A mátrix determinánsának megtalálása nem csak a lineáris algebra számára fontos művelet: a közgazdaságtanban például ezzel a számítással olyan sok ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszereket oldanak meg, amelyeket széles körben használnak közgazdasági problémákban..
Meghatározó fogalom
A mátrix determinánsa vagy determinánsa egy olyan érték, amely megegyezik a sor- vagy oszlopvektoraira épített paralelepipedon térfogatával. Ez az érték csak egy négyzetes mátrixra számítható ki, amelyiknek ugyanannyi sora és oszlopa van. Ha a mátrix tagjai számok, akkor a determináns is szám lesz.
Determinánsok számítása
Ne feledje, hogy számos szabály létezik, amelyek nagyban megkönnyíthetik az ilyen számításokat.
Tehát egy tagból álló mátrix determinánsa egyenlő az egyetlen elemével. A másodrendű determináns kiszámítása nem nehéz, ehhez elég kivonni a másodlagos átlón található elemek szorzatát a főátló tagjainak szorzatából.
A 3. rendű determináns kiszámítása a legegyszerűbba háromszögszabály szerint. Ehhez hajtsa végre a következő műveleteket:
- Keresse meg a mátrix három fő tagjának szorzatát
- Szorozza meg három olyan taggal, amelyek olyan háromszögeken találhatók, amelyek alapjai párhuzamosak a főátlóval.
- Ismételje meg az első és a második műveletet a másodlagos átlónál.
- Keresse meg az előző számítások során kapott értékek összegét, míg a harmadik bekezdésben kapott számokat mínusz előjellel veszi.
átlós.
A 4. rendű mátrix determinánsának egyszerű megtalálásához, valamint a magasabb dimenziókhoz, figyelembe kell venni azokat a tulajdonságokat, amelyekkel minden determináns rendelkezik:
- A determináns értéke nem változik a mátrix transzponálás után.
- Két szomszédos sor vagy oszlop pozíciójának megváltoztatása a determináns előjelének megváltozásához vezet.
- Ha a mátrixnak két egyenlő sora vagy oszlopa van, vagy az oszlop (sor) minden eleme nulla, akkor a determinánsa nulla.
- A mátrix számainak tetszőleges számmal való szorzata a determinánsának ugyanannyiszoros növekedéséhez vezet.
A fenti tulajdonságok használata segít könnyen megtalálni egy tetszőleges sorrendű mátrix determinánsát. Például ehhez a sorrendcsökkentési módszert alkalmazva, amelyben a determinánst kibővítjük a sor (oszlop) elemeivel, megszorozva az algebrai komplementerrel.
Egy másik módszer, amely sokkal könnyebbé teszi a determináns megtalálását
A
mátrix célja háromszög alakúvá tenni, amikor a főátló alatti összes elem nullával egyenlő. Ebben az esetben a mátrixdetermináns az ezen az átlón található számok szorzataként kerül kiszámításra.
És végül szeretném megjegyezni, hogy a determinánsok számítása, bár látszólag egyszerű matematikai számításokból áll, jelentős odafigyelést és kitartást igényel.
