Még az iskolában is mindannyian tanultunk egyenleteket és természetesen egyenletrendszereket. De kevesen tudják, hogy többféle megoldás is létezik ezekre. Ma részletesen elemezzük a lineáris algebrai egyenletrendszer megoldási módszereit, amelyek kettőnél több egyenlőségből állnak.
Előzmények
Ma már ismert, hogy az egyenletek és rendszereik megoldásának művészete az ókori Babilonból és Egyiptomból származik. Az egyenlőségek azonban szokásos formájukban az "=" egyenlőségjel megjelenése után jelentek meg, amelyet 1556-ban vezetett be az angol matematikus Record. Ezt a jelet egyébként okkal választották: két párhuzamos egyenlő szegmenst jelent. Valóban, nincs jobb példa az egyenlőségre.
Az ismeretlenek és a fokjelek modern betűjeleinek megalapítója Francois Viet francia matematikus. Megnevezései azonban jelentősen eltértek a maiaktól. Például egy ismeretlen szám négyzetét Q betűvel jelölte (lat. "quadratus"), a kockát pedig C betűvel (lat. "cubus"). Ezek a megnevezések most kényelmetlennek tűnnek, de akkorez volt a legérthetőbb módja a lineáris algebrai egyenletrendszerek felírásának.
Az akkori megoldási módszerek hátránya azonban az volt, hogy a matematikusok csak a pozitív gyököket vették figyelembe. Talán ennek az az oka, hogy a negatív értékeknek nem volt gyakorlati haszna. Így vagy úgy, Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano és Rafael Bombelli olasz matematikusok voltak az elsők, akik a 16. században vették figyelembe a negatív gyökereket. És a modern megjelenés, a másodfokú egyenletek megoldásának fő módszere (a diszkrimináns segítségével) csak a 17. században jött létre Descartes és Newton munkájának köszönhetően.
A 18. század közepén Gabriel Cramer svájci matematikus új módszert talált a lineáris egyenletrendszerek megoldásának megkönnyítésére. Ezt a módszert később róla nevezték el, és a mai napig alkalmazzuk. De a Cramer-módszerről egy kicsit később fogunk beszélni, de egyelőre a lineáris egyenleteket és a megoldási módszereket a rendszertől elkülönítve tárgyaljuk.
Lineáris egyenletek
A lineáris egyenletek a legegyszerűbb egyenlőségek változókkal. Algebrainak minősülnek. A lineáris egyenleteket általános formában a következőképpen írjuk fel: 2+…a x =b. A rendszerek és mátrixok további összeállítása során szükségünk lesz az ábrázolásukra ebben a formában.
Lineáris algebrai egyenletrendszerek
A kifejezés definíciója a következő: olyan egyenletek halmaza, amelyek közös ismeretlenekkel és közös megoldással rendelkeznek. Általában az iskolában mindent a rendszerek döntöttek elkét vagy akár három egyenlettel. Vannak azonban négy vagy több összetevőből álló rendszerek. Először gondoljuk át, hogyan írjuk le őket, hogy később kényelmes legyen megoldani őket. Először is, a lineáris algebrai egyenletrendszerek jobban fognak kinézni, ha minden változót x-ként írunk fel a megfelelő indexszel: 1, 2, 3 stb. Másodszor, az összes egyenletet a kanonikus alakra kell redukálni: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Ezen lépések után elkezdhetünk beszélni arról, hogyan találhatunk megoldást lineáris egyenletrendszerekre. A mátrixok nagyon hasznosak lesznek ehhez.
Matrices
A mátrix egy táblázat, amely sorokból és oszlopokból áll, és elemei a metszéspontjukban helyezkednek el. Ezek lehetnek konkrét értékek vagy változók. Leggyakrabban az elemek kijelölésére alsó indexeket helyeznek el alájuk (például a11 vagy a23). Az első index a sorszámot, a második az oszlop számát jelenti. A mátrixokon, valamint bármely más matematikai elemen különféle műveleteket hajthat végre. Így a következőket teheti:
1) Vonja ki és adja hozzá az azonos méretű táblázatokat.
2) Szorozza meg a mátrixot valamilyen számmal vagy vektorral.
3) Transzponálás: A mátrixsorokat oszlopokká, az oszlopokat pedig sorokká alakítja.
4) Szorozza meg a mátrixokat, ha az egyik sorainak száma megegyezik a másik oszlopainak számával.
Ezeket a technikákat részletesebben is meg fogjuk tárgyalni, mivel a jövőben hasznosak lesznek számunkra. A mátrixok kivonása és összeadása nagyon egyszerű. Ígymivel azonos méretű mátrixokat veszünk, akkor az egyik táblázat minden eleme egy másik táblázat minden elemének felel meg. Így ezt a két elemet összeadjuk (kivonjuk) (fontos, hogy a mátrixukban ugyanazon a helyen legyenek). Amikor egy mátrixot megszoroz egy számmal vagy vektorral, egyszerűen meg kell szoroznia a mátrix minden elemét ezzel a számmal (vagy vektorral). Az átültetés nagyon érdekes folyamat. Nagyon érdekes néha látni a valóságban, például amikor megváltoztatja a táblagép vagy a telefon tájolását. Az asztalon lévő ikonok egy mátrix, és ha megváltoztatja a pozíciót, akkor transzponálódik és szélesebb lesz, de csökken a magassága.
Vegyünk még egy pillantást egy olyan folyamatra, mint a mátrixszorzás. Bár nekünk nem lesz hasznos, mégis hasznos lesz tudni. Két mátrixot csak akkor szorozhat meg, ha az egyik táblázatban az oszlopok száma megegyezik a másik táblázatban lévő sorok számával. Most vegyük az egyik mátrix egy sorának elemeit és egy másik mátrix megfelelő oszlopának elemeit. Megszorozzuk őket egymással, majd összeadjuk (azaz például az a11 és a12 elemek szorzata b-vel 12és b22 egyenlő lesz: a11b12 + a 12 b22). Így megkapjuk a táblázat egyik elemét, amelyet hasonló módszerrel töltünk tovább.
Most elkezdhetjük megvizsgálni, hogyan oldható meg a lineáris egyenletrendszer.
Gauss-módszer
Ez a téma már az iskolában is múlni kezd. Jól ismerjük a "két lineáris egyenletrendszer" fogalmát, és tudjuk, hogyan kell megoldani őket. De mi van akkor, ha az egyenletek száma kettőnél több? A Gauss-módszer segít ebben.
Természetesen ez a módszer kényelmesen használható, ha mátrixot készít a rendszerből. De nem tudod átalakítani és megoldani a legtisztább formájában.
Tehát hogyan oldja meg ez a módszer a lineáris Gauss-egyenletrendszert? Egyébként, bár ezt a módszert róla nevezték el, az ókorban fedezték fel. Gauss a következőket javasolja: hajtsunk végre műveleteket egyenletekkel, hogy végül a teljes halmazt lépcsőzetes formává redukáljuk. Azaz szükséges, hogy fentről lefelé (ha helyesen van elhelyezve) az első egyenlettől az utolsóig egy ismeretlen csökkenjen. Más szóval, ügyelnünk kell arra, hogy mondjuk három egyenletet kapjunk: az elsőben - három ismeretlen, a másodikban - kettő, a harmadikban - egy. Ezután az utolsó egyenletből megkeressük az első ismeretlent, behelyettesítjük az értékét a második vagy az első egyenletbe, majd megkeressük a maradék két változót.
Cramer-módszer
A módszer elsajátításához létfontosságú elsajátítani a mátrixok összeadási és kivonási készségeit, és meg kell tudni találni a determinánsokat is. Ezért, ha mindezt rosszul csinálja, vagy egyáltalán nem tudja, hogyan kell, akkor tanulnia és gyakorolnia kell.
Mi ennek a módszernek a lényege, és hogyan lehet úgy elkészíteni, hogy lineáris Cramer-egyenletrendszert kapjunk? Minden nagyon egyszerű. Lineáris algebrai egyenletrendszer numerikus (majdnem mindig) együtthatóiból mátrixot kell alkotnunk. Ehhez egyszerűen vegye a számokat az ismeretlenek elé, és rendezze őkettáblázat a rendszerben való rögzítésük sorrendjében. Ha a szám előtt "-" jel áll, akkor negatív együtthatót írunk fel. Tehát az első mátrixot az ismeretlenek együtthatóiból állítottuk össze, az egyenlőségjelek utáni számok nélkül (természetesen az egyenletet a kanonikus formára kell redukálni, amikor csak a szám van a jobb oldalon, és az összes ismeretlen együtthatók a bal oldalon). Ezután több mátrixot kell létrehoznia - minden változóhoz egyet. Ehhez az első mátrixban minden oszlopot felváltva együtthatókkal helyettesítünk az egyenlőségjel utáni számokkal. Így több mátrixot kapunk, majd megtaláljuk a determinánsukat.
Miután megtaláltuk a meghatározókat, a dolog kicsi. Van egy kezdeti mátrixunk, és több eredő mátrix van, amelyek különböző változóknak felelnek meg. A rendszer megoldásainak megszerzéséhez a kapott tábla determinánsát elosztjuk a kezdeti tábla determinánsával. A kapott szám az egyik változó értéke. Hasonlóképpen minden ismeretlent megtalálunk.
Egyéb módszerek
Több további módszer létezik a lineáris egyenletrendszerek megoldására. Például az úgynevezett Gauss-Jordan módszer, amely másodfokú egyenletrendszer megoldására szolgál, és mátrixok használatához is kapcsolódik. Létezik egy Jacobi-módszer is lineáris algebrai egyenletrendszer megoldására. Ezt a legkönnyebben számítógéphez igazítani, és a számítástechnikában használják.
Nehéz esetek
Bonyolultság általában akkor következik be, ha az egyenletek száma kevesebb, mint a változók száma. Ekkor biztosan kijelenthetjük, hogy vagy inkonzisztens a rendszer (vagyis nincs gyökere), vagy a megoldásainak száma a végtelenbe hajlik. Ha megvan a második eset, akkor fel kell írnunk a lineáris egyenletrendszer általános megoldását. Legalább egy változót tartalmazni fog.
Következtetés
Elérkeztünk a végéhez. Összefoglalva: elemeztük, mi a rendszer és a mátrix, megtanultuk, hogyan lehet általános megoldást találni egy lineáris egyenletrendszerre. Ezen kívül más lehetőségeket is mérlegeltek. Megtudtuk, hogyan oldják meg a lineáris egyenletrendszert: a Gauss-módszert és a Cramer-módszert. Nehéz esetekről és más megoldási lehetőségekről beszélgettünk.
Valójában ez a téma sokkal kiterjedtebb, és ha jobban meg szeretné érteni, javasoljuk, hogy olvasson több szakirodalmat.
