Képletek egy pont és egy sík, valamint egy pont és egy egyenes közötti távolság meghatározására

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

A pont és a sík vagy az egyenes távolságának ismerete lehetővé teszi a térben lévő alakzatok térfogatának és felületének kiszámítását. Ennek a távolságnak a kiszámítása a geometriában a megadott geometriai objektumok megfelelő egyenletei alapján történik. A cikkben megmutatjuk, milyen képletekkel határozható meg.

Egyenes és síkegyenletek

Mielőtt képleteket adnánk meg egy pont és egy sík és egy egyenes közötti távolság meghatározására, mutassuk meg, milyen egyenletek írják le ezeket az objektumokat.

Egy pont meghatározásához az adott koordinátatengely-rendszerben egy koordinátakészletet használunk. Itt csak azt a derékszögű téglalaprendszert vesszük figyelembe, amelyben a tengelyek azonos egységvektorokkal rendelkeznek, és egymásra merőlegesek. Egy síkon egy tetszőleges pontot két koordináta ír le, a térben három.

Különböző típusú egyenleteket használnak az egyenesek meghatározására. A cikk témájának megfelelően bemutatjukcsak kettő közülük, amelyeket kétdimenziós térben használnak vonalak meghatározására.

Vektor egyenlet. A következő jelöléssel rendelkezik:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Az első tag az egyenesen fekvő ismert pont koordinátáit jelöli. A második tag az irányvektor koordinátái megszorozva egy tetszőleges λ. számmal

Általános egyenlet. A jelölése a következő:

Ax + By + C=0;

ahol A, B, C néhány együttható.

Az általános egyenletet gyakrabban használják síkvonalak meghatározására, azonban egy pont és egy sík egyenes közötti távolságának meghatározásához kényelmesebb vektorkifejezéssel dolgozni.

A háromdimenziós térben lévő síkot többféle matematikai módszerrel is fel lehet írni. Ennek ellenére a feladatokban leggyakrabban van egy általános egyenlet, amelyet a következőképpen írnak le:

Ax + By + Cz + D=0.

Ennek a jelölésnek az az előnye a többihez képest, hogy kifejezetten tartalmazza a síkra merőleges vektor koordinátáit. Ezt a vektort útmutatónak nevezzük, egybeesik a normál irányával, koordinátái pedig egyenlőek (A; B; C).

Ne feledje, hogy a fenti kifejezés egybeesik egy kétdimenziós térben lévő egyenes általános egyenletének felírásával, ezért a feladatok megoldása során ügyeljen arra, hogy ne keverje össze ezeket a geometriai objektumokat.

A pont és az egyenes közötti távolság

Megmutatjuk, hogyan kell kiszámítani az egyenes és az egyenes közötti távolságotpont a kétdimenziós térben.

Legyen valami Q(x₁; y_{1) és egy sor, amelyet a következőképpen ad meg:}

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Egy egyenes és egy pont közötti távolság alatt az erre az egyenesre merőleges szakasz hosszát értjük, a Q pontból ráeresztve.

E távolság kiszámítása előtt be kell cserélnie a Q koordinátákat ebbe az egyenletbe. Ha ezt kielégítik, akkor Q az adott sorhoz tartozik, és a megfelelő távolság nullával egyenlő. Ha a pont koordinátái nem vezetnek egyenlőséghez, akkor a geometriai objektumok távolsága nem nulla. Kiszámítható a következő képlettel:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Itt P az egyenes tetszőleges pontja, amely a PQ¯ vektor kezdete. Az u¯ vektor egy egyenes vezető szakasza, azaz koordinátái (a; b).

Ennek a képletnek a használata megköveteli a keresztszorzat kiszámításának képességét a számlálóban.

Probléma egy ponttal és egy egyenessel

Tegyük fel, hogy meg kell találnia a távolságot Q(-3; 1) és egy egyenes között, amely kielégíti a következő egyenletet:

y=5x -2.

A Q koordinátáit behelyettesítve a kifejezésbe, megbizonyosodhatunk arról, hogy Q nem fekszik az egyenesen. Alkalmazhatja a fenti bekezdésben megadott d képletet, ha ezt az egyenletet vektor formában ábrázolja. Csináljuk így:

(x; y)=(x; 5x -2)=>

(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>

(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>

(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).

Most vegyünk egy tetszőleges pontot ezen a vonalon, például (0; -2), és építsünk egy vektort, amely ettől kezdődik és Q-re végződik:

(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).

Most alkalmazza a képletet a távolság meghatározásához, a következőt kapjuk:

d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.

A pont és a sík távolsága

Ahogyan egy egyenes esetében, a sík és a térbeli pont távolsága alatt a szakasz hosszát értjük, amely egy adott ponttól merőlegesen leereszkedik a síkra és metszi azt.

A térben egy pontot három koordináta ad meg. Ha egyenlőek (x₁; y₁; z_{1), akkor a sík és ez a pont a következő képlettel számítható ki:}

d=|Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D|/√(A²+B²+C^2).

Ne feledje, hogy a képlet használatával csak a sík és az egyenes közötti távolságot találhatja meg. Annak a pontnak a koordinátáinak meghatározásához, ahol egy merőleges szakasz metszik egy síkot, fel kell írni egy egyenletet arra az egyenesre, amelyhez ez a szakasz tartozik, majd meg kell keresni ennek az egyenesnek és egy adott síknak a közös pontját.

Probléma egy síkkal és egy ponttal

Keresse meg egy pont és egy sík távolságát, ha ismert, hogy a pontnak vannak koordinátái (3; -1; 2), és a síkot a következőképpen adja meg:

-y + 3z=0.

A megfelelő képlet használatához először írjuk ki a következő együtthatóitadott repülőgép. Mivel az x változó és a szabad tag hiányzik, az A és D együttható nulla. Nálunk:

A=0; B=-1; C=3; D=0.

Könnyen kimutatható, hogy ez a sík átmegy az origón és az x tengely is hozzá tartozik.

Helyettesítsük be a pont koordinátáit és a sík együtthatóit a d távolság képletébe, így kapjuk:

d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.

Jegyezze meg, hogy ha megváltoztatja egy pont x-koordinátáját, akkor a d távolság nem változik. Ez azt jelenti, hogy a pontok halmaza (x; -1; 2) az adott síkkal párhuzamos egyenest alkot.