Az igazi tudás mindenkor egy minta megállapításán és annak bizonyos körülmények között való bizonyításán alapult. A logikus érvelés ilyen hosszú fennállásának idejére adottak voltak a szabályok megfogalmazásai, és Arisztotelész össze is állította a „helyes érvelés” listáját. Történelmileg az a szokás, hogy minden következtetést két típusra osztanak - a konkréttól a többes számig (indukció) és fordítva (dukció). Meg kell jegyezni, hogy a bizonyítékok típusai az egyeditől az általánosig és az általánostól a konkrétig csak kapcsolatban léteznek, és nem cserélhetők fel egymással.
Indukció a matematikában
Az „indukció” (indukció) kifejezés latin gyökerű, és szó szerint „útmutatás”-nak fordítja. Közelebbről megvizsgálva megkülönböztethetjük a szó szerkezetét, nevezetesen a latin előtagot - in- (befelé irányuló cselekvést vagy bentlétet jelöl) és -dukció - bevezetést. Érdemes megjegyezni, hogy két típusa van - teljes és nem teljes indukció. A teljes formát egy bizonyos osztály összes tantárgyának tanulmányozásából levont következtetések jellemzik.
Hiányos – következtetések,az osztály összes elemére alkalmazva, de csak néhány egység tanulmányozása alapján.
Teljes matematikai indukció - olyan következtetés, amely általános következtetésen alapul bármely olyan objektum teljes osztályára vonatkozóan, amelyek funkcionálisan kapcsolódnak a természetes számsorok relációihoz, ennek a funkcionális kapcsolatnak az ismeretén. Ebben az esetben a bizonyítási folyamat három szakaszban zajlik:
- az elsőn a matematikai indukció állítás helyessége bizonyítást nyer. Példa: f=1, ez az indukció alapja;
- A következő lépés azon a feltételezésen alapul, hogy a pozíció minden természetes számra érvényes. Azaz f=h, ez az indukciós hipotézis;
- a harmadik szakaszban az f=h+1 szám pozíciójának érvényessége bizonyítást nyer, az előző bekezdés pozíciójának helyessége alapján - ez egy indukciós átmenet, vagy a matematikai indukció lépése. Példa erre az úgynevezett "dominóelv": ha a sorban az első csont leesik (alap), akkor a sorban lévő összes kő leesik (átmenet).
Viccből és komolyan
Az észlelés megkönnyítése érdekében a matematikai indukciós módszerrel történő megoldási példákat viccproblémának minősítik. Ez az udvarias sor feladat:
A magatartási szabályok megtiltják, hogy a férfi egy nő elé forduljon (ilyen helyzetben előre engedik). Ezen állítás alapján, ha a sorban az utolsó férfi, akkor a többi férfi
A matematikai indukció módszerének szembetűnő példája a „Dimenzió nélküli repülés” probléma:
Bizonyítani kell, hogy ina kisbusz tetszőleges számú embernek elfér. Való igaz, hogy egy ember gond nélkül elfér a szállítóeszközben (alap). De akármennyire is tele van a kisbusz, 1 utas mindig elfér benne (bevezető lépés)
Ismerős körök
Elég gyakoriak a matematikai indukciós feladatok és egyenletek megoldására vonatkozó példák. Ennek a megközelítésnek a szemléltetésére vegye figyelembe a következő problémát.
Feltétel: h körök vannak a síkon. Bizonyítani kell, hogy az ábrák bármilyen elrendezése esetén az általuk alkotott térkép két színnel helyesen színezhető.
Döntés: h=1 esetén az állítás igazsága nyilvánvaló, így a bizonyítás a h+1 körszámra épül.
Tegyük fel, hogy az állítás bármely térképre igaz, és h+1 körök vannak megadva a síkon. Ha eltávolítja az egyik kört a végösszegből, akkor két színnel (fekete-fehér) megfelelően színezett térképet kaphat.
A törölt kör visszaállításakor az egyes területek színe az ellenkezőjére változik (ebben az esetben a körön belül). Az eredmény egy két színnel helyesen színezett térkép, amit bizonyítani kellett.
Példák természetes számokkal
A matematikai indukció módszerének alkalmazását az alábbiakban szemléltetjük.
Példák a megoldásra:
Bizonyítsa be, hogy bármely h egyenlőség helyes:
12+22+32+…+h 2=ó(ó+1)(2ó+1)/6.
Megoldás:
1. Legyen h=1, majd:
R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1
Ebből az következik, hogy h=1 esetén az állítás helyes.
2. Feltételezve h=d, az egyenlet:
R1=d2=d(d+1)(2d+1)/6=1
3. Feltételezve, hogy h=d+1, akkor kiderül:
Rd+1=(d+1) (d+2) (2d+3)/6
Rd+1=12+22+3 2+…+d2+(d+1)2=d(d+1)(2d+1))/6+ (d+1)2=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d2+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.
Így bebizonyosodik a h=d+1 egyenlőség érvényessége, ezért bármely természetes számra igaz az állítás, amit a matematikai indukciós megoldás példáján mutatunk be.
Feladat
Feltétel: bizonyítani kell, hogy h bármely értékére a 7h-1 kifejezés maradék nélkül osztható 6-tal.
Megoldás:
1. Tegyük fel h=1, ebben az esetben:
R1=71-1=6 (azaz osztható 6-tal maradék nélkül)
Így h=1 esetén az állítás igaz;
2. Legyen h=d és 7d-1 maradék nélkül osztható 6-tal;
3. A h=d+1 állítás érvényességének bizonyítéka a következő képlet:
Rd+1=7d+1 -1=7∙7d-7+6=7(7d-1)+6
Ebben az esetben az első tag osztható 6-tal az első bekezdés feltételezése szerint, a másodika tag 6. Igaz az az állítás, hogy 7h-1 maradék nélkül osztható 6-tal bármely természetes h esetén.
Hamis ítélet
A bizonyításokban gyakran helytelen érvelést alkalmaznak, a felhasznált logikai konstrukciók pontatlansága miatt. Ez alapvetően akkor történik, ha a bizonyítás szerkezete és logikája megsérül. Példa a helytelen érvelésre a következő ábra.
Feladat
Feltétel: bizonyítani kell, hogy a kőhalom nem halom.
Megoldás:
1. Tegyük fel h=1, ebben az esetben 1 kő van a halomban és az állítás igaz (alap);
2. Legyen igaz h=d-re, hogy a kőhalom nem halom (feltevés);
3. Legyen h=d+1, amiből az következik, hogy ha még egy követ adunk hozzá, a halmaz nem lesz kupac. A következtetés önmagában azt sugallja, hogy a feltevés minden természetes h-ra érvényes.
A hiba abban rejlik, hogy nincs meghatározva, hány kő alkot egy halmot. Az ilyen kihagyást a matematikai indukció módszerében elhamarkodott általánosításnak nevezik. Egy példa világosan mutatja ezt.
Indukció és a logika törvényei
Történelmileg az indukció és a dedukció példái mindig kéz a kézben járnak. Az olyan tudományos diszciplínák, mint a logika és a filozófia ellentétként írják le őket.
A logika törvénye szempontjából az induktív definíciók tényeken alapulnak, és a premisszák valódisága nem határozza meg a kapott állítás helyességét. Gyakran megszerzikbizonyos fokú valószínűséggel és plauzibilitású következtetéseket, amelyeket természetesen további kutatásokkal kell ellenőrizni és megerősíteni. Példa az indukcióra a logikában a következő utasítás:
Szárazság Észtországban, száraz Lettországban, szárazság Litvániában.
Észtország, Lettország és Litvánia a b alti államok. Szárazság az összes b alti államban.
A példából arra a következtetésre juthatunk, hogy az indukciós módszerrel nem nyerhető új információ vagy igazság. Csak arra számíthat, hogy a következtetések bizonyos mértékben igazak. Ráadásul a premisszák igazsága nem garantálja ugyanazokat a következtetéseket. Ez a tény azonban nem jelenti azt, hogy az indukció a dedukció hátsó udvarában vegetál: rengeteg rendelkezést és tudományos törvényt támasztanak alá az indukció módszerével. A matematika, a biológia és más tudományok példaként szolgálhatnak. Ez többnyire a teljes indukciós módszernek köszönhető, de bizonyos esetekben részleges is alkalmazható.
Az indukció tiszteletreméltó kora lehetővé tette, hogy az emberi tevékenység szinte minden területére behatoljon – ez a tudomány, a közgazdaságtan és a mindennapi következtetések.
Indukció a tudományos környezetben
Az indukciós módszer alapos hozzáállást igényel, mivel túl sok múlik az egész vizsgált részleteinek számán: minél nagyobb a vizsgált szám, annál megbízhatóbb az eredmény. Ezen jellemző alapján az indukcióval kapott tudományos törvényeket hosszú ideig tesztelik valószínűségi feltételezések szintjén, hogy elkülönítsék és tanulmányozzák az összes lehetségeset.szerkezeti elemek, kapcsolatok és hatások.
A tudományban az induktív következtetés szignifikáns jellemzőkön alapul, a véletlenszerű rendelkezések kivételével. Ez a tény a tudományos ismeretek sajátosságai kapcsán fontos. Ez jól látható a tudomány indukciójára vonatkozó példákon.
A tudományos világban kétféle indukció létezik (a tanulás módjával kapcsolatban):
- indukciós kijelölés (vagy kiválasztás);
- indukció - kizárás (elimináció).
Az első típust az osztály (alosztályok) különböző területeiből történő módszeres (vizsgálatos) mintavétele jellemzi.
Példa erre a típusú indukcióra: az ezüst (vagy ezüstsók) tisztítja a vizet. A következtetés hosszú távú megfigyeléseken alapul (a megerősítések és cáfolatok egyfajta szelekciója - szelekció).
A második típusú indukció olyan következtetéseken alapul, amelyek ok-okozati összefüggéseket állapítanak meg, és kizárják azokat a körülményeket, amelyek nem felelnek meg tulajdonságainak, nevezetesen az egyetemesség, az időbeli sorrend betartása, a szükségesség és az egyértelműség.
Indukció és dedukció a filozófia szemszögéből
Ha megnézzük a történelmi visszatekintést, az „indukció” kifejezést először Szókratész említette. Arisztotelész az indukció példáit a filozófiában egy közelítőbb terminológiai szótárban írta le, de a hiányos indukció kérdése nyitva marad. Az arisztotelészi szillogizmus üldözése után az induktív módszert kezdték gyümölcsözőnek és a természettudományban az egyetlen lehetségesnek elismerni. Bacont az indukció, mint önálló speciális módszer atyjának tekintik, de nem sikerült elkülönítenie,ahogy a kortársak követelték, indukció a deduktív módszerből.
Az indukció további fejlesztését J. Mill végezte, aki az indukcióelméletet négy fő módszer: megegyezés, különbség, reziduumok és a megfelelő változtatások pozíciójából vizsgálta. Nem meglepő, hogy ma a felsorolt módszerek, ha részletesen megvizsgáljuk, deduktívak.
Bacon és Mill elméleteinek kudarcának tudata arra késztette a tudósokat, hogy megvizsgálják az indukció valószínűségi alapját. Azonban még itt is voltak szélsőségek: megpróbálták a valószínűségelméletre való indukciót redukálni, az ebből eredő összes következménnyel együtt.
Az indukció bizonyos tantárgyi területeken és az induktív alap metrikus pontossága miatt bizalmat szavaz a gyakorlati alkalmazásnak. A filozófiában az indukció és a dedukció példája az egyetemes gravitáció törvénye. A törvény felfedezésének időpontjában Newton 4 százalékos pontossággal tudta ellenőrizni. És amikor több mint kétszáz év után tesztelték, a helyességet 0,0001 százalékos pontossággal igazolták, bár a tesztet ugyanazokkal az induktív általánosításokkal végezték el.
A modern filozófia nagyobb figyelmet fordít a dedukcióra, amelyet az a logikus vágy diktál, hogy a már ismertekből új tudást (vagy igazságot) lehessen levezetni anélkül, hogy tapasztalathoz, intuícióhoz folyamodna, hanem "tiszta" érvelést alkalmazva. Ha a deduktív módszerben a valódi premisszákra hivatkozunk, a kimenet minden esetben igaz állítás.
Ez a nagyon fontos jellemző nem árnyékolhatja be az induktív módszer értékét. Az indukció óta a tapasztalatok eredményeire támaszkodva,feldolgozásának (beleértve az általánosítást és a rendszerezést is) eszközévé is válik.
Az indukció alkalmazása a közgazdaságtanban
Az indukciót és a dedukciót régóta használják a gazdaság tanulmányozására és fejlődésének előrejelzésére.
Az indukciós módszer alkalmazási köre meglehetősen széles: az előrejelzési mutatók (nyereség, értékcsökkenés stb.) teljesülésének vizsgálata és a vállalkozás állapotának általános értékelése; tényeken és azok kapcsolatain alapuló hatékony vállalkozásfejlesztési politika kialakítása.
Ugyanezt az indukciós módszert használják Shewhart diagramjaiban, ahol feltételezve, hogy a folyamatok fel vannak osztva szabályozottra és nem menedzselt folyamatra, azt állítják, hogy a szabályozott folyamat kerete inaktív.
Megjegyzendő, hogy a tudományos törvényszerűségeket az indukciós módszerrel igazolják és erősítik meg, és mivel a közgazdaságtan olyan tudomány, amely gyakran alkalmaz matematikai elemzést, kockázatelméletet és statisztikai adatokat, nem meglepő, hogy az indukció is szerepel a a fő módszerek listája.
A következő helyzet példaként szolgálhat az indukcióra és a dedukcióra a közgazdaságtanban. Az élelmiszerek (a fogyasztói kosárból) és az alapvető javak drágulása arra készteti a fogyasztót, hogy gondolkodjon az államban kialakuló magas költségekről (indukció). Ugyanakkor a magas költség tényéből matematikai módszerekkel az egyes áruk vagy árukategóriák áremelkedési mutatói származtathatók (levonás).
Leggyakrabban a vezetők, vezetők és közgazdászok hivatkoznak az indukciós módszerre. Azért, hogykellő hitelességgel megjósolható volt a vállalkozás fejlődése, a piac viselkedése, a verseny következményei, induktív-deduktív megközelítésre van szükség az információelemzés és -feldolgozás során.
Egy szemléltető példa a közgazdaságtanban a téves ítéletekkel kapcsolatos indukcióra:
-
30%-kal csökkent a cég nyeresége;
a versenytárs bővíti termékkínálatát;
semmi sem változott;
- a versenytárs termelési politikája 30%-os profitcsökkenést okozott;
- ezért ugyanazt a termelési politikát kell végrehajtani.
A példa színes illusztrációja annak, hogy az indukciós módszer alkalmatlan használata hogyan járul hozzá a vállalkozás tönkretételéhez.
Dedukció és indukció a pszichológiában
Mivel módszer van, akkor logikusan van egy megfelelően szervezett gondolkodás is (a módszer használatához). A pszichológia mint tudomány, amely a mentális folyamatokat, azok kialakulását, fejlődését, összefüggéseit, interakcióit vizsgálja, figyelmet fordít a „deduktív” gondolkodásra, mint a dedukció és indukció egyik megnyilvánulási formájára. Sajnos a pszichológia internetes oldalain gyakorlatilag semmi sem indokolja a deduktív-induktív módszer integritását. Bár a hivatásos pszichológusok nagyobb valószínűséggel találkoznak az indukció megnyilvánulásaival, vagy inkább téves következtetésekkel.
Példa a pszichológiában az indukcióra, a téves ítéletek szemléltetésére a következő kijelentés: anyám csaló, ezért minden nő csaló. Még több "hibás" példát tudhat meg az életből való indukcióra:
- egy diák semmire sem képes, ha matematikából kettőst kapott;
- egy bolond;
- okos;
- Bármit megtehetek;
- és sok más értékítélet, amely teljesen véletlenszerű és néha jelentéktelen üzeneteken alapul.
Meg kell jegyezni: amikor egy személy ítéleteinek tévessége az abszurditásig ér, a pszichoterapeuta előtt áll a munka. Egy példa a szakorvosi találkozóra való belépésre:
„A beteg teljesen biztos abban, hogy a vörös szín minden megnyilvánulása esetén csak veszélyt hordoz magában. Ennek eredményeként az ember ezt a színsémát kizárta az életéből - amennyire csak lehetséges. Az otthoni környezetben számos lehetőség kínálkozik a kényelmes élethez. Elutasíthatja az összes piros elemet, vagy helyettesítheti azokat más színsémában készült analógokkal. De nyilvános helyeken, munkahelyen, boltban - ez lehetetlen. Stresszhelyzetbe kerülve a páciens minden alkalommal teljesen más érzelmi állapotok „dagályát” éli át, ami veszélyes lehet másokra.”
Az indukciónak ezt a példáját, és öntudatlanul, "rögzített ötleteknek" nevezik. Ha ez egy mentálisan egészséges emberrel történik, akkor a mentális tevékenység szervezettségének hiányáról beszélhetünk. A deduktív gondolkodás elemi fejlesztése a rögeszmés állapotok megszabadulásának módja lehet. Más esetekben pszichiáterek dolgoznak ilyen betegekkel.
A fenti indukciós példák azt mutatják, hogy „a törvény ismerete nemmegszabadít a következményektől (hibás ítéletek).”
A deduktív érvelés témáján dolgozó pszichológusok összeállítottak egy listát azokról az ajánlásokról, amelyek célja, hogy segítsenek az embereknek elsajátítani ezt a módszert.
Az első elem a problémamegoldás. Mint látható, a matematikában használt indukciós forma „klasszikusnak” tekinthető, és ennek a módszernek a használata hozzájárul az elme „fegyelméhez”.
A deduktív gondolkodás fejlődésének következő feltétele a látókör tágítása (a tisztán gondolkodók, világosan fogalmaznak). Ez az ajánlás a tudomány és információ kincstáraihoz (könyvtárak, weboldalak, oktatási kezdeményezések, utazás stb.) irányítja a „betegeket”.
A pontosság a következő ajánlás. Hiszen az indukciós módszerek alkalmazásának példáiból jól látható, hogy sok tekintetben ez a garancia az állítások igazságára.
Nem kerülték meg az elme rugalmasságát, utalva annak lehetőségére, hogy a probléma megoldásában különböző módokat és megközelítéseket alkalmazzanak, valamint figyelembe vegyék az események alakulásának változékonyságát.
És természetesen a megfigyelés, amely az empirikus tapasztalatok fő forrása.
Különösen meg kell említeni az úgynevezett "pszichológiai indukciót". Ez a kifejezés, bár ritkán, megtalálható az interneten. Minden forrás nem adja meg legalább röviden ennek a fogalomnak a definícióját, hanem "életpéldákra" hivatkozik, miközben akár szuggesztiót, akár a mentális betegség egyes formáit az indukció új típusaként mutatja be,Ezek az emberi psziché szélsőséges állapotai. A fentiek mindegyikéből világos, hogy egy hamis (gyakran hamis) premisszákon alapuló „új kifejezés” levezetésére tett kísérlet arra ítéli a kísérletezőt, hogy hibás (vagy elhamarkodott) állítást kapjon.
Megjegyzendő, hogy az 1960-as kísérletekre való hivatkozás (a helyszín, a kísérletezők nevének, az alanyok mintájának és legfőképpen a kísérlet céljának megjelölése nélkül) finoman szólva is látszik., nem meggyőző, és az az állítás, hogy az agy minden érzékelési szervet megkerülve érzékeli az információkat (ebben az esetben szervesebben illeszkedne az „érintett” kifejezés), elgondolkodtat az állítás szerzőjének hiszékenységén és kritikátlanságán.
Következtetés helyett
A tudományok királynője – a matematika, tudatosan használja az indukciós és dedukciós módszer minden lehetséges tartalékát. A vizsgált példák arra engednek következtetni, hogy a legpontosabb és legmegbízhatóbb módszerek felületes és alkalmatlan (meggondolatlan, ahogy mondani szokták) alkalmazása mindig hibás eredményekhez vezet.
A tömegtudatban a dedukciós módszert a híres Sherlock Holmeshoz kötik, aki logikai konstrukcióiban gyakran alkalmaz példákat az indukcióra, de a szükséges helyzetekben alkalmazza a dedukciót.
A cikk példákat vizsgált e módszerek alkalmazására az emberi élet különböző tudományaiban és szféráiban.
