Bármely piramis tipikus lineáris paraméterei az alapja oldalainak hossza, magassága, oldalélei és apotémei. Mindazonáltal van egy másik jellemző, amely a megjelölt paraméterekhez kapcsolódik - ez a diéderszög. Fontolja meg a cikkben, hogy mi ez, és hogyan találhatja meg.
Térbeli alakpiramis
Minden diáknak jó ötlete van arról, hogy mi forog kockán, amikor meghallja a „piramis” szót. Geometriailag a következőképpen szerkeszthető: válasszunk ki egy sokszöget, majd rögzítünk egy pontot a térben, és csatlakoztassuk a sokszög minden sarkához. A kapott háromdimenziós alak egy tetszőleges típusú piramis lesz. Az azt alkotó sokszöget alapnak nevezzük, és az a pont, amelyhez minden sarka kapcsolódik, az ábra csúcsa. Az alábbi ábra sematikusan egy ötszögletű piramist mutat.
Látható, hogy felületét nem csak egy ötszög alkotja, hanem öt háromszög is. Általában ezeknek a háromszögeknek a száma megegyezik a számmalsokszögű alap oldalai.
Az ábra diéderszögei
Ha geometriai problémákat egy síkon veszünk figyelembe, bármely szöget két egymást metsző egyenes vagy szakasz alkot. A térben ezekhez a lineáris szögekhez diéderszögek adódnak, amelyeket két sík metszéspontja alkot.
Ha a térbeli szög megjelölt definícióját alkalmazzuk a kérdéses ábrára, akkor azt mondhatjuk, hogy kétféle diéderszög létezik:
- A piramis alján. Az alap síkja és bármelyik oldallapja (háromszög) alkotja. Ez azt jelenti, hogy a piramis alapszögei n, ahol n a sokszög oldalainak száma.
- Az oldalak között (háromszögek). Ezen diéderszögek száma is n darab.
Ne feledje, hogy a figyelembe vett szögek első típusa az alap szélére, a második típus az oldalélekre épül.
Hogyan kell kiszámítani a piramis szögeit?
A diéderszög lineáris szöge az utóbbi mértéke. Nem könnyű kiszámítani, mivel a piramis lapjai, ellentétben a prizma lapjaival, általában nem metszik egymást derékszögben. A legmegbízhatóbb a kétszögek értékeinek kiszámítása a sík egyenletei alapján általános formában.
A háromdimenziós térben egy síkot a következő kifejezés ad meg:
Ax + By + Cz + D=0
Ahol A, B, C, D néhány valós szám. Ennek az egyenletnek az a kényelmessége, hogy az első három jelölt szám a vektor koordinátái,amely merőleges az adott síkra, azaz:
n¯=[A; B; C]
Ha a síkhoz tartozó három pont koordinátái ismertek, akkor két, ezekre a pontokra épített vektor vektorszorzatát véve megkaphatjuk az n¯ koordinátákat. Az n¯ vektort a sík vezetőjének nevezzük.
A definíció szerint a két sík metszéspontjából kialakuló diéderszög egyenlő az irányvektoraik közötti lineáris szöggel. Tegyük fel, hogy van két sík, amelyek normálvektorai egyenlőek:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
A köztük lévő φ szög kiszámításához használja a skaláris szorzat tulajdonságot, ekkor a megfelelő képlet a következő:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Vagy koordináta formában:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Megmutatjuk, hogyan használhatjuk a fenti módszert a diéderszögek kiszámítására geometriai feladatok megoldása során.
Szabályos négyszögletű piramis szögei
Tételezzük fel, hogy van egy szabályos gúla, melynek alján van egy 10 cm oldalhosszúságú négyzet. Az ábra magassága:12 cm. Ki kell számolni, hogy mekkora a diéder szöge a gúla aljánál és oldalainál.
Mivel a feladat feltételében megadott ábra helyes, vagyis nagy a szimmetriája, ezért az alapnál minden szög egyenlő egymással. Az oldallapok által alkotott szögek is azonosak. A szükséges diéderszögek kiszámításához megkeressük az alap- és két oldalsíkra vonatkozó irányvektorokat. Jelölje az alap oldalának hosszát a betűvel, a magasságot pedig h.
A fenti képen egy négyszögletű szabályos piramis látható. Írjuk ki az A, B, C és D pontok koordinátáit a megadott koordinátarendszer szerint:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Most megtaláljuk az ABC alapsíkok, valamint az ABD és BCD két oldal irányvektorait a fenti bekezdésben leírt módszer szerint:
Az ABC számára:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
ABD esetén:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
BCD esetén:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Most hátra van a φ szög megfelelő képletének alkalmazása, és az oldal- és magasságértékek helyettesítése a feladatmeghatározásból:
Szög az ABC ésABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
Szög az ABD és a BDC között:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Kiszámoltuk azoknak a szögeknek az értékét, amelyeket a probléma feltétele szerint meg kellett találni. A feladat megoldása során kapott képletekkel meg lehet határozni a négyszög alakú szabályos gúlák diéderszögeit bármely a és h értékkel.
Egy háromszög alakú szabályos gúla szögei
Az alábbi ábra egy piramist mutat, amelynek alapja egy szabályos háromszög. Ismeretes, hogy az oldalak közötti diéderszög megfelelő. Ki kell számítani az alap területét, ha ismert, hogy az ábra magassága 15 cm.
A 90o diéderszöget ABC-ként jelöljük az ábrán. A fenti módszerrel megoldhatja a problémát, de ebben az esetben mi könnyebben megtesszük. Jelöljük az a háromszög oldalát, az ábra magasságát - h, az apotémát - hb és az oldalátborda - b. Most a következő képleteket írhatja le:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Mivel a piramis két oldalsó háromszöge azonos, az AB és CB oldalak egyenlőek, és az ABC háromszög szárai. Jelöljük a hosszukat x-szel, majd:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Az oldalsó háromszögek területeit kiegyenlítve és az apotémet a megfelelő kifejezésbe behelyettesítve a következőt kapjuk:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Egy egyenlő oldalú háromszög területét a következőképpen számítjuk ki:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Helyettesítse be a magasságértéket a feladat feltételéből, megkapjuk a választ: S=584, 567 cm2.
