Az egyetemi matematika egyik legnehezebb és legérthetetlenebb témája az integráció és a differenciálszámítás. Ismernie és értenie kell ezeket a fogalmakat, valamint tudnia kell alkalmazni őket. Sok egyetemi műszaki tudományág differenciálokhoz és integrálokhoz kötődik.
Rövid információ az egyenletekről
Ezek az egyenletek az egyik legfontosabb matematikai fogalmak az oktatási rendszerben. A differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely a független változókat, a keresendő függvényt és a függvény deriváltjait a függetlennek feltételezett változókhoz viszonyítja. Az egyik változó függvényének meghatározására szolgáló differenciálszámítást közönségesnek nevezzük. Ha a kívánt függvény több változótól függ, akkor parciális differenciálegyenletről beszélünk.
Valójában az egyenletre adott válasz megtalálása az integráción múlik, és a megoldási módot az egyenlet típusa határozza meg.
Elsőrendű egyenletek
Az elsőrendű differenciálegyenlet egy olyan egyenlet, amely leírhat egy változót, egy kívánt függvényt és annak első deriváltját. Az ilyen egyenletek három formában adhatók meg: explicit, implicit, differenciális.
A megoldáshoz szükséges fogalmak
Kiinduló feltétel - a kívánt függvény értékének beállítása egy független változó adott értékéhez.
Differenciálegyenlet megoldása – bármely differenciálható függvény, amelyet pontosan behelyettesítünk az eredeti egyenletbe, azonos egyenlővé alakítja azt. A kapott megoldás, amely nem explicit, az egyenlet integrálja.
A differenciálegyenletek általános megoldása egy y=y(x;C) függvény, amely kielégíti a következő ítéleteket:
- Egy függvénynek csak egy tetszőleges állandója lehet С.
- A kapott függvénynek megoldást kell adnia az egyenletre egy tetszőleges állandó tetszőleges értékére.
- Adott kezdeti feltétellel tetszőleges állandót egyedi módon lehet definiálni, így az eredményül kapott konkrét megoldás összhangban lesz az adott korai kezdeti feltétellel.
A gyakorlatban gyakran alkalmazzák a Cauchy-problémát – olyan megoldást találni, amely egyedi és összehasonlítható az elején beállított feltétellel.
A Cauchy-tétel egy olyan tétel, amely egy adott megoldás létezését és egyediségét hangsúlyozza a differenciálszámításban.
Geometriai érzék:
- Általános megoldás y=y(x;C)egyenlet az integrálgörbék teljes száma.
- A differenciálszámítás lehetővé teszi, hogy az XOY síkban lévő pont koordinátáit összekapcsolja az integrálgörbére húzott érintővel.
- A kezdeti feltétel beállítása egy pont beállítását jelenti a síkon.
- A Cauchy-probléma megoldása azt jelenti, hogy az egyenlet ugyanazt a megoldását reprezentáló integrálgörbék teljes halmazából ki kell választani az egyetlent, amely áthalad az egyetlen lehetséges ponton.
- A Cauchy-tétel feltételeinek egy pontban való teljesülése azt jelenti, hogy egy integrálgörbe (sőt, csak egy) szükségszerűen átmegy a sík kiválasztott pontján.
Elválasztható változóegyenlet
A differenciálegyenlet definíció szerint olyan egyenlet, ahol a jobb oldala két függvény szorzataként (néha arányként) jelenik meg, amelyek közül az egyik csak az "x"-től, a másik pedig csak az "y" függvénytől függ. ". Világos példa erre a típusra: y'=f1(x)f2(y).
Egy adott alakú egyenletek megoldásához először az y'=dy/dx deriváltot kell átalakítani. Ezután az egyenlet manipulálásával olyan formára kell hoznia, ahol integrálni tudja az egyenlet két részét. A szükséges átalakítások után mindkét részt integráljuk, és egyszerűsítjük az eredményt.
Hogén egyenletek
Definíció szerint egy differenciálegyenlet akkor nevezhető homogénnek, ha alakja a következő: y'=g(y/x).
Ebben az esetben leggyakrabban az y/x=helyettesítést használjákt(x).
Az ilyen egyenletek megoldásához egy homogén egyenletet le kell redukálni egy elválasztható változókkal rendelkező formára. Ehhez a következő műveleteket kell végrehajtania:
- Az eredeti függvény deriváltjának megjelenítése bármely eredeti függvényből új egyenletként.
- A következő lépés az eredményül kapott függvény átalakítása f(x;y)=g(y/x) alakra. Egyszerűbb szavakkal, az egyenlet csak az y/x arányt és a konstansokat tartalmazza.
- Végezze el a következő cserét: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. A végrehajtott helyettesítés segít felosztani a változókat az egyenletben, fokozatosan egyszerűsítve azt.
Lineáris egyenletek
Az ilyen egyenletek definíciója a következő: a lineáris differenciálegyenlet olyan egyenlet, amelynek jobb oldala az eredeti függvényhez képest lineáris kifejezésként van kifejezve. A kívánt függvény ebben az esetben: y'=a(x)y + b(x).
A definíciót a következőképpen fogalmazzuk meg: bármely I. rendű egyenlet lineárissá válik a formájában, ha az eredeti függvény és származéka szerepel az elsőfokú egyenletben, és nem szorozzuk meg őket egymással. A lineáris differenciálegyenlet "klasszikus formája" a következő szerkezettel rendelkezik: y' + P(x)y=Q(x).
Egy ilyen egyenlet megoldása előtt át kell alakítani "klasszikus formára". A következő lépés a megoldási módszer kiválasztása lesz: a Bernoulli-módszer vagy a Lagrange-módszer.
Az egyenlet megoldása -vala Bernoulli által bevezetett módszerrel egy lineáris differenciálegyenlet behelyettesítését és redukcióját foglalja magában két, az U(x) és V(x) függvényekhez képest külön változókkal rendelkező egyenletekre, amelyeket eredeti formájukban adtunk meg.
A Lagrange-módszer célja, hogy általános megoldást találjunk az eredeti egyenletre.
- A homogén egyenletnek ugyanazt a megoldását kell megtalálni. A keresés után megkapjuk az y=y(x, C) függvényt, ahol C egy tetszőleges állandó.
- Az eredeti egyenletre keresünk megoldást ugyanabban a formában, de figyelembe vesszük, hogy C=C(x). Behelyettesítjük az y=y(x, C(x)) függvényt az eredeti egyenletbe, keressük meg a C(x) függvényt és írjuk fel az általános eredeti egyenlet megoldását.
Bernoulli-egyenlet
Bernoulli egyenlete - ha a kalkulus jobb oldala az f(x;y)=a(x)y + b(x)yk alakot ölti, ahol k bármely lehetséges racionális számérték, nem véve példa esetek, amikor k=0 és k=1.
Ha k=1, akkor a számítás elválaszthatóvá válik, és ha k=0, az egyenlet lineáris marad.
Nézzük meg az ilyen típusú egyenlet megoldásának általános esetét. Megvan a standard Bernoulli-egyenlet. Lineárisra kell redukálni, ehhez el kell osztani az egyenletet yk-vel. A művelet után cserélje le z(x)=y1-k. Transzformációk sorozata után az egyenlet lineárisra redukálódik, leggyakrabban a z=UV helyettesítési módszerrel.
Egyenletek a teljes differenciálokban
Definíció. A P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 szerkezetű egyenletet teljes egyenletnek nevezzük.különbségek, ha a következő feltétel teljesül (ebben a feltételben a "d" egy részleges differenciál): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Minden korábban megvizsgált elsőrendű differenciálegyenlet megjeleníthető differenciálegyenletként.
Az ilyen számításokat többféleképpen is megoldják. Azonban mindegyik állapotellenőrzéssel kezdődik. Ha a feltétel teljesül, akkor az egyenlet bal szélső tartománya a még ismeretlen U(x;y) függvény teljes differenciája. Ekkor az egyenletnek megfelelően dU (x; y) nulla lesz, és ezért az egyenlet ugyanazon integrálja a teljes differenciálokban U (x; y) u003d C formában jelenik meg. az egyenlet megoldását az U (x; y) függvény megtalálására redukáljuk.
Integráló tényező
Ha a dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx feltétel nem teljesül az egyenletben, akkor az egyenletnek nem az a formája, amelyet fentebb vizsgáltunk. De néha választhatunk valamilyen M(x;y) függvényt, amellyel megszorozva az egyenlet egyenlet alakját veszi fel teljes "diffurációban". Az M (x;y) függvényt integráló tényezőnek nevezzük.
Az integrátor csak akkor található, ha csak egy változó függvénye lesz.
