A sztereometria, mint a geometria térbeli ága, a prizmák, hengerek, kúpok, golyók, piramisok és más háromdimenziós alakzatok tulajdonságait vizsgálja. Ez a cikk egy hatszögletű szabályos piramis jellemzőinek és tulajdonságainak részletes áttekintését szolgálja.
Melyik piramist fogják tanulmányozni
A szabályos hatszögletű piramis egy alakzat a térben, amelyet egy egyenlő oldalú és egyenszögű hatszög, valamint hat egyforma egyenlő szárú háromszög határol. Ezek a háromszögek bizonyos feltételek mellett egyenlő oldalúak is lehetnek. Ez a piramis az alábbiakban látható.
Ugyanez az ábra látható itt is, csak az egyik esetben oldallapjával az olvasó felé fordítva, a másikban pedig oldalsó élével.
Egy szabályos hatszögletű piramisnak 7 lapja van, amelyeket fentebb említettünk. 7 csúcsa és 12 éle is van. A prizmákkal ellentétben minden piramisnak van egy speciális csúcsa, amelyet az oldalsó metszéspontja képez.háromszögek. Szabályos piramisnál fontos szerepe van, hiszen az abból a figura alapjához süllyesztett merőleges a magasság. Továbbá a magasságot h betű jelöli.
A látható piramist két okból nevezik helyesnek:
- alján egy hatszög egyenlő a oldalhosszúsággal és egyenlő 120°-os szögekkelo;
- A h piramis magassága pontosan a középpontjában metszi a hatszöget (a metszéspont a hatszög minden oldalától és minden csúcsától azonos távolságra van).
Felület
Egy szabályos hatszögletű piramis tulajdonságait a területének meghatározásából veszik figyelembe. Ehhez először célszerű az ábrát egy síkon kibontani. Ennek sematikus ábrázolása az alábbiakban látható.
Látható, hogy a sweep területe, és így a vizsgált ábra teljes felülete egyenlő hat egyforma háromszög és egy hatszög területének összegével.
Egy hatszög területének meghatározásához S6 használja a szabályos n-szög univerzális képletét:
S=n/4a2ctg(pi/n)=>
S6=3√3/2a2.
Ahol a a hatszög oldalának hossza.
Egy háromszög S3 oldaloldalának területe megtalálható, ha ismeri a magasságának értékét hb:
S3=1/2hba.
Mert mind a hatháromszögek egyenlőek egymással, akkor egy munkakifejezést kapunk egy hatszögletű gúla területének meghatározására a megfelelő alappal:
S=S6+ 6S3=3√3/2a2 + 61/2hba=3a(√3/2a + hb).
Piramis kötet
A területhez hasonlóan a hatszögletű szabályos piramis térfogata is fontos tulajdonsága. Ezt a térfogatot az összes piramis és kúp általános képlete határozza meg. Írjuk fel:
V=1/3Soh.
Itt az So szimbólum a hatszögletű alap területe, azaz So=S 6.
A fenti kifejezést S6 helyére behelyettesítve V képletébe, megkapjuk a szabályos hatszögletű gúla térfogatának meghatározásának végső egyenlőségét:
V=√3/2a2h.
Példa egy geometriai feladatra
Egy szabályos hatszögletű gúlában az oldalsó él kétszerese az alapoldal hosszának. Tudva, hogy ez utóbbi 7 cm, ki kell számítani ennek az ábrának a felületét és térfogatát.
Ahogyan sejthető, ennek a feladatnak a megoldása a fent kapott S-re és V-re kapott kifejezések használatát foglalja magában. Ennek ellenére nem lehet azonnal használni őket, mivel nem ismerjük az apotémet és a szabályos hatszögletű gúla magassága. Számoljuk ki őket.
A hb apotémet egy b, a/2 és hb oldalra épített derékszögű háromszög alapján határozhatjuk meg. Itt b az oldalél hossza. A probléma feltételét felhasználva a következőt kapjuk:
hb=√(b2-a2/4)=√(14 2-72/4)=13, 555 cm.
A gúla h magassága pontosan ugyanúgy meghatározható, mint egy apotém, de most egy olyan háromszöget kell figyelembe venni, amelynek h, b és a oldalai a piramis belsejében találhatók. A magasság a következő lesz:
h=√(b2- a2)=√(142- 7 2)=12, 124 cm.
Látható, hogy a számított magasságérték kisebb, mint az apotémé, ami minden piramisra igaz.
Most már használhat kifejezéseket a térfogatra és a területre:
S=3a(√3/2a + hb)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 cm2;
V=√3/2a2h=√3/27212, 124=514, 48cm3.
Így egy szabályos hatszögletű piramis bármely jellemzőjének egyértelmű meghatározásához ismernie kell bármelyik két lineáris paraméterét.
