A természetben és a technikában gyakran találkozunk szilárd testek, például tengelyek és fogaskerekek forgó mozgásának megnyilvánulásával. Hogyan írják le ezt a fajta mozgást a fizikában, milyen képleteket és egyenleteket használnak ehhez, ezekkel és más kérdésekkel foglalkozunk ebben a cikkben.
Mi az a forgatás?
Mindannyian intuitív módon elképzeljük, milyen mozgásról beszélünk. A forgás olyan folyamat, amelyben egy test vagy anyagpont körpályán mozog valamilyen tengely körül. Geometriai szempontból a merev test forgástengelye egy egyenes, amelynek távolsága a mozgás során változatlan marad. Ezt a távolságot forgási sugárnak nevezzük. A továbbiakban r betűvel jelöljük. Ha a forgástengely áthalad a test tömegközéppontján, akkor saját tengelyének nevezzük. A saját tengelye körüli forgásra példa a Naprendszer bolygóinak megfelelő mozgása.
A forgáshoz centripetális gyorsulásnak kell lennie, ami acentripetális erő. Ez az erő a test tömegközéppontjától a forgástengely felé irányul. A centripetális erő természete nagyon eltérő lehet. Kozmikus léptékben tehát a gravitáció játssza a szerepét, ha a testet egy szál rögzíti, akkor az utóbbi feszítőereje centripetális lesz. Amikor egy test a saját tengelye körül forog, a centripetális erő szerepét a testet alkotó elemek (molekulák, atomok) közötti belső elektrokémiai kölcsönhatás játssza.
Meg kell érteni, hogy centripetális erő jelenléte nélkül a test egyenes vonalban mozog.
A forgást leíró fizikai mennyiségek
Először is a dinamikus jellemzők. Ezek a következők:
- lendület L;
- tehetetlenségi pillanat I;
- erőpillanat M.
Másodszor, ezek a kinematikai jellemzők. Soroljuk fel őket:
- elfordulási szög θ;
- szögsebesség ω;
- szöggyorsulás α.
Írjuk le röviden ezeket a mennyiségeket.
A szögnyomatékot a következő képlet határozza meg:
L=pr=mvr
Ahol p a lineáris impulzus, m az anyagi pont tömege, v a lineáris sebessége.
Egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatékát a következő kifejezéssel számítjuk ki:
I=mr2
Bármely összetett alakú test esetében az I értékét az anyagi pontok tehetetlenségi nyomatékainak integrál összegeként számítjuk ki.
Az M erőnyomatékot a következőképpen számítjuk ki:
M=Fd
Itt F -külső erő, d - távolság az alkalmazási ponttól a forgástengelyig.
Minden mennyiség fizikai jelentése, amelyek nevében a "pillanat" szó szerepel, hasonló a megfelelő lineáris mennyiségek jelentéséhez. Például az erőnyomaték azt mutatja, hogy egy adott erő milyen szöggyorsulást kölcsönöz a forgó testek rendszerének.
A kinematikai jellemzőket a következő képletek matematikailag határozzák meg:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Amint ezekből a kifejezésekből látható, a szögkarakterisztikák jelentésükben hasonlóak a lineárisakhoz (v sebesség és gyorsulás a), csak körpályára vonatkoznak.
Forgási dinamika
A fizikában a merev test forgómozgásának vizsgálatát a mechanika két ága, a dinamika és a kinematika segítségével végzik. Kezdjük a dinamikával.
A dinamika a forgó testek rendszerére ható külső erőket vizsgálja. Rögtön írjuk fel egy merev test forgómozgásának egyenletét, majd elemezzük annak alkotórészeit. Tehát ez az egyenlet így néz ki:
M=Iα
Az I tehetetlenségi nyomatékú rendszerre ható erőnyomaték α szöggyorsulás megjelenését idézi elő. Minél kisebb I értéke, annál könnyebb egy bizonyos M momentum segítségével rövid időközönként nagy sebességre felpörgetni a rendszert. Például egy fémrudat könnyebb a tengelye mentén elforgatni, mint merőlegesen rá. Könnyebb azonban ugyanazt a rudat egy rá merőleges és a tömegközépponton átmenő tengely körül forgatni, mint a végén.
Természetvédelmi törvényértékek L
Ezt az értéket fentebb vezettük be, ezt nevezik szögimpulzusnak. Az előző bekezdésben bemutatott merev test forgási egyenletét gyakran más formában írják le:
Mdt=dL
Ha az M külső erők nyomatéka dt idő alatt hat a rendszerre, akkor az a rendszer impulzusimpulzusában dL-el változik. Ennek megfelelően, ha az erők nyomatéka egyenlő nullával, akkor L=const. Ez az L érték megmaradásának törvénye. Erre a lineáris és a szögsebesség kapcsolatát felhasználva a következőt írhatjuk:
L=mvr=mωr2=Iω.
Így az erőnyomaték hiányában a szögsebesség és a tehetetlenségi nyomaték szorzata állandó érték. Ezt a fizikai törvényt alkalmazzák a műkorcsolyázók előadásaikban vagy mesterséges műholdakon, amelyeket saját tengelyük körül kell forgatni a világűrben.
Centripetális gyorsulás
Fent, a merev test forgómozgásának vizsgálatánál már leírtuk ezt a mennyiséget. Megjegyezték a centripetális erők természetét is. Itt csak kiegészítjük ezt az információt, és megadjuk a megfelelő képleteket a gyorsulás kiszámításához. Jelölje:c.
Mivel a centripetális erő a tengelyre merőlegesen irányul és áthalad rajta, nem hoz létre pillanatot. Vagyis ennek az erőnek egyáltalán nincs hatása a forgás kinematikai jellemzőire. Ez azonban centripetális gyorsulást hoz létre. Két képletet adunk megannak meghatározásai:
ac=v2/r;
ac=ω2r.
Így minél nagyobb a szögsebesség és a sugár, annál nagyobb erőt kell kifejteni ahhoz, hogy a test körpályán maradjon. Ennek a fizikai folyamatnak egy szembetűnő példája az autó megcsúszása kanyar közben. Csúszás akkor következik be, amikor a centripetális erő, amelyet a súrlódási erő játszik le, kisebb lesz, mint a centrifugális erő (tehetetlenségi karakterisztika).
Forgatási kinematika
Három fő kinematikai jellemzőt soroltunk fel fent a cikkben. A merev test forgómozgásának kinematikáját a következő képletek írják le:
θ=ωt=>ω=állandó, α=0;
θ=ω0t + αt2/2=> ω=ω0 + αt, α=konst.
Az első sor az egyenletes forgás képleteit tartalmazza, amely feltételezi a rendszerre ható erők külső nyomatékának hiányát. A második sor az egyenletesen gyorsított körmozgás képleteit tartalmazza.
Ne feledje, hogy a forgás nem csak pozitív, hanem negatív gyorsulással is előfordulhat. Ebben az esetben a második sor képleteiben tegyen mínuszjelet a második tag elé.
Példa problémamegoldásra
1000 Nm nyomaték 10 másodpercig hatott a fémtengelyre. Tudva, hogy a tengely tehetetlenségi nyomatéka 50kgm2, meg kell határozni azt a szögsebességet, amelyet az említett erőnyomaték adott a tengelyre.
A forgás alapegyenletét alkalmazva kiszámítjuk a tengely gyorsulását:
M=Iα=>
α=M/I.
Mivel ez a szöggyorsulás hatott a tengelyre a t=10 másodperc alatt, az egyenletesen gyorsított mozgás képletét használjuk a szögsebesség kiszámításához:
ω=ω0+ αt=M/It.
Itt ω0=0 (a tengely nem forgott az M erőnyomatékig).
A mennyiségek számértékeit behelyettesítjük egyenlőségbe, így kapjuk:
ω=1000/5010=200 rad/s.
Ahhoz, hogy ezt a számot a szokásos fordulatszámra lefordíthassa, el kell osztania 2pi-vel. A művelet végrehajtása után azt kapjuk, hogy a tengely 31,8 ford./perc frekvenciával fog forogni.
