A vonal és a sík a két legfontosabb geometriai elem, amelyek segítségével 2D-s és 3D-s térben különböző alakzatokat hozhatunk létre. Fontolja meg, hogyan találhatja meg a párhuzamos egyenesek és a párhuzamos síkok közötti távolságot.
Matek feladategyenes
Az iskolai geometria tantárgyból ismert, hogy egy kétdimenziós derékszögű koordinátarendszerben egy egyenes a következő formában adható meg:
y=kx + b.
Ahol k és b számok (paraméterek). Az egyenes síkban való ábrázolásának írott formája a háromdimenziós térben a z tengellyel párhuzamos sík. Ennek fényében ebben a cikkben egy egyenes matematikai hozzárendeléséhez egy kényelmesebb és univerzálisabb formát fogunk használni - egy vektorost.
Tegyük fel, hogy az egyenesünk párhuzamos valamilyen u¯(a, b, c) vektorral, és átmegy a P(x0, y0, z0). Ebben az esetben vektoros formában az egyenlete a következőképpen jelenik meg:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Itt λ tetszőleges szám. Ha explicit módon ábrázoljuk a koordinátákat az írott kifejezés kiterjesztésével, akkor az egyenes írásának parametrikus formáját kapjuk.
Kényelmes vektoregyenletekkel dolgozni különböző olyan problémák megoldásakor, amelyekben meg kell határozni a párhuzamos egyenesek közötti távolságot.
Vonalok és a köztük lévő távolság
Csak akkor van értelme a vonalak távolságáról beszélni, ha azok párhuzamosak (háromdimenziós esetben a ferde vonalak között nullától eltérő távolság is van). Ha a vonalak metszik egymást, akkor nyilvánvaló, hogy nulla távolságra vannak egymástól.
A párhuzamos egyenesek távolsága az őket összekötő merőleges hossza. Ennek a mutatónak a meghatározásához elegendő kiválasztani egy tetszőleges pontot az egyik egyenesen, és ledobni egy merőlegest a másikra.
Írjuk le röviden a kívánt távolság megtalálásának eljárását. Tegyük fel, hogy ismerjük két egyenes vektoregyenletét, amelyek a következő általános formában jelennek meg:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Készítsen paralelogrammát ezeken az egyeneseken úgy, hogy az egyik oldal PQ, a másik pedig például u. Nyilvánvaló, hogy ennek az ábrának a magassága a P pontból húzva a szükséges merőleges hossza. Megtalálásához alkalmazza a következő egyszerű módszertképlet:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Mivel az egyenesek távolsága a közöttük lévő merőleges szakasz hossza, akkor az írott kifejezés szerint elég megtalálni a PQ¯ és u¯ vektorszorzatának modulusát, és az eredményt elosztani az u¯. vektor hossza
Példa egy feladatra az egyenesek közötti távolság meghatározására
Két egyenest adnak meg a következő vektoregyenletek:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Az írott kifejezésekből jól látszik, hogy két párhuzamos egyenesünk van. Valóban, ha -1-gyel megszorozzuk az első egyenes irányvektorának koordinátáit, akkor megkapjuk a második egyenes irányvektorának koordinátáit, ami jelzi a párhuzamosságukat.
Az egyenesek közötti távolságot a cikk előző bekezdésében leírt képlet alapján számítjuk ki. Nálunk:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Akkor ezt kapjuk:
|u¯|=√14 cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Ne feledje, hogy a P és Q pontok helyett az ezekhez az egyenesekhez tartozó pontok bármelyike használható a probléma megoldására. Ebben az esetben ugyanazt a távolságot kapjuk d.
Sík beállítása a geometriában
A vonalak közötti távolság kérdését fentebb részletesen tárgy altuk. Most mutassuk meg, hogyan találjuk meg a párhuzamos síkok közötti távolságot.
Mindenki azt ábrázolja, hogy mi a repülőgép. A matematikai definíció szerint a megadott geometriai elem pontok halmaza. Sőt, ha az összes lehetséges vektort ezekből a pontokból állítja össze, akkor mindegyik merőleges lesz egyetlen vektorra. Ez utóbbit általában a sík normáljának nevezik.
A háromdimenziós térben lévő sík egyenletének megadásához leggyakrabban az egyenlet általános alakját használják. Így néz ki:
Ax + By + Cz + D=0.
Ahol a nagy latin betűk bizonyos számok. Ezt a fajta síkegyenletet azért célszerű használni, mert a normálvektor koordinátái kifejezetten megadva vannak benne. Ezek A, B, C.
Könnyű belátni, hogy két sík csak akkor párhuzamos, ha a normálisuk párhuzamos.
Hogyan találjuk meg a távolságot két párhuzamos sík között?
A megadott távolság meghatározásához világosan meg kell értenie, mi forog kockán. Az egymással párhuzamos síkok közötti távolság alatt a rájuk merőleges szakasz hosszát értjük. Ennek a szakasznak a végei síkokhoz tartoznak.
Az ilyen problémák megoldásának algoritmusa egyszerű. Ehhez meg kell találnia minden olyan pont koordinátáját, amely a két sík egyikéhez tartozik. Ezután ezt a képletet kell használnia:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Mivel a távolság pozitív érték, a modulus előjele a számlálóban van. Az írott képlet univerzális, mivel lehetővé teszi, hogy kiszámítsa a távolságot a síktól minden geometriai elemig. Elég, ha ismerjük ennek az elemnek egy pontjának koordinátáit.
A teljesség kedvéért megjegyezzük, hogy ha két sík normálisai nem párhuzamosak egymással, akkor az ilyen síkok metszik egymást. Ekkor a köztük lévő távolság nulla lesz.
A síkok közötti távolság meghatározásának problémája
Ismert, hogy két síkot a következő kifejezésekkel adunk meg:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Bizonyítani kell, hogy a síkok párhuzamosak, és meg kell határozni a köztük lévő távolságot is.
A feladat első részének megválaszolásához az első egyenletet általános alakba kell hoznia. Figyeljük meg, hogy ez úgynevezett egyenlet formájában van megadva szegmensekben. A bal és a jobb oldali részét megszorozzuk 15-tel, és az összes tagot az egyenlet egyik oldalára mozgatjuk, így kapjuk:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Írjuk ki a síkok két normálvektorának koordinátáit:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Látható, hogy ha n2¯-t megszorozzuk 5-tel, akkor pontosan megkapjuk az n1¯ koordinátákat. Így a figyelembe vett síkokpárhuzamos.
A párhuzamos síkok közötti távolság kiszámításához válassza ki az első tetszőleges pontját, és használja a fenti képletet. Vegyük például azt a pontot (0, 0, 1), amelyik az első síkhoz tartozik. Ekkor a következőt kapjuk:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
A kívánt távolság 31 mm.
Sík és vonal közötti távolság
A megadott elméleti ismeretek lehetővé teszik az egyenes és a sík távolságának meghatározását is. Fentebb már említettük, hogy a síkok közötti számításokra érvényes képlet univerzális. A probléma megoldására is használható. Ehhez egyszerűen válassza ki az adott vonalhoz tartozó bármely pontot.
A figyelembe vett geometriai elemek távolságának meghatározásánál a fő probléma párhuzamosságuk bizonyítása (ha nem, akkor d=0). A párhuzamosságot könnyű bizonyítani, ha kiszámítjuk a normál és az irányvektor skaláris szorzatát az egyenesre. Ha a vizsgált elemek párhuzamosak, akkor ez a szorzat egyenlő lesz nullával.
