A mátrix egy speciális tárgy a matematikában. Négyszögletes vagy négyzet alakú táblázat formájában van ábrázolva, amely bizonyos számú sorból és oszlopból áll. A matematikában nagyon sokféle mátrix létezik, amelyek méretükben vagy tartalmukban különböznek egymástól. Sorainak és oszlopainak számait sorrendnek nevezzük. Ezeket az objektumokat a matematikában használják a lineáris egyenletrendszerek írásának megszervezésére és az eredmények kényelmes keresésére. A mátrixot használó egyenletek megoldása Carl Gauss, Gabriel Cramer módszerével, mollokkal és algebrai összeadásokkal és sok más módszerrel történik. A mátrixokkal végzett munka alapvető készsége az, hogy szabványos formába hozza őket. Először azonban nézzük meg, milyen típusú mátrixokat különböztetnek meg a matematikusok.
Null típusú
Az ilyen típusú mátrix minden összetevője nulla. Eközben sorainak és oszlopainak száma teljesen más.
Négyzet típusa
Az ilyen típusú mátrix oszlopainak és sorainak száma megegyezik. Más szóval, ez egy "négyzet alakú" asztal. Oszlopainak (vagy sorainak) számát sorrendnek nevezzük. Különleges esetek a másodrendű (mátrix 2x2), negyedrendű (4x4), tizedes (10x10), tizenhetedik (17x17) és így tovább.
Oszlopvektor
Ez az egyik legegyszerűbb típusú mátrix, csak egy oszlopot tartalmaz, amely három számértéket tartalmaz. Lineáris egyenletrendszerekben szabad tagok (változóktól független számok) sorozatát reprezentálja.
Sorvektor
Az előzőhöz hasonló nézet. Három numerikus elemből áll, amelyek egy sorban vannak rendezve.
Diagonális típus
Csak a főátló (zöld színnel kiemelve) összetevői vesznek számértéket a mátrix átlós alakjában. A főátló a bal felső sarokban lévő elemmel kezdődik, és a jobb alsó sarokban lévő elemmel végződik. A többi komponens nulla. Az átlós típus csak egy bizonyos sorrendű négyzetmátrix. Az átlós alakú mátrixok közül kiemelhető egy skaláris. Minden összetevője ugyanazt az értéket veszi fel.
Identitásmátrix
A diagonális mátrix egyik alfaja. Minden számértéke egység. Egyetlen típusú mátrixtáblázat segítségével hajtsa végre annak alapvető transzformációit, vagy keressen egy mátrixot az eredetivel inverzként.
Kanonikus típus
A mátrix kanonikus formája az egyik legfontosabb; a működéshez gyakran szükség van ráöntésre. A kanonikus mátrixban lévő sorok és oszlopok száma eltérő, nem feltétlenül tartozik a négyzet típushoz. Némileg hasonlít az identitásmátrixhoz, azonban ebben az esetben a főátló nem minden összetevője vesz fel eggyel egyenlő értéket. Két vagy négy fő átlós egység lehet (minden a mátrix hosszától és szélességétől függ). Vagy lehet, hogy egyáltalán nincsenek mértékegységek (akkor nullának számít). A kanonikus típus többi összetevője, valamint az átló és az azonosság elemei egyenlők nullával.
Háromszög típusa
A mátrix egyik legfontosabb típusa, determinánsának keresésekor és egyszerű műveletek végrehajtása során. A háromszög típus az átlós típusból származik, így a mátrix is négyzet alakú. A mátrix háromszög nézete felső háromszögre és alsó háromszögre van osztva.
A felső háromszögmátrixban (1. ábra) csak a főátló felett lévő elemek vesznek fel nullával egyenlő értéket. Magának az átlónak és az alatta lévő mátrixnak az összetevői számértékeket tartalmaznak.
Az alsó háromszögmátrixban (2. ábra) ezzel szemben a mátrix alsó részében található elemek nullával egyenlőek.
Step Matrix
A nézet szükséges egy mátrix rangjának megtalálásához, valamint a rájuk vonatkozó elemi műveletekhez (a háromszög típussal együtt). A lépésmátrixot azért nevezték így, mert jellemző nullák "lépéseit" tartalmazza (ahogy az ábrán látható). Lépcsőzetes típusban nullák átlója jön létre (nem feltétlenül a fő), és az ezen átló alatt lévő összes elem értéke nullával egyenlő. Ennek előfeltétele: ha a lépésmátrixban nulla sor van, akkor az alatta lévő többi sor sem tartalmaz számértéket.
Így megvizsgáltuk a velük való munkához szükséges legfontosabb mátrixtípusokat. Most foglalkozzunk azzal a feladattal, hogy egy mátrixot alakítsunk át a kívánt formára.
Csökkentés háromszög alakúra
Hogyan lehet a mátrixot háromszög alakúra hozni? A feladatok során leggyakrabban egy mátrixot kell háromszög alakúvá alakítania, hogy megtalálja a determinánsát, amelyet más néven determinánsnak neveznek. Ennek az eljárásnak a végrehajtásakor rendkívül fontos a mátrix főátlójának „megőrzése”, mivel a háromszög alakú mátrix meghatározója pontosan a főátló összetevőinek szorzata. Hadd emlékeztesselek a determináns megtalálásának alternatív módszereire is. A négyzet típusú determinánst speciális képletek segítségével találjuk meg. Használhatja például a háromszög módszert. Más mátrixok esetében a sorok, oszlopok vagy azok elemei szerinti bontás módszerét alkalmazzák. Alkalmazhatja a mollok és a mátrix algebrai komplementereinek módszerét is.
RészletekElemezzük a mátrix háromszög alakúvá alakításának folyamatát néhány feladat példáján keresztül.
1. feladat
Meg kell találni a bemutatott mátrix determinánsát a háromszög formába hozás módszerével.
A nekünk adott mátrix egy harmadrendű négyzetmátrix. Ezért ahhoz, hogy háromszög alakúvá alakítsuk, az első oszlop két komponensét, a második egy komponensét pedig nulláznunk kell.
Háromszög alakra hozásához kezdje el a transzformációt a mátrix bal alsó sarkából - a 6-os számból. Ha nullára szeretné fordítani, szorozza meg az első sort hárommal, és vonja ki az utolsó sorból.
Fontos! A felső sor nem változik, de ugyanaz marad, mint az eredeti mátrixban. Nem kell egy karakterláncot az eredeti négyszeresére írni. De azoknak a karakterláncoknak az értékei, amelyek összetevőit nullázni kell, folyamatosan változnak.
Ezután foglalkozzunk a következő értékkel - az első oszlop második sorának elemével, a 8-as számmal. Szorozzuk meg az első sort néggyel, és vonjuk ki a második sorból. nullát kapunk.
Csak az utolsó érték marad – a második oszlop harmadik sorának eleme. Ez a szám (-1). Ha nullára szeretné változtatni, vonja ki a másodikat az első sorból.
Ellenőrizzük:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Tehát a feladat válasza -22.
2. feladat
Meg kell találnunk a mátrix determinánsát úgy, hogy háromszög alakúra hozzuk.
Reprezentált mátrixnégyzettípusba tartozik, és egy negyedrendű mátrix. Ez azt jelenti, hogy az első oszlop három, a második oszlop két komponensét és a harmadik oszlop egy komponensét nullázni kell.
Kezdjük a redukciót a bal alsó sarokban található elemtől - a 4-es számtól. Ezt a számot nullára kell fordítanunk. Ennek legegyszerűbb módja, ha a felső sort megszorozzuk néggyel, majd kivonjuk a negyedik sorból. Írjuk fel az átalakítás első szakaszának eredményét.
Tehát a negyedik sor komponense nullára van állítva. Térjünk át a harmadik sor első elemére, a 3-as számra. Hasonló műveletet hajtunk végre. Szorozd meg hárommal az első sort, vond ki a harmadik sorból, és írd be az eredményt.
Ezután a második sorban a 2-es számot látjuk. Megismételjük a műveletet: szorozzuk meg a felső sort kettővel, és vonjuk ki a másodikból.
A négyzetmátrix első oszlopának minden komponensét sikerült nullára állítani, kivéve az 1-es számot, a főátló transzformációt nem igénylő elemét. Most fontos, hogy a kapott nullákat megtartsuk, ezért az átalakításokat sorokkal, nem oszlopokkal fogjuk végrehajtani. Menjünk tovább a bemutatott mátrix második oszlopára.
Kezdjük újra alulról – az utolsó sor második oszlopának elemétől. Ez a szám (-7). Ebben az esetben azonban kényelmesebb a (-1) számmal kezdeni - a harmadik sor második oszlopának elemével. Ha nullára szeretné fordítani, vonja ki a második sort a harmadik sorból. Ezután a második sort megszorozzuk héttel, és kivonjuk a negyedikből. A második oszlop negyedik sorában található elem helyett nullát kaptunk. Most pedig térjünk át a harmadikraoszlop.
Ebben az oszlopban csak egy számot kell nullára fordítanunk - 4-et. Könnyű megtenni: csak adja hozzá a harmadikat az utolsó sorhoz, és nézze meg a szükséges nullát.
Az összes átalakítás után a javasolt mátrixot háromszög alakúra hoztuk. Most, hogy megtalálja a meghatározóját, csak meg kell szoroznia a főátló eredményül kapott elemeit. A következőt kapjuk: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Ezért a megoldás a 160-as szám.
Tehát a mátrix háromszög alakúvá tételének kérdése nem fogja megnehezíteni a dolgát.
Csökkentés lépcsős formára
A mátrixokkal végzett elemi műveletekben a lépcsőzetes forma kevésbé "igényes", mint a háromszög. Leggyakrabban egy mátrix rangjának (vagyis a nullától eltérő sorainak számának) meghatározására, vagy lineárisan függő és független sorok meghatározására használják. A lépcsős mátrix nézet azonban sokoldalúbb, mivel nem csak a négyzettípushoz, hanem az összes többihez is alkalmas.
A mátrix lépcsőzetes formára való redukálásához először meg kell találnia a determinánsát. Erre a fenti módszerek alkalmasak. A determináns megtalálásának célja annak kiderítése, hogy átalakítható-e lépésmátrixsá. Ha a determináns nagyobb vagy kisebb, mint nulla, akkor nyugodtan folytathatja a feladatot. Ha egyenlő nullával, akkor nem fog működni a mátrix lépcsőzetes formára való redukálása. Ebben az esetben ellenőrizni kell, hogy nincs-e hiba a rekordban vagy a mátrix transzformációkban. Ha nincsenek ilyen pontatlanságok, a feladat nem oldható meg.
Lássuk, hogyanhozza a mátrixot lépcsőzetes formába több feladat példáján keresztül.
1. feladat. Keresse meg az adott mátrixtábla rangját.
Előttünk egy harmadrendű négyzetmátrix (3x3). Tudjuk, hogy a rang megtalálásához lépcsős formára kell redukálni. Ezért először meg kell találnunk a mátrix determinánsát. A háromszög módszerrel: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determináns=12. Nagyobb, mint nulla, ami azt jelenti, hogy a mátrix lépcsőzetes formára redukálható. Kezdjük az átalakításokkal.
Kezdjük a harmadik sor bal oldali oszlopának elemével - a 2-es számmal. Szorozzuk meg a felső sort kettővel, és vonjuk ki a harmadikból. Ennek a műveletnek köszönhetően mind a szükséges elem, mind a 4-es szám - a harmadik sor második oszlopának eleme - nullává változott.
Ezután állítsa nullára az első oszlop második sorának elemét - a 3-as számot. Ehhez szorozza meg a felső sort hárommal, és vonja ki a másodikból.
Látjuk, hogy a redukció háromszög alakú mátrixot eredményezett. Esetünkben az átalakítás nem folytatható, mivel a fennmaradó komponenseket nem lehet nullára fordítani.
Tehát arra a következtetésre jutunk, hogy ebben a mátrixban a numerikus értékeket tartalmazó sorok száma (vagy rangja) 3. Válasz a feladatra: 3.
2. feladat Határozza meg a mátrix lineárisan független sorainak számát.
Meg kell találnunk azokat a karakterláncokat, amelyeket semmilyen transzformációval nem lehet megfordítaninullára. Valójában meg kell találnunk a nem nulla sorok számát, vagy a reprezentált mátrix rangját. Ehhez egyszerűsítsük.
Egy mátrixot látunk, amely nem tartozik a négyzettípushoz. Mérete 3x4. Kezdjük is a leadást a bal alsó sarok elemétől - a (-1) számtól.
Adja hozzá az első sort a harmadikhoz. Ezután vonja le belőle a másodikat, hogy az 5-ös számot nullára fordítsa.
További átalakítások lehetetlenek. Tehát arra a következtetésre jutunk, hogy a benne lévő lineárisan független sorok száma és a feladat válasza 3.
A mátrix lépcsőzetes formába hozása most nem lehetetlen feladat az Ön számára.
E feladatok példáin elemeztük egy mátrix háromszög alakúra és lépcsős formára való redukálását. A mátrixtáblázatok kívánt értékeinek érvénytelenítéséhez bizonyos esetekben fantáziát kell mutatni, és helyesen kell átalakítani oszlopaikat vagy soraikat. Sok sikert a matematikához és a mátrixokkal való munkához!
