A matematikai statisztika olyan módszertan, amely lehetővé teszi, hogy megalapozott döntéseket hozzon bizonytalan körülmények között. Az adatgyűjtési és rendszerezési módszerek tanulmányozása, a kísérletek és a tömeges véletlenszerű kísérletek végső eredményeinek feldolgozása, valamint a minták feltárása a matematika ezen ága. Tekintsük a matematikai statisztika alapfogalmait.
Különbség a valószínűségszámítással
A matematikai statisztika módszerei szorosan összefonódnak a valószínűségszámítással. A matematika mindkét ága számos véletlenszerű jelenség vizsgálatával foglalkozik. A két tudományágat határtételek kötik össze. E tudományok között azonban nagy különbség van. Ha a valószínűségszámítás matematikai modell alapján határozza meg egy folyamat jellemzőit a valós világban, akkor a matematikai statisztika ennek az ellenkezőjét teszi – a modell tulajdonságait úgy állítja be.megfigyelt információk alapján.
Lépések
A matematikai statisztika alkalmazása csak véletlenszerű események, folyamatok, pontosabban az ezek megfigyeléséből származó adatok vonatkozásában végezhető el. És ez több szakaszban történik. Először is, a kísérletek és kísérletek adatai bizonyos feldolgozáson esnek át. Az áttekinthetőség és az elemzés megkönnyítése érdekében vannak rendelve. Ezután pontos vagy közelítő becslést készítünk a megfigyelt véletlenszerű folyamat szükséges paramétereiről. Ezek lehetnek:
- egy esemény valószínűségének felmérése (a valószínűsége kezdetben ismeretlen);
- határozatlan eloszlásfüggvény viselkedésének tanulmányozása;
- elvárásbecslés;
- varianciabecslés
- stb.
A harmadik szakasz az elemzés előtt felállított hipotézisek igazolása, azaz választ kapunk arra a kérdésre, hogy a kísérletek eredményei hogyan felelnek meg az elméleti számításoknak. Valójában ez a matematikai statisztika fő szakasza. Egy példa lehet annak mérlegelése, hogy egy megfigyelt véletlenszerű folyamat viselkedése a normál eloszláson belül van-e.
Népesség
A matematikai statisztika alapfogalmai közé tartozik az általános és a minta sokaság. Ez a tudományág bizonyos objektumok halmazának tanulmányozásával foglalkozik bizonyos tulajdonságok tekintetében. Ilyen például a taxisofőr munkája. Tekintsük ezeket a valószínűségi változókat:
- terhelés vagy ügyfelek száma: naponta, ebéd előtt, ebéd után, …;
- átlagos utazási idő;
- a beérkező kérelmek száma vagy azok csatolása a városrészekhez és még sok más.
Azt is érdemes megjegyezni, hogy lehetőség van hasonló véletlenszerű folyamatok halmazának tanulmányozására, amelyek egyben megfigyelhető valószínűségi változók is lesznek.
Tehát a matematikai statisztika módszereiben a vizsgált objektumok teljes halmazát vagy az adott objektumon azonos feltételek mellett végzett különféle megfigyelések eredményeit általános sokaságnak nevezzük. Vagyis matematikailag szigorúbban egy valószínűségi változóról van szó, amely az elemi események terében van definiálva, benne részhalmazok egy osztályával, amelynek elemei ismert valószínűséggel rendelkeznek.
Mintapopuláció
Vannak esetek, amikor valamilyen oknál fogva (költség, idő) lehetetlen vagy nem praktikus az egyes objektumok folyamatos tanulmányozása. Például minden lezárt lekvár üvegét felnyitni a minőség ellenőrzése érdekében kétes döntés, és lehetetlen megbecsülni az egyes levegőmolekulák röppályáját köbméterben. Ilyen esetekben a szelektív megfigyelés módszerét alkalmazzák: bizonyos számú objektumot választanak ki (általában véletlenszerűen) az általános sokaságból, és ezeket elemzésnek vetik alá.
Ezek a fogalmak elsőre bonyolultnak tűnhetnek. Ezért a téma teljes megértése érdekében tanulmányoznia kell V. E. Gmurman "Valószínűségelmélet és matematikai statisztika" című tankönyvét. Így a mintavételi halmaz vagy minta az általános halmazból véletlenszerűen kiválasztott objektumok sorozata. Szigorúan matematikai értelemben ez független, egyenletes eloszlású valószínűségi változók sorozata, amelyek mindegyikének eloszlása egybeesik az általános valószínűségi változónál jelzettel.
Alapfogalmak
Tekintsük át röviden a matematikai statisztika számos egyéb alapfogalmát. Az általános sokaságban vagy mintában lévő objektumok számát térfogatnak nevezzük. A kísérlet során kapott mintaértékeket mintamegvalósításnak nevezzük. Ahhoz, hogy az általános sokaság mintán alapuló becslése megbízható legyen, fontos, hogy legyen egy úgynevezett reprezentatív vagy reprezentatív minta. Ez azt jelenti, hogy a mintának teljes mértékben reprezentálnia kell a sokaságot. Ez csak akkor érhető el, ha a sokaság minden elemének egyenlő valószínűsége van a mintában.
A minták különbséget tesznek a visszaküldés és a visszaküldés között. Az első esetben a minta tartalmában az ismétlődő elem visszakerül az általános halmazba, a második esetben nem. A gyakorlatban általában csere nélküli mintavételt alkalmaznak. Azt is meg kell jegyezni, hogy az általános sokaság mérete mindig jelentősen meghaladja a minta méretét. Léteziksok lehetőség a mintavételi folyamathoz:
- egyszerű - az elemek véletlenszerűen kerülnek kiválasztásra egyenként;
- beírva - az általános populáció típusokra oszlik, és mindegyikből választhat; erre példa egy lakossági felmérés: férfiak és nők külön-külön;
- mechanikus - például válassza ki minden 10. elemet;
- soros - a kijelölés elemek sorozatában történik.
Statisztikai eloszlás
Gmurman szerint a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika rendkívül fontos tudományágak a tudományos világban, különösen a gyakorlati részében. Tekintsük a minta statisztikai eloszlását.
Tegyük fel, hogy van egy diákcsoportunk, akiket matematikából teszteltek. Ennek eredményeként van egy sor becslésünk: 5, 3, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 5 – ez az elsődleges statisztikai anyagunk.
Először is rendeznünk kell, vagy egy rangsorolási műveletet kell végrehajtanunk: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 - és így egy variációs sorozatot kell kapnunk. Az egyes értékelések ismétlésszámát értékelési gyakoriságnak, a mintanagysághoz viszonyított arányát pedig relatív gyakoriságnak nevezzük. Készítsünk táblázatot a minta statisztikai eloszlásáról, vagy csak egy statisztikai sorozatot:
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
vagy
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
Vegyünk egy valószínűségi változót, amelyen egy sor kísérletet végzünk, és megnézzük, milyen értéket vesz fel ez a változó. Tegyük fel, hogy az a1 - m1 értéket vette fel; a2 - m2 alkalommal stb. Ennek a mintának a mérete m1 + … + mk=m. Az ai halmaz, ahol i 1-től k-ig változik, egy statisztikai sorozat.
Intervális eloszlás
VE Gmurman "Valószínűségelmélet és matematikai statisztika" című könyvében egy intervallum statisztikai sorozat is bemutatásra kerül. Összeállítása akkor lehetséges, ha a vizsgált jellemző értéke egy bizonyos intervallumban folyamatos, és az értékek száma nagy. Vegyünk egy csoport diákot, vagy inkább a magasságukat: 163, 180, 185, 172, 161, 171, 189, 157, 165, 174, 180, 181, 175, 182, 167, 159, 173, 61 179, 160, 180, 166, 178, 156, 180, 189, 173, 174, 175 - összesen 30 diák. Nyilvánvalóan az ember magassága folytonos érték. Meg kell határoznunk az intervallum lépést. Ehhez a Sturges-képletet használjuk.
| h= | max - min | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+log2m | 1+log230 | 5, 9 |
Így a 6 értéket vehetjük az intervallum méretének.. Azt is el kell mondani, hogy az 1+log2m érték a képletintervallumok számának meghatározása (természetesen kerekítéssel). Így a képletek szerint 6 intervallumot kapunk, amelyek mindegyikének mérete 6. És a kezdeti intervallum első értéke a képlet által meghatározott szám lesz: min - h / 2=156 - 6/2=153. Készítsünk egy táblázatot, amely tartalmazza az intervallumokat és azon tanulók számát, akiknek növekedése egy bizonyos intervallumon belülre esett.
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0, 1 | 0, 3 | 0, 27 | 0, 1 |
Természetesen ez még nem minden, mert a matematikai statisztikákban sokkal több képlet található. Csak néhány alapfogalmat vettünk figyelembe.
Terjesztési ütemterv
A matematikai statisztika alapfogalmai közé tartozik az eloszlás grafikus ábrázolása is, amelyet az egyértelműség jellemez. Kétféle grafikon létezik: sokszög és hisztogram. Az elsőt egy diszkrét statisztikai sorozathoz használjuk. Folyamatos terjesztéshez pedig a másodikat.
