszlopainak rangsorát, azaz r(C) ≦ r(A). Ha hasonló módon érvelünk, akkor megbizonyosodhatunk arról, hogy a C mátrix sorai a B mátrix sorainak lineáris kombinációi. Ebből következik az r(C) ≦ r(B) egyenlőtlenség.
A mátrixok szorzatának megtalálása meglehetősen bonyolult téma. Könnyen elsajátítható, de egy ilyen eredmény eléréséhez sok időt kell töltenie az összes létező szabály és tétel memorizálásával.
