Szerintem egy olyan dicsőséges matematikai eszköz történetével kellene kezdenünk, mint a differenciálegyenletek. Mint minden differenciál- és integrálszámítást, ezeket az egyenleteket is Newton találta ki a 17. század végén. Éppen ezt a felfedezését annyira fontosnak tartotta, hogy még az üzenetet is titkosította, amit ma valahogy így lehet fordítani: "A természet minden törvényét differenciálegyenletek írják le." Ez túlzásnak tűnhet, de igaz. A fizika, a kémia vagy a biológia bármely törvénye leírható ezekkel az egyenletekkel.
Euler és Lagrange matematikusok nagymértékben hozzájárultak a differenciálegyenletek elméletének kidolgozásához és létrehozásához. Már a 18. században felfedezték és továbbfejlesztették azt, amit most az egyetemek felső tagozatain tanulnak.
Henri Poincare-nek köszönhetően új mérföldkő kezdődött a differenciálegyenletek tanulmányozásában. Megalkotta a „differenciálegyenletek kvalitatív elméletét”, amely egy összetett változó függvényelméletével kombinálva jelentősen hozzájárult a topológia – a tértudomány és annak megalapozásához.tulajdonságok.
Mik azok a differenciálegyenletek?
Sokan félnek egy "differenciálegyenlet" kifejezéstől. Ebben a cikkben azonban részletezzük ennek a nagyon hasznos matematikai apparátusnak a lényegét, amely valójában nem olyan bonyolult, mint ahogy a névből látszik. Ahhoz, hogy elsőrendű differenciálegyenletekről kezdjünk beszélni, először meg kell ismerkednünk azokkal az alapfogalmakkal, amelyek eredendően kapcsolódnak ehhez a definícióhoz. És kezdjük a differenciálművel.
Differenciál
Sokan ismerik ezt a fogalmat az iskolából. Nézzük azonban meg közelebbről. Képzeljünk el egy függvény grafikonját. Annyira növelhetjük, hogy bármelyik szakasza egyenes alakot öltsön. Két pontot veszünk rajta, amelyek végtelenül közel vannak egymáshoz. A koordinátáik (x vagy y) közötti különbség végtelenül kicsi. Differenciálnak hívják, és a dy (különbség y-tól) és dx (különbség az x-től) előjelekkel jelöljük. Nagyon fontos megérteni, hogy a differenciál nem véges érték, és ez a jelentése és a fő funkciója.
És most figyelembe kell vennünk a következő elemet, amely hasznos lesz számunkra a differenciálegyenlet fogalmának magyarázatában. Ez a származék.
Származék
Valószínűleg mindannyian hallottuk ezt a koncepciót az iskolában. A derivált a függvény növekedésének vagy csökkenésének sebessége. Ebből a meghatározásból azonbansok minden homályossá válik. Próbáljuk meg magyarázni a derivált differenciálokkal. Térjünk vissza egy függvény végtelen kis szegmensére, amelynek két pontja van egymástól minimális távolságra. De még ennél a távolságnál is sikerül némileg változnia a függvénynek. Ennek a változásnak a leírására pedig egy deriválttal álltak elő, amely egyébként a differenciálok arányaként írható fel: f(x)'=df/dx.
Most érdemes átgondolni a derivált alapvető tulajdonságait. Csak három van belőlük:
- Az összeg vagy különbség deriváltja a következő származékok összegeként vagy különbségeként ábrázolható: (a+b)'=a'+b' és (a-b)'=a'-b'.
- A második tulajdonság a szorzáshoz kapcsolódik. Egy szorzat deriváltja az egyik függvény szorzatának és a másik függvény deriváltjának összege: (ab)'=a'b+ab'.
- A különbség deriváltja a következő egyenlőséggel írható fel: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Ezek a tulajdonságok hasznosak lesznek az elsőrendű differenciálegyenletek megoldásához.
Léteznek részleges származékok is. Tegyük fel, hogy van egy z függvényünk, amely x és y változóktól függ. Ennek a függvénynek a parciális deriváltjának kiszámításához, mondjuk x-hez, az y változót állandónak kell vennünk, és egyszerűen differenciálni kell.
Integrál
Egy másik fontos fogalom az integrál. Valójában ez a származék egyenes ellentéte. Többféle integrál létezik, de a legegyszerűbb differenciálegyenletek megoldásához a legtriviálisabb határozatlan integrálokra van szükség.
Mi az az integrál? Tegyük fel, hogy van némi függőségünk fx-től. Kivesszük belőle az integrált, és megkapjuk az F (x) függvényt (gyakran antideriváltnak is nevezik), amelynek deriváltja egyenlő az eredeti függvénnyel. Így F(x)'=f(x). Ebből az is következik, hogy a derivált integrálja egyenlő az eredeti függvénnyel.
Differenciálegyenletek megoldása során nagyon fontos megérteni az integrál jelentését és funkcióját, mivel ezeket nagyon gyakran át kell venni a megoldás megtalálásához.
Az egyenletek természetüktől függően eltérőek. A következő részben megvizsgáljuk az elsőrendű differenciálegyenletek típusait, majd megtanuljuk a megoldásukat.
Differenciálegyenletek osztályai
A "Diffury"-ket a bennük szereplő származékok sorrendje szerint osztják fel. Így van az első, második, harmadik és több sorrend. Több osztályba is oszthatók: közönséges és részleges származékokra.
Ebben a cikkben az elsőrendű közönséges differenciálegyenleteket fogjuk megvizsgálni. A következő részekben példákat és megoldási módokat is tárgyalunk. Csak az ODE-ket fogjuk figyelembe venni, mivel ezek a leggyakoribb egyenlettípusok. A közönséges alfajokra oszthatók: elválasztható változókkal, homogénekre és heterogénekre. Ezután megtudhatja, miben különböznek egymástól, és megtanulja megoldani őket.
Emellett ezek az egyenletek kombinálhatók is, így azután egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert kapunk. Az ilyen rendszereket is megfontoljuk, és megtanuljuk a megoldásukat.
Miért csak az első rendelést vesszük figyelembe? Mert egy egyszerűvel kell kezdeni, és mindent le kell írni, ami a differenciálművel kapcsolatosegyenletek, egy cikkben egyszerűen lehetetlen.
Elválasztható változóegyenletek
Ezek talán a legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletek. Ilyenek például a következőképpen írható példák: y'=f(x)f(y). Ennek az egyenletnek a megoldásához szükségünk van egy képletre, amely a derivált differenciálarányként ábrázolja: y'=dy/dx. Használatával a következő egyenletet kapjuk: dy/dx=f(x)f(y). Most rátérhetünk a szabványos példák megoldásának módszerére: a változókat részekre bontjuk, azaz az y változóval mindent átviszünk arra a részre, ahol dy található, és ugyanezt tesszük az x változóval. Egy dy/f(y)=f(x)dx alakú egyenletet kapunk, amelyet mindkét rész integráljának felvételével oldunk meg. Ne feledkezzünk meg a konstansról, amelyet az integrál felvétele után kell beállítani.
Bármilyen "eltérés" megoldása x y-tól való függésének függvénye (esetünkben), vagy ha van numerikus feltétel, akkor a válasz egy szám formájában. Elemezzük a megoldás teljes menetét egy konkrét példa segítségével:
y'=2ysin(x)
Változók mozgatása különböző irányokba:
dy/y=2sin(x)dx
Most vegyük az integrálokat. Mindegyik megtalálható egy speciális integráltáblázatban. És ezt kapjuk:
ln(y)=-2cos(x) + C
Ha szükséges, az "y"-t "x" függvényében is kifejezhetjük. Most már azt mondhatjuk, hogy a differenciálegyenletünk megoldott, ha nem adunk meg feltételt. Feltétel megadható, például y(n/2)=e. Ezután ezeknek a változóknak az értékét egyszerűen behelyettesítjük a megoldásba éskeresse meg az állandó értékét. Példánkban ez egyenlő 1.
Elsőrendű homogén differenciálegyenletek
Most pedig térjünk át a nehezebb részre. Az elsőrendű homogén differenciálegyenletek általános formában a következőképpen írhatók fel: y'=z(x, y). Megjegyzendő, hogy két változó jobb függvénye homogén, és nem osztható két függőségre: z x-en és z y-n. Annak ellenőrzése, hogy az egyenlet homogén-e vagy sem, nagyon egyszerű: behelyettesítjük x=kx és y=ky. Most töröljük az összes k. Ha ezeket a betűket csökkentjük, akkor az egyenlet homogén, és nyugodtan folytathatja a megoldást. Ha előre tekintünk, mondjuk: ezeknek a példáknak a megoldásának elve is nagyon egyszerű.
Behelyettesítést kell végrehajtanunk: y=t(x)x, ahol t egy olyan függvény, amely szintén függ x-től. Ekkor ki tudjuk fejezni a deriváltot: y'=t'(x)x+t. Mindezt az eredeti egyenletünkbe behelyettesítve és leegyszerűsítve kapunk egy példát t és x elválasztható változókkal. Megoldjuk és megkapjuk a t(x) függőséget. Amikor megkaptuk, egyszerűen behelyettesítjük az y=t(x)x-et az előző helyettesítésünkbe. Ekkor megkapjuk y függőségét x-től.
A világosabbá tétel érdekében nézzünk egy példát: xy'=y-xey/x.
A cserével végzett ellenőrzéskor minden lecsökken. Tehát az egyenlet valóban homogén. Most egy másik behelyettesítést végzünk, amiről már beszéltünk: y=t(x)x és y'=t'(x)x+t(x). Egyszerűsítés után a következő egyenletet kapjuk: t'(x)x=-et. Az így kapott példát elválasztott változókkal oldjuk meg, és kapjuk: e-t=ln(Cx). Csak le kell cserélnünk t-t y/x-re (végül is, ha y=tx, akkor t=y/x), és kapjukválasz: e-y/x=ln(xC).
Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek
Itt az ideje egy újabb nagy témának. Elsõrendû inhomogén differenciálegyenleteket fogunk elemezni. Miben különböznek az előző kettőtől? Találjuk ki. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános formában a következőképpen írhatók fel: y' + g(x)y=z(x). Érdemes tisztázni, hogy z(x) és g(x) lehetnek állandók.
És most egy példa: y' - yx=x2.
Kétféleképpen lehet megoldani, és mindkettővel sorban fogunk foglalkozni. Az első a tetszőleges állandók variációjának módszere.
Az egyenlet ily módon történő megoldásához először a jobb old alt kell egyenlővé tenni nullával, és meg kell oldani a kapott egyenletet, amely az alkatrészek mozgatása után a következő alakot veszi fel:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Most le kell cserélnünk a C1 konstanst a v(x) függvénnyel, amelyet meg kell találnunk.
y=vex2/2.
Változtassuk meg a derivált:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
És cserélje be ezeket a kifejezéseket az eredeti egyenletbe:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Látható, hogy a bal oldalon két kifejezés megszűnik. Ha valamelyik példában ez nem történt meg, akkor valamit rosszul csináltál. Folytatás:
v'ex2/2 =x2.
Most megoldjuk a szokásos egyenletet, amelyben el kell választani a változókat:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Az integrál kinyeréséhez itt részenkénti integrációt kell alkalmaznunk. Cikkünknek azonban nem ez a témája. Ha érdekli, megtanulhatja, hogyan hajtson végre ilyen műveleteket saját maga. Nem nehéz, és kellő hozzáértéssel és odafigyeléssel nem sok időt vesz igénybe.
Térjünk át az inhomogén egyenletek megoldásának második módszerére: a Bernoulli-módszerre. Ön dönti el, hogy melyik megközelítés gyorsabb és egyszerűbb.
Tehát, amikor az egyenletet ezzel a módszerrel oldjuk meg, be kell cserélnünk: y=kn. Itt k és n néhány x-függő függvény. Ekkor a derivált így fog kinézni: y'=k'n+kn'. Helyettesítse be mindkét helyettesítést az egyenletbe:
k'n+kn'+xkn=x2.
Csoport:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Most nullával kell egyenlővé tennünk a zárójelben lévőt. Most, ha a két eredményül kapott egyenletet kombinálja, egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert kap, amelyet meg kell oldania:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Az első egyenlőség úgy van megoldva, mint egy normál egyenlet. Ehhez el kell választani a változókat:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Vegye az integrált, és kapja meg: ln(n)=x2/2. Ezután, ha kifejezzük n:
n=ex2/2.
Most behelyettesítjük a kapott egyenlőséget a rendszer második egyenletébe:
k'ex2/2=x2.
És átalakítva ugyanazt az egyenlőséget kapjuk, mint az első módszernél:
dk=x2/ex2/2.
További lépésekbe sem megyünk bele. Érdemes elmondani, hogy eleinte az elsőrendű differenciálegyenletek megoldása okoz jelentős nehézségeket. Azonban ahogy egyre mélyebbre merül a témában, egyre jobb és jobb lesz.
Hol használják a differenciálegyenleteket?
A differenciálegyenleteket nagyon aktívan használják a fizikában, mivel szinte minden alaptörvény differenciál alakban van felírva, és a képletek, amelyeket látunk, ezeknek az egyenleteknek a megoldásai. A kémiában ugyanazon okból használják őket: az alapvető törvények származnak belőlük. A biológiában differenciálegyenleteket használnak a rendszerek, például a ragadozó-zsákmány viselkedésének modellezésére. Használhatók például egy mikroorganizmus-telep reprodukciós modelljének létrehozására is.
Hogyan segítenek a differenciálegyenletek az életben?
A válasz erre a kérdésre egyszerű: semmi esetre sem. Ha Ön nem tudós vagy mérnök, akkor valószínűleg nem lesznek hasznosak az Ön számára. Az általános fejlesztéshez azonban nem árt tudni, hogy mi az a differenciálegyenlet, és hogyan kell megoldani. És akkor a fia vagy lánya kérdése: "Mi az a differenciálegyenlet?" nem fog összezavarni. Nos, ha Ön tudós vagy mérnök, akkor maga is megérti ennek a témának a jelentőségét bármely tudományban. De a legfontosabb dolog az, hogy most a "hogyan kell megoldani egy elsőrendű differenciálegyenletet?" mindig válaszolhatsz. Egyetértek, ez mindig szépamikor megérted azt, amit az emberek félnek megérteni.
Fő tanulási problémák
A téma megértésének fő problémája a funkciók integrálásának és megkülönböztetésének gyenge készsége. Ha rosszul értesz deriváltakat és integrálokat, akkor valószínűleg többet kell tanulnod, elsajátítani az integrálás és a differenciálás különböző módszereit, és csak ezután kezdd el tanulmányozni a cikkben leírt anyagot.
Vannak, akik meglepődnek, amikor rájönnek, hogy a dx átvihető, mert korábban (az iskolában) azt mondták, hogy a dy/dx tört oszthatatlan. Itt el kell olvasni a származékkal kapcsolatos szakirodalmat, és megérteni, hogy az egyenletek megoldása során a végtelenül kicsi mennyiségek aránya manipulálható.
Sokan nem veszik észre azonnal, hogy az elsőrendű differenciálegyenletek megoldása gyakran nem felvehető függvény vagy integrál, és ez a téveszme sok gondot okoz nekik.
Mit lehet még tanulmányozni a jobb megértés érdekében?
A differenciálszámítás világában való további elmélyülést a legjobb speciális tankönyvekkel kezdeni, például a nem matematikai szakos hallgatók számításában. Ezután továbbléphet a speciális irodalom felé.
El kell mondanunk, hogy a differenciálegyenletek mellett vannak integrálegyenletek is, így mindig lesz mire törekedni és tanulni.
Következtetés
Reméljük, hogy elolvasása utánEz a cikk ötletet adott arról, hogy mik a differenciálegyenletek, és hogyan kell helyesen megoldani őket.
A matematika mindenesetre hasznos lesz számunkra az életben. Fejleszti a logikát és a figyelmet, amelyek nélkül minden ember olyan, mint kéz nélkül.
