Tipikus geometriai probléma a vonalak közötti szög megtalálása. Egy síkon, ha az egyenesek egyenletei ismertek, akkor azok megrajzolhatók és szögmérővel megmérhető a szög. Ez a módszer azonban fáradságos, és nem mindig lehetséges. A nevezett szög kiderítéséhez nem kell egyenes vonalakat húzni, lehet számolni. Ez a cikk megválaszolja, hogyan kell ezt megtenni.
Egy egyenes és vektoregyenlete
Bármelyik egyenes ábrázolható vektorként, amely -∞-nél kezdődik és +∞-nél végződik. Ebben az esetben a vektor áthalad a tér valamely pontján. Így minden vektor, amely egy egyenes két pontja közé húzható, párhuzamos lesz egymással. Ez a definíció lehetővé teszi egy egyenes egyenletének vektoros formában történő beállítását:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Itt a koordinátákkal rendelkező vektor (a; b; c) az útmutató a ponton átmenő egyeneshez (x0; y0; z0). Az α paraméter lehetővé teszi a megadott pont átvitelét bármely másik pontra ezen a vonalon. Ez az egyenlet intuitív és könnyen kezelhető mind 3D térben, mind síkon. Egy sík esetében nem tartalmazza a z koordinátákat és a harmadik irányvektor-komponenst.
A számítások elvégzésének és az egyenesek relatív helyzetének tanulmányozásának egyszerűsége a vektoregyenlet használatának köszönhetően annak köszönhető, hogy az irányítóvektor ismert. A koordinátái a vonalak közötti szög és a köztük lévő távolság kiszámítására szolgálnak.
Általános egyenlet egy síkon lévő egyeneshez
Írjuk fel explicit módon az egyenes vektoregyenletét a kétdimenziós esetre. Így néz ki:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Most minden egyenlőséghez kiszámítjuk az α paramétert, és a kapott egyenlőségek megfelelő részeit egyenlővé tesszük:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
A zárójeleket kinyitva és az összes kifejezést az egyenlőség egyik oldalára áthelyezve a következőket kapjuk:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, ahol A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
A kapott kifejezést a kétdimenziós térben adott egyenes általános egyenletének nevezzük (háromdimenziós térben ez az egyenlet a z tengellyel párhuzamos síknak felel meg, nem pedig egyenesnek).
Ha y-t x-ig explicit módon írunk ebben a kifejezésben, akkor a következő alakot kapjuk, ismertminden tanuló:
y=kx + p, ahol k=-A/B, p=-C/B
Ez a lineáris egyenlet egyedileg határoz meg egy egyenest a síkon. Nagyon egyszerű megrajzolni a jól ismert egyenlet szerint, ehhez fel kell tenni x=0 és y=0 értékeket, ki kell jelölni a megfelelő pontokat a koordinátarendszerben, és a kapott pontokat összekötő egyenest húzni.
A vonalak közötti szög képlete
Egy síkon két egyenes metszi egymást vagy párhuzamos lehet egymással. A térben ezekhez a lehetőségekhez hozzáadódik a ferde vonalak létezésének lehetősége. Bármelyik változatot is megvalósítjuk ezeknek az egydimenziós geometriai objektumoknak a relatív helyzetében, a köztük lévő szög mindig meghatározható a következő képlettel:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Ahol v1¯ és v2¯ az 1. és 2. sor vezetővektorai. A számláló a pontszorzat modulusa, amely kizárja a tompaszögeket, és csak az éleseket veszi figyelembe.
A v1¯ és v2¯ vektorok két vagy három koordinátával adhatók meg, míg a φ szög képlete változatlan marad.
A vonalak párhuzamossága és merőlegessége
Ha a fenti képlettel számított 2 egyenes közötti szög 0o, akkor párhuzamosnak mondjuk. Annak meghatározásához, hogy a vonalak párhuzamosak-e vagy sem, nem számíthatja ki a szögetφ, elegendő megmutatni, hogy egy irányvektor egy másik egyenes hasonló vektorán keresztül is ábrázolható, azaz:
v1¯=qv2¯
Itt q egy valós szám.
Ha az egyenesek egyenleteit a következőképpen adjuk meg:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
akkor csak akkor lesznek párhuzamosak, ha x együtthatói egyenlőek, azaz:
k1=k2
Ez a tény bebizonyítható, ha figyelembe vesszük, hogy a k együttható hogyan fejeződik ki az egyenes irányítóvektorának koordinátáiban.
Ha a vonalak metszésszöge 90o, akkor ezeket merőlegesnek nevezzük. Az egyenesek merőlegességének meghatározásához szintén nem szükséges a φ szög kiszámítása, ehhez elegendő csak a v1¯ és v vektorok skaláris szorzatát kiszámítani. 2¯. Nullának kell lennie.
A térben metsző egyenesek esetén a φ szög képlete is használható. Ebben az esetben az eredményt helyesen kell értelmezni. A számított φ a nem metsző és nem párhuzamos egyenesek irányvektorai közötti szöget mutatja.
1. feladat. Merőleges vonalak
Ismert, hogy az egyenesek egyenletek alakja:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Meg kell határozni, hogy ezek a sorokmerőleges.
Amint fentebb említettük, a kérdés megválaszolásához elegendő kiszámítani az (1; 2) és (-4; 2) koordinátáknak megfelelő segédvonalak vektorainak skaláris szorzatát. Nálunk:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Mivel 0-t kaptunk, ez azt jelenti, hogy a figyelembe vett egyenesek derékszögben metszik egymást, azaz merőlegesek.
2. feladat. Vonalmetszésszög
Ismert, hogy két egyenesre vonatkozó egyenlet a következő alakú:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Meg kell találni a vonalak közötti szöget.
Mivel x együtthatói különböző értékűek, ezek az egyenesek nem párhuzamosak. A metszésükkor kialakuló szög meghatározásához az egyes egyenleteket vektoros formára fordítjuk.
Az első sorhoz ezt kapjuk:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Az egyenlet jobb oldalán kaptunk egy vektort, amelynek koordinátái x-től függenek. Képzeljük el két vektor összegeként, és az első koordinátái az x változót tartalmazzák, a másodiké pedig kizárólag számokból áll:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Mivel x tetszőleges értékeket vesz fel, helyettesíthető az α paraméterrel. Az első sor vektoregyenlete a következő lesz:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Ugyanezeket a műveleteket hajtjuk végre az egyenes második egyenletével, a következőt kapjuk:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Átírtuk az eredeti egyenleteket vektoros formában. Most már használhatja a metszésszög képletét, helyettesítve benne az egyenesek irányítóvektorainak koordinátáit:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Így a vizsgált vonalak 71,565o, azaz 1,249 radián szögben metszik egymást.
Ezt a problémát másként is meg lehetett volna oldani. Ehhez minden egyenesből két tetszőleges pontot kellett venni, belőlük direkt vektorokat kellett összeállítani, majd a φ. képletet használni.
