Matrixok: Gauss-módszer. Gauss-mátrix számítás: Példák

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 05:29

A lineáris algebra, amelyet az egyetemeken különféle szakokon tanítanak, számos összetett témát ötvöz. Ezek egy része mátrixokhoz, valamint lineáris egyenletrendszerek Gauss és Gauss-Jordan módszerekkel történő megoldásához kapcsolódik. Nem minden tanulónak sikerül megértenie ezeket a témákat, a különféle problémák megoldására szolgáló algoritmusokat. Értsük meg együtt Gauss és Gauss-Jordan mátrixait és metódusait.

Alapfogalmak

A lineáris algebra mátrixa egy négyszögletes elemtömb (tábla). Az alábbiakban zárójelben található elemkészletek láthatók. Ezek mátrixok. A fenti példából látható, hogy a téglalap alakú tömbök elemei nem csak számok. A mátrix állhat matematikai függvényekből, algebrai szimbólumokból.

Ahhoz, hogy megértsünk néhány fogalmat, készítsünk A mátrixot az a_ij elemekből. Az indexek nem csak betűk: i a táblázat sorának száma, j pedig annak az oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában az elem találhatóa_ij. Tehát azt látjuk, hogy van egy olyan elemek mátrixa, mint a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ és így tovább Az n betű az oszlopok számát, az m betű a sorok számát jelöli. Az m × n szimbólum a mátrix dimenzióját jelöli. Ez az a fogalom, amely meghatározza a sorok és oszlopok számát egy téglalap alakú elemtömbben.

Opcionálisan a mátrixnak több oszlopból és sorból kell állnia. 1 × n mérettel az elemek tömbje egysoros, m × 1 mérettel pedig egyoszlopos tömb. Ha a sorok és az oszlopok száma egyenlő, a mátrixot négyzetnek nevezzük. Minden négyzetmátrixnak van determinánsa (det A). Ez a kifejezés az A mátrixhoz rendelt számra vonatkozik.

A mátrixok sikeres megoldásához még néhány fontos fogalom a fő és másodlagos átló. A mátrix fő átlója az az átló, amely a bal felső sarokból az asztal jobb sarkába megy le. Az oldalátló a jobb sarokhoz megy fel a bal saroktól alulról.

Lépcsős mátrix nézet

Nézd meg az alábbi képet. Rajta egy mátrixot és egy diagramot fog látni. Először foglalkozzunk a mátrixszal. A lineáris algebrában az ilyen típusú mátrixot lépésmátrixnak nevezzük. Egy tulajdonsága van: ha a_ij az első nem nulla elem az i-edik sorban, akkor az a_{ij-től balra lévő mátrix összes többi eleme} , nullák (azaz mindazok az elemek, amelyek a_kl betűjellel adhatók, ahol k>i ésl<j).

Most nézze meg a diagramot. A mátrix lépcsőzetes formáját tükrözi. A séma 3 típusú cellát mutat. Mindegyik típus bizonyos elemeket jelöl:

• üres cellák - a mátrix nulla eleme;
• az árnyékolt cellák tetszőleges elemek, amelyek nullák és nullától eltérőek is lehetnek;
• a fekete négyzetek nem nulla elemek, amelyeket sarokelemeknek, „lépéseknek” nevezünk (a mellettük látható mátrixban ilyen elemek a –1, 5, 3, 8 számok).

A mátrixok megoldása során néha az az eredmény, hogy a lépés "hossza" nagyobb, mint 1. Ez megengedett. Csak a lépcsők „magassága” számít. Lépésmátrixban ennek a paraméternek mindig eggyel kell egyenlőnek lennie.

Matrix redukció lépéses formára

Bármely téglalap alakú mátrix átalakítható lépcsős formává. Ez elemi átalakításokkal történik. Ezek a következők:

• húrok átrendezése;
• Újabb sor hozzáadása egy sorhoz, szükség esetén megszorozva valamilyen számmal (kivonási műveletet is végrehajthat).

Vegyünk egy konkrét probléma megoldásának elemi átalakításait. Az alábbi ábra az A mátrixot mutatja, amelyet lépcsőzetes formára kell redukálni.

A probléma megoldása érdekében a következő algoritmust fogjuk követni:

• Kényelmes transzformációkat végrehajtani egy mátrixon a következővela bal felső sarokban lévő első elem (azaz a "vezető" elem) 1 vagy -1. Esetünkben a felső sor első eleme 2, ezért cseréljük fel az első és a második sort.
• Végszünk kivonási műveleteket, amelyek a 2., 3. és 4. sort érintik. A „vezető” elem alatti első oszlopban nullákat kell kapnunk. Az eredmény elérése érdekében: a 2. sor elemeiből sorban kivonjuk az 1. sor elemeit, szorozva 2-vel; a 3. sor elemeiből sorban kivonjuk az 1. sor elemeit 4-gyel szorozva; a 4. sor elemeiből sorban kivonjuk az 1. sor elemeit.
• Ezután csonka mátrixszal fogunk dolgozni (1. oszlop és 1. sor nélkül). Az új "vezető" elem, amely a második oszlop és a második sor metszéspontjában áll, egyenlő -1-gyel. Nincs szükség a sorok átrendezésére, ezért változtatás nélkül írjuk át az első oszlopot és az első és a második sort. Végezzünk kivonási műveleteket annak érdekében, hogy a második oszlopban a "vezető" elem alatt nullákat kapjunk: a harmadik sor elemeiből szekvenciálisan kivonjuk a második sor elemeit, 3-mal megszorozva; vonjuk ki a második sor elemeit szorozva 2-vel a negyedik sor elemeiből.
• Még hátra van az utolsó sor módosítása. Elemeiből sorra kivonjuk a harmadik sor elemeit. Így egy lépcsőzetes mátrixot kaptunk.

A mátrixok lépcsős formára redukálását lineáris egyenletrendszerek (SLE) Gauss-módszerrel történő megoldásában használják. Mielőtt megvizsgálnánk ezt a módszert, ismerjünk meg néhány, az SLN-hez kapcsolódó kifejezést.

Matrixok és lineáris egyenletrendszerek

A mátrixokat különféle tudományokban használják. A számtáblázatok segítségével például a Gauss-módszerrel rendszerré kombinált lineáris egyenleteket lehet megoldani. Először is ismerkedjünk meg néhány kifejezéssel és azok definícióival, és nézzük meg, hogyan jön létre a mátrix egy több lineáris egyenletet kombináló rendszerből.

SLU – több kombinált algebrai egyenlet ismeretlen első hatványokkal és szorzati feltételek nélkül.

SLE megoldás – ismeretlenek talált értékei, amelyeket helyettesítve a rendszerben szereplő egyenletek azonosságokká válnak.

A közös SLE egy olyan egyenletrendszer, amelynek legalább egy megoldása van.

Az inkonzisztens SLE egy olyan egyenletrendszer, amelynek nincsenek megoldásai.

Hogyan jön létre a mátrix lineáris egyenleteket kombináló rendszer alapján? Vannak olyan fogalmak, mint a rendszer fő és kiterjesztett mátrixai. Ahhoz, hogy a rendszer fő mátrixát megkapjuk, a táblázatba be kell helyezni az ismeretlenekre vonatkozó összes együtthatót. A kibővített mátrixot úgy kapjuk meg, hogy a fő mátrixhoz hozzáadunk egy szabad tagok oszlopát (ez olyan ismert elemeket tartalmaz, amelyekhez a rendszer minden egyenlete egyenlő). Ezt az egész folyamatot megértheti az alábbi kép tanulmányozásával.

Az első dolog, amit a képen látunk, egy lineáris egyenleteket tartalmazó rendszer. Elemei: a_ij – numerikus együtthatók, x_j – ismeretlen értékek, b_i – állandó tagok (ahol i=1, 2, …, m és j=1, 2, …, n). A kép második eleme az együtthatók fő mátrixa. Minden egyenletből az együtthatók egy sorban vannak felírva. Ennek eredményeként annyi sor van a mátrixban, ahány egyenlet van a rendszerben. Az oszlopok száma bármely egyenletben megegyezik a legnagyobb számú együtthatóval. A kép harmadik eleme egy kiterjesztett mátrix szabad kifejezések oszlopával.

Általános információ a Gauss-módszerről

A lineáris algebrában a Gauss-módszer az SLE megoldásának klasszikus módja. Carl Friedrich Gauss nevét viseli, aki a 18-19. Ez minden idők egyik legnagyobb matematikusa. A Gauss-módszer lényege, hogy elemi transzformációkat hajtunk végre lineáris algebrai egyenletrendszeren. Transzformációk segítségével az SLE egy ekvivalens háromszög alakú (lépcsős) rendszerré redukálódik, amelyből minden változó megtalálható.

Érdemes megjegyezni, hogy Carl Friedrich Gauss nem a lineáris egyenletrendszer klasszikus megoldási módszerének felfedezője. A módszert jóval korábban találták ki. Első leírása az ókori kínai matematikusok tudásának enciklopédiájában található, „Matematika 9 könyvben” címmel.

Példa az SLE megoldására Gauss-módszerrel

Nézzük meg a rendszerek Gauss-módszerrel történő megoldását egy konkrét példán. A képen látható SLU-val fogunk dolgozni.

Megoldási algoritmus:

1. A rendszert a Gauss-módszer közvetlen mozgatásával lépcsős formára redukáljuk, de előszörnumerikus együtthatókból és szabad tagokból kibővített mátrixot készítünk.
2. A mátrix Gauss-módszerrel történő megoldásához (azaz lépcsőzetes formába hozásához) a második és harmadik sor elemeiből szekvenciálisan kivonjuk az első sor elemeit. A "leading" elem alatti első oszlopban nullákat kapunk. Ezután a kényelem kedvéért helyenként megváltoztatjuk a második és harmadik sort. Az utolsó sor elemeihez sorban adja hozzá a második sor elemeit 3-mal megszorozva.
3. A mátrix Gauss-módszerrel történő kiszámítása eredményeként egy lépcsőzetes elemtömböt kaptunk. Ennek alapján új lineáris egyenletrendszert állítunk össze. A Gauss-módszer fordított menetével megtaláljuk az ismeretlen kifejezések értékeit. Az utolsó lineáris egyenletből látható, hogy x₃ egyenlő 1-gyel. Ezt az értéket behelyettesítjük a rendszer második sorába. Az x₂ – 4=–4 egyenletet kapjuk. Ebből következik, hogy x₂ egyenlő 0-val. Helyettesítsük be x₂ és x₃ a rendszer első egyenletébe: x1 _{+ 0 +3=2. Az ismeretlen kifejezés -1.}

Válasz: a mátrix segítségével, a Gauss-módszerrel megtaláltuk az ismeretlenek értékeit; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordan módszer

A lineáris algebrában létezik olyan is, mint a Gauss-Jordan módszer. A Gauss-módszer módosításának tekintik, és az inverz mátrix megtalálására, az algebrai lineáris egyenletek négyzetrendszereinek ismeretlen tagjainak kiszámítására használják. A Gauss-Jordan módszer kényelmes, mivel lehetővé teszi az SLE egy lépésben történő megoldását (direkt és inverz használata nélkül).mozog).

Kezdjük az "inverz mátrix" kifejezéssel. Tegyük fel, hogy van egy A mátrixunk. Ennek az inverze az A^-1 mátrix lesz, miközben a feltétel szükségszerűen teljesül: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, azaz ezeknek a mátrixoknak a szorzata egyenlő az azonosságmátrixszal (az azonosságmátrix főátlójának elemei egyesek, a többi eleme nulla).}

Egy fontos árnyalat: a lineáris algebrában van egy tétel az inverz mátrix létezéséről. Az A^-1 mátrix létezésének elégséges és szükséges feltétele, hogy az A mátrix nem szinguláris.

A Gauss-Jordan módszer alapjául szolgáló alapvető lépések:

1. Nézze meg egy adott mátrix első sorát. A Gauss-Jordan módszer akkor indítható el, ha az első érték nem egyenlő nullával. Ha az első hely 0, akkor cserélje fel a sorokat úgy, hogy az első elem értéke nullától eltérő legyen (kívánatos, hogy a szám közelebb legyen az egyhez).
2. Ossza el az első sor összes elemét az első számmal. A végén egy karakterlánc lesz, amely eggyel kezdődik.
3. A második sorból vonjuk ki az első sort szorozva a második sor első elemével, vagyis a végén egy nulláról induló sort kapunk. Ugyanezt tegye a többi sorral is. Ossza el az egyes sorokat az első nem nulla elemével, hogy átlósan kapja meg az 1-et.
4. Ennek eredményeként megkapja a felső háromszögmátrixot a Gauss - Jordan módszerrel. Ebben a főátlót egységek képviselik. Az alsó sarok nullákkal van kitöltve, ésfelső sarok - különböző értékek.
5. Az utolsó előtti sorból vonja ki az utolsó sort a szükséges együttható szorzatával. Meg kell kapnia egy karakterláncot nullákkal és eggyel. A többi sornál ismételje meg ugyanezt a műveletet. Az összes átalakítás után megkapjuk az identitásmátrixot.

Példa az inverz mátrix megtalálására a Gauss-Jordan módszerrel

Az inverz mátrix kiszámításához fel kell írni az A|E kiterjesztett mátrixot, és végre kell hajtani a szükséges transzformációkat. Nézzünk egy egyszerű példát. Az alábbi ábra az A mátrixot mutatja.

Megoldás:

1. Először is keressük meg a mátrixdeterminánst a Gauss-módszerrel (det A). Ha ez a paraméter nem egyenlő nullával, akkor a mátrix nem szingulárisnak tekinthető. Ebből arra következtethetünk, hogy A határozottan A^-1. A determináns kiszámításához a mátrixot elemi transzformációkkal lépésenkénti formává alakítjuk. Számoljuk meg a K számot a sorpermutációk számával. Csak 1 alkalommal változtattuk a sorokat. Számítsuk ki a determinánst. Értéke egyenlő lesz a főátló elemeinek szorzatával, megszorozva (–1)^K-val. Számítási eredmény: det A=2.
2. Állítsa össze a kiterjesztett mátrixot úgy, hogy az azonosságmátrixot hozzáadja az eredeti mátrixhoz. Az eredményül kapott elemtömböt használjuk az inverz mátrix megtalálásához a Gauss-Jordan módszerrel.
3. Az első sor első eleme eggyel egyenlő. Ez nekünk megfelel, mert nincs szükség a sorok átrendezésére és az adott sort valamilyen számmal való osztására. Kezdjünk el dolgoznia második és harmadik sorral. Ha a második sor első elemét 0-ra szeretné változtatni, vonja ki az első sort 3-mal szorozva a második sorból. Az első sort vonja ki a harmadik sorból (nem szükséges szorzás).
4. A kapott mátrixban a második sor második eleme -4, a harmadik sor második eleme pedig -1. A kényelem kedvéért cseréljük fel a sorokat. A harmadik sorból vonjuk ki a második sort 4-gyel.
5. Vonjuk ki az utolsó sort 4-gyel szorozva a második sorból, és az utolsó sort 5-tel szorozva az első sorból. Ezután vonjuk ki a második sort 2-vel szorozva az első sorból. A bal oldalon kaptuk az identitásmátrix. A jobb oldalon az inverz mátrix.

Példa az SLE megoldására Gauss-Jordan módszerrel

Az ábra egy lineáris egyenletrendszert mutat. Ismeretlen változók értékét mátrix segítségével, a Gauss-Jordan módszerrel kell megtalálni.

Megoldás:

1. Készítsünk egy kiterjesztett mátrixot. Ehhez az együtthatókat és a szabad kifejezéseket a táblázatba helyezzük.
2. Foldja meg a mátrixot a Gauss-Jordan módszerrel. A 2. sorból kivonjuk az 1. sort. A 3. sorból kivonjuk az 1. sort, előzőleg megszorozva 2-vel.
3. Cserélje fel a 2. és 3. sort.
4. A 3. sorból vonjuk ki a 2. sort szorozva 2-vel. Az eredményül kapott harmadik sort osszuk el –1-gyel.
5. Vonja ki a 3. sort a 2. sorból.
6. Vonja ki az 1. sort az 1. sorból2 alkalommal -1. Oldalán egy 0, 1 és -1 számokból álló oszlopot kaptunk. Ebből arra következtetünk, hogy x₁=0, x₂=1 és x₃ =–1.

Ha szeretné, ellenőrizheti a megoldás helyességét úgy, hogy a számított értékeket behelyettesíti az egyenletekbe:

• 0 – 1=–1, a rendszer első azonossága helyes;
• 0 + 1 + (–1)=0, a rendszer második azonossága helyes;
• 0 – 1 + (–1)=–2, a harmadik azonosság a rendszerből helyes.

Következtetés: a Gauss-Jordan módszerrel megtaláltuk a helyes megoldást egy lineáris algebrai egyenleteket kombináló másodfokú rendszerre.

Online számológépek

Az egyetemeken tanuló és a lineáris algebrát tanuló mai fiatalok élete jelentősen leegyszerűsödött. Néhány éve önállóan kellett megoldásokat találnunk a Gauss és Gauss-Jordan módszert alkalmazó rendszerekre. A tanulók egy része sikeresen megbirkózott a feladatokkal, mások megzavarodtak a megoldásban, hibáztak, osztálytársak segítségét kérték. Ma már használhatja az online számológépeket a házi feladat elvégzéséhez. Lineáris egyenletrendszerek megoldására, inverz mátrixok keresésére olyan programokat írtak, amelyek nemcsak a helyes válaszokat mutatják be, hanem egy adott probléma megoldásának előrehaladását is megmutatják.

Az interneten számos forrás található beépített online számológépekkel. A Gauss-mátrixokat, egyenletrendszereket ezek a programok néhány másodperc alatt megoldják. A tanulóknak csak a szükséges paramétereket kell megadniuk (például az egyenletek számát,változók száma).