A forgómozgás dinamikájának és kinematikájának kvantitatív vizsgálatához szükség van egy anyagi pont és egy merev test tehetetlenségi nyomatékának ismeretére a forgástengelyhez képest. A cikkben megvizsgáljuk, hogy melyik paraméterről beszélünk, és adunk egy képletet ennek meghatározására.
Általános információ a fizikai mennyiségről
Először is határozzuk meg egy anyagi pont és egy merev test tehetetlenségi nyomatékát, majd mutassuk meg, hogyan kell használni a gyakorlati feladatok megoldásában.
A megadott fizikai jellemző alatt egy m tömegű pontra, amely r távolságra forog a tengely körül, a következő érték értendő:
I=mr².
Ahol az következik, hogy a vizsgált paraméter mértékegysége kilogramm per négyzetméter (kgm²).
Ha egy tengely körüli pont helyett egy összetett alakú test forog, amelynek tömege tetszőlegesen eloszlik magában, akkor a tehetetlenségi nyomatéka meghatározásra kerülszóval:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Ahol ρ a test sűrűsége. Az integrál képlet segítségével meghatározhatja az I értékét abszolút bármely forgási rendszerhez.
A tehetetlenségi nyomatéknak pontosan ugyanaz a jelentése a forgásnál, mint a tömegnek a transzlációs mozgásnál. Például mindenki tudja, hogy a padlómosót a legegyszerűbb a fogantyúján átmenő tengely körül forgatni, mint egy merőlegesen. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy az első esetben a tehetetlenségi nyomaték sokkal kisebb, mint a második esetben.
Értékelemben tartom a különböző alakú testeket
A fizika forgatási feladatainak megoldása során gyakran szükséges egy adott geometriai alakú test, például egy henger, golyó vagy rúd tehetetlenségi nyomatékának ismerete. Ha a fent leírt képletet alkalmazzuk I-re, akkor könnyen megkaphatjuk a megfelelő kifejezést minden jelölt testre. Az alábbiakban néhány képlet látható:
rúd: I=1/12ML²;
henger: I=1/2MR²;
gömb: I=2/5MR².
Itt a forgástengelyt adok, amely átmegy a test tömegközéppontján. Henger esetén a tengely párhuzamos az ábra generátorával. A többi geometriai test tehetetlenségi nyomatéka és a forgástengelyek elhelyezkedésének lehetőségei a megfelelő táblázatokban találhatók. Vegye figyelembe, hogy I különböző alakzatok meghatározásához elegendő csak egy geometriai paramétert és a test tömegét ismerni.
Steiner-tétel és képlet
A tehetetlenségi nyomaték akkor határozható meg, ha a forgástengely bizonyos távolságra van a testtől. Ehhez ismernie kell ennek a szakasznak a hosszát és a test IO értékét a tömegközépponton átmenő tengelyhez képest, amelynek párhuzamosnak kell lennie az alatta lévővel. megfontolás. Az IO paraméter és az I ismeretlen érték közötti kapcsolat létrehozását a Steiner-tétel rögzíti. Egy anyagi pont és egy merev test tehetetlenségi nyomatéka matematikailag a következőképpen írható le:
I=IO+ Mh2.
Itt M a test tömege, h a tömegközéppont és a forgástengely távolsága, amelyhez képest ki kell számítani az I-t. Ez a kifejezés önmagában is könnyen megszerezhető, ha használja az I integrál képletét, és vegye figyelembe, hogy a test minden pontja r=r0 + h.
Steiner tétele nagymértékben leegyszerűsíti az I meghatározását számos gyakorlati helyzetben. Például, ha meg kell találnia I-t egy L hosszúságú és M tömegű rúdhoz a végén átmenő tengelyhez képest, akkor a Steiner-tétel alkalmazásával a következőt írhatja:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
A megfelelő táblázatban láthatja, hogy pontosan ezt a képletet tartalmazza egy vékony rúdra, amelynek végén forgástengely van.
Pillanategyenlet
A forgás fizikában van egy képlet, amelyet a nyomatékegyenletnek neveznek. Így néz ki:
M=Iα.
Itt M az erőnyomaték, α a szöggyorsulás. Mint látható, egy anyagi pont és egy merev test tehetetlenségi nyomatéka és az erőnyomaték lineárisan összefügg egymással. Az M érték meghatározza annak lehetőségét, hogy valamilyen F erő α gyorsulású forgómozgást hozzon létre a rendszerben. M kiszámításához használja a következő egyszerű kifejezést:
M=Fd.
Ahol d a pillanat válla, amely egyenlő az F erővektor és a forgástengely távolságával. Minél kisebb a d kar, annál kisebb az erő képessége a rendszer forgásának létrehozásához.
A pillanatok egyenlete a jelentésében teljes mértékben összhangban van Newton második törvényével. Ebben az esetben én a tehetetlenségi tömeg szerepét töltöm be.
Példa problémamegoldásra
Képzeljünk el egy rendszert, amely egy súlytalan vízszintes rúddal függőleges tengelyre rögzített henger. Ismeretes, hogy a henger forgástengelye és főtengelye párhuzamos egymással, a távolságuk 30 cm A henger tömege 1 kg, sugara 5 cm. Erő 10 A forgási pályára N érintő hat az ábrára, amelynek vektora átmegy a henger főtengelyén. Meg kell határozni az ábra szöggyorsulását, amelyet ez az erő okoz.
Először is számítsuk ki az I henger tehetetlenségi nyomatékát. Ehhez alkalmazzuk a Steiner-tételt, a következőt kapjuk:
I=IO+ M d²=1/2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
A pillanatnyi egyenlet használata előtt meg kell tenniehatározzuk meg az M erőnyomatékot. Ebben az esetben:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Most meghatározhatja a gyorsulást:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
A számított szöggyorsulás azt jelzi, hogy a henger sebessége másodpercenként 5,2 fordulattal nő.
