Az emberiség fejlődése nagyrészt a zsenik által tett felfedezéseknek köszönhető. Az egyikük Blaise Pascal. Kreatív életrajza ismét megerősíti Lion Feuchtwanger „Tehetséges ember, mindenben tehetséges” kifejezésének igazságát. Ennek a nagyszerű tudósnak az összes tudományos eredményeit nehéz megszámolni. Köztük van a matematika világának egyik legelegánsabb találmánya – a Pascal-háromszög.
Pár szó a zsenialitásról
Blaise Pascal modern mércével mérve korán, 39 évesen megh alt. Rövid életében azonban kiváló fizikusként, matematikusként, filozófusként és íróként tüntette ki magát. A hálás leszármazottak a nyomás mértékegységét és a népszerű programozási nyelvet Pascalnak nevezték el tiszteletére. Közel 60 éve használják különféle kódok írásának megtanítására. Például a segítségével minden diák írhat egy programot egy háromszög területének kiszámítására Pascalban, valamint feltárhatja az áramkör tulajdonságait, kb.amiről az alábbiakban lesz szó.
Ennek a rendkívüli gondolkodású tudósnak a tevékenysége a tudomány legkülönbözőbb területeit öleli fel. Blaise Pascal különösen a hidrosztatika, a matematikai elemzés, a geometria és a valószínűségszámítás egyes területeinek egyik megalapítója. Továbbá ő:
- létrehozott egy Pascal-kerékként ismert mechanikus számológépet;
- kísérleti bizonyítékot szolgáltatott arra vonatkozóan, hogy a levegőnek van rugalmassága és súlya;
- megállapította, hogy a barométerrel megjósolható az időjárás;
- feltalálta a talicskát;
- feltalálta az omnibuszt - fix útvonalú lovas kocsikat, amelyek később az első tömegközlekedési típus lettek, stb.
Pascal aritmetikai háromszöge
Amint már említettük, ez a nagyszerű francia tudós óriási mértékben hozzájárult a matematikai tudományhoz. Egyik abszolút tudományos remeke a „Traktáció az aritmetikai háromszögről”, amely meghatározott sorrendbe rendezett binomiális együtthatókból áll. Ennek a rendszernek a tulajdonságai szembetűnőek sokszínűségükben, és maga is megerősíti a közmondást: „Minden ötletes egyszerű!”.
Egy kis történelem
Az igazság kedvéért el kell mondanunk, hogy a Pascal-háromszög valójában már a 16. század elején ismert volt Európában. Különösen az ő képe látható Peter Apian, az Ingolstadti Egyetem híres csillagászának számtani tankönyvének borítóján. Hasonló háromszög is látható illusztrációként. Yang Hui kínai matematikus 1303-ban megjelent könyvében. A 12. század elején a figyelemre méltó perzsa költő és filozófus, Omar Khayyam is tisztában volt tulajdonságaival. Sőt, úgy vélik, hogy arab és indiai tudósok korábban írt értekezéseiből ismerkedett meg vele.
Leírás
Mielőtt megvizsgálnánk a tökéletességében és egyszerűségében gyönyörű Pascal-háromszög legérdekesebb tulajdonságait, érdemes tudni, mi az.
Tudományosan szólva ez a numerikus séma egy végtelen háromszögtábla, amelyet meghatározott sorrendbe rendezett binomiális együtthatókból alakítanak ki. A tetején és az oldalán az 1-es számok találhatók. A fennmaradó helyeket a felettük egymás mellett elhelyezkedő két szám összegével egyenlő számok foglalják el. Ráadásul a Pascal-háromszög minden egyenese szimmetrikus a függőleges tengelyére.
Alapvető funkciók
Pascal háromszöge üt a tökéletességével. Bármely n (n=0, 1, 2…) sorszámú sorra igaz:
- első és utolsó szám 1;
- második és utolsó előtti - n;
- a harmadik szám egyenlő a háromszög számmal (az egyenlő oldalú háromszögbe rendezhető körök száma, azaz 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- A negyedik szám tetraéder, azaz egy piramis, amelynek alapja háromszög.
Ráadásul viszonylag nemrég, 1972-ben a Pascal-háromszög egy másik tulajdonságát is megállapították. Annak érdekében, hogy nekiennek kiderítéséhez meg kell írni a séma elemeit táblázat formájában, 2 pozícióval eltolva. Ezután jegyezze fel a sorszámmal osztható számokat. Kiderült, hogy annak az oszlopnak a száma, amelyben az összes szám kiemelve van, egy prímszám.
Ugyanezt a trükköt más módon is meg lehet csinálni. Ehhez a Pascal-háromszögben a számokat a táblázat sorszámával való osztásuk maradékaival helyettesítjük. Ezután a sorokat úgy rendezzük el a kapott háromszögben, hogy a következő az előző első elemétől 2 oszlopot jobbra kezdjen. Ekkor a prímszámokat tartalmazó oszlopok csak nullákból állnak, az összetett számokat tartalmazó oszlopok pedig legalább egy nullát tartalmaznak.
Kapcsolódás Newton binomiálisával
Mint tudod, ez a képlet neve a két változó összegének nemnegatív egész hatványára történő kiterjesztésére, amely így néz ki:
A bennük lévő együtthatók egyenlők C m =n! / (m! (n - m)!), ahol m a Pascal-háromszög n sorának sorszáma. Más szóval, ha kéznél van ez a táblázat, könnyen hatványra emelhet bármilyen számot, miután előzőleg két tagra bontotta őket.
Így a Pascal-háromszög és a Newton-binomiális szorosan összefügg.
Matek csodái
A Pascal-háromszög alapos vizsgálata azt mutatja, hogy:
- a -val sorban lévő összes szám összegeaz n sorozatszám (0-tól számítva) 2;
- ha a vonalak balra vannak igazítva, akkor a Pascal-háromszög átlói mentén elhelyezkedő számok összege alulról felfelé és balról jobbra haladva egyenlő a Fibonacci-számokkal;
- az első "átló" sorrendben természetes számokból áll;
- A Pascal-háromszög bármely eleme eggyel csökkentve egyenlő a paralelogrammán belül található összes szám összegével, amelyet az ezen a számon metsző bal és jobb oldali átló korlátoz;
- a diagram minden sorában a páros helyeken lévő számok összege egyenlő a páratlan helyeken lévő elemek összegével.
Sierpinski-háromszög
Egy ilyen érdekes, összetett feladatok megoldása szempontjából igen ígéretes matematikai sémát kapunk, ha a Pascal-kép páros számait egy színnel, a páratlan számokat pedig egy másik színnel színezzük.
A Sierpinski-háromszög más módon is felépíthető:
- az árnyékolt Pascal sémában a középső háromszöget más színre festjük, ami az eredeti oldalainak felezőpontjainak összekapcsolásával jön létre;
- pontosan ugyanezt csináld három festetlennel a sarkokban;
- ha az eljárást határozatlan ideig folytatjuk, akkor az eredmény egy kétszínű figura legyen.
A Sierpinski-háromszög legérdekesebb tulajdonsága az önhasonlósága, mivel 3 másolatából áll, amelyek 2-szeresére csökkennek. Lehetővé teszi, hogy ezt a sémát fraktálgörbéknek tulajdonítsuk, és ezek, amint azt a legutóbbi mutatjáka kutatás a legalkalmasabb a felhők, növények, folyódelták és magának az univerzumnak a matematikai modellezésére.
Több érdekes feladat
Hol használják a Pascal-háromszöget? A segítségével megoldható feladatok példái meglehetősen szerteágazóak és különböző tudományterületekhez tartoznak. Nézzünk néhány érdekesebbet.
1. probléma. Néhány erődfallal körülvett nagyvárosnak csak egy bejárati kapuja van. Az első kereszteződésben a főút ketté válik. Ugyanez történik bármelyik másiknál is. 210 ember lép be a városba. Mindegyik találkozási pontnál kettéosztják őket. Hány ember lesz az egyes kereszteződésekben, amikor már nem lehet megosztani. Válasza a Pascal-háromszög 10. sora (az együttható képlet fent látható), ahol a 210-es számok a függőleges tengely két oldalán helyezkednek el.
2. feladat. A színeknek 7 neve van. 3 virágból kell csokrot készíteni. Ki kell deríteni, hogy ezt hányféleképpen lehet megtenni. Ez a probléma a kombinatorika területéről származik. A megoldáshoz ismét Pascal háromszögét használjuk, és a 7. sorba a harmadik helyre (mindkét esetben 0-tól számozva) a 35-ös számot kapjuk.
Most már tudja, mit talált fel a nagy francia filozófus és tudós, Blaise Pascal. Híres háromszöge, ha helyesen használják, igazi mentővé válhat számos probléma megoldásához, különösen a terepen.kombinatorika. Emellett számos fraktálokkal kapcsolatos rejtély megfejtésére is használható.
