A térgeometria, amelynek tantárgyát az iskola 10-11. osztályában tanulják, figyelembe veszi a háromdimenziós alakzatok tulajdonságait. A cikk megadja a henger geometriai meghatározását, képletet ad a térfogatának kiszámításához, és megold egy fizikai problémát is, ahol fontos tudni ezt a térfogatot.
Mi az a henger?
Sztereometriai szempontból a henger definíciója a következőképpen adható meg: egy bizonyos lapos zárt görbe mentén egy egyenes szakasz párhuzamos elmozdulásának eredményeként kialakuló alakzat. A megnevezett szakasz nem tartozhat ugyanabba a síkba, mint a görbe. Ha a görbe egy kör, és a szakasz merőleges rá, akkor a leírt módon kialakított hengert egyenesnek és kereknek nevezzük. Az alábbi képen látható.
Nem nehéz kitalálni, hogy ez az alakzat úgy érhető el, ha egy téglalapot bármelyik oldala körül elforgatunk.
A hengernek két egyforma alapja van, amelyek körök, és egy oldalahengeres felület. Az alap körét direktrixnek nevezzük, a különböző alapok köreit összekötő merőleges szakaszt pedig az ábra generátora.
Hogyan lehet megtudni egy kerek, egyenes henger térfogatát?
Miután megismerkedtünk a henger definíciójával, gondoljuk át, milyen paramétereket kell ismernünk a jellemzőinek matematikai leírásához.
A két alap távolsága az ábra magassága. Nyilvánvaló, hogy egyenlő a generátor hosszával. A magasságot latin h betűvel jelöljük. A kör alapjában lévő sugarát r betűvel jelöljük. Ezt a henger sugarának is nevezik. A bevezetett két paraméter elegendő ahhoz, hogy egyértelműen leírja a kérdéses ábra összes tulajdonságát.
A henger geometriai meghatározását figyelembe véve a térfogata a következő képlettel számítható ki:
V=Sh
Itt S az alap területe. Vegye figyelembe, hogy minden hengerre és bármely prizmára az írott képlet érvényes. Mindazonáltal egy kerek, egyenes henger esetében meglehetősen kényelmes a használata, mivel a magasság generátor, és az alap S területe meghatározható a kör területének képletének emlékezésével:
S=pir2
Így a kérdéses ábra V térfogatának munkaképlete a következőképpen lesz felírva:
V=pir2h
Felhajtóerő
Minden diák tudja, hogy ha egy tárgyat vízbe merítenek, akkor a súlya csökken. Ennek a ténynek az okaegy felhajtóerő, vagy arkhimédeszi erő megjelenése. Bármilyen testre hat, függetlenül azok alakjától és anyagától, amelyből készült. Arkhimédész erőssége a következő képlettel határozható meg:
FA=ρlgVl
Itt ρl és Vl a folyadék sűrűsége és a test által kiszorított térfogata. Fontos, hogy ezt a térfogatot ne keverjük össze a test térfogatával. Csak akkor illeszkednek egymáshoz, ha a test teljesen elmerül a folyadékban. Bármilyen részleges bemerülés esetén a Vl mindig kisebb, mint a test V-je.
Az FA felhajtóerőt azért nevezzük, mert függőlegesen felfelé irányul, vagyis ellentétes a gravitációval. Az erővektorok különböző irányai arra a tényre vezetnek, hogy a test súlya bármely folyadékban kisebb, mint a levegőben. Az igazság kedvéért megjegyezzük, hogy a levegőben is minden testre hatással van felhajtóerő, azonban ez elhanyagolható a vízben lévő arkhimédészi erőhöz képest (800-szor kisebb).
A folyadékban és a levegőben lévő testek tömegének különbségét használják a szilárd és folyékony anyagok sűrűségének meghatározására. Ezt a módszert hidrosztatikus mérésnek nevezik. A legenda szerint először Arkhimédész használta annak a fémnek a sűrűségének meghatározására, amelyből a korona készült.
A fenti képlet segítségével határozza meg a sárgaréz hengerre ható felhajtóerőt.
A sárgaréz hengerre ható Arkhimédész-erő kiszámításának problémája
Ismert, hogy egy sárgaréz henger magassága 20 cm, átmérője 10 cm. Mekkora lesz az arkhimédeszi erő?amely hatni kezd rá, ha a hengert desztillált vízbe dobják.
A sárgaréz hengerre ható felhajtóerő meghatározásához először is nézze meg a sárgaréz sűrűségét a táblázatban. Ez egyenlő 8600 kg/m3 (ez a sűrűségének átlagos értéke). Mivel ez az érték nagyobb, mint a víz sűrűsége (1000 kg/m3), a tárgy elsüllyed.
Az Archimedes-erő meghatározásához elég megkeresni a henger térfogatát, majd az FA képletet használni. Nálunk:
V=pir2h=3, 145220=1570 cm 3
Az 5 cm-es sugárértéket behelyettesítettük a képletbe, mivel ez kétszer kisebb, mint az átmérőfeladat feltételében megadott.
A felhajtóerőre a következőket kapjuk:
FA=ρlgV=10009, 81157010-6 =15, 4 H
Itt a V kötetet m3.
-ra konvertáltuk
Így 15,4 N felfelé irányuló erő hat egy ismert méretű, vízbe merített sárgaréz hengerre.
