Az egyenes vonal a fő geometriai objektum a síkon és a háromdimenziós térben. Sok alakzatot egyenes vonalakból építenek fel, például: paralelogramma, háromszög, prizma, piramis stb. Fontolja meg a cikkben az egyenesek egyenleteinek beállításának különféle módjait.
Egyenes definíciója és a leírására szolgáló egyenlettípusok
Minden tanulónak jó ötlete van arról, hogy milyen geometriai objektumról beszél. Egy egyenes ábrázolható pontok halmazaként, és ha mindegyiket egymás után összekapcsoljuk az összes többivel, akkor párhuzamos vektorok halmazát kapjuk. Más szóval, az egyenes minden pontjához el lehet jutni valamelyik fix pontjából, átvive azt valamilyen valós számmal megszorzott egységvektorba. Az egyenes definíciója egy vektoregyenlőség meghatározására szolgál matematikai leírásához mind a síkban, mind a háromdimenziós térben.
Egy egyenes matematikailag a következő típusú egyenletekkel ábrázolható:
- általános;
- vektor;
- parametrikus;
- szegmensekben;
- szimmetrikus (kanonikus).
Ezután megvizsgáljuk az összes megnevezett típust, és megmutatjuk, hogyan dolgozhatunk velük a problémamegoldó példákon keresztül.
Egy egyenes vektoros és parametrikus leírása
Kezdjük egy ismert vektoron áthaladó egyenes definiálásával. Tegyük fel, hogy az M(x0; y0; z0) térben van egy fix pont. Ismeretes, hogy az egyenes áthalad rajta, és a v¯(a; b; c) vektorszakasz mentén irányul. Hogyan találjuk meg ezekből az adatokból az egyenes tetszőleges pontját? A kérdésre adott válasz a következő egyenlőséget adja:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Ahol λ egy tetszőleges szám.
Hasonló kifejezés írható fel a kétdimenziós esetre, ahol a vektorok és pontok koordinátáit két számból álló halmaz ábrázolja:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
A felírt egyenleteket vektoregyenleteknek nevezzük, és maga a v¯ irányított szakasz az egyenes irányvektora.
A felírt kifejezésekből egyszerűen megkapjuk a megfelelő parametrikus egyenleteket, elég azokat explicit módon átírni. Például a térbeli esetre a következő egyenletet kapjuk:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Kényelmes paraméteres egyenletekkel dolgozni, ha elemezni kell a viselkedéstminden koordináta. Vegye figyelembe, hogy bár a λ paraméter tetszőleges értéket vehet fel, mindhárom egyenlőségben azonosnak kell lennie.
Általános egyenlet
Az egyenes meghatározásának másik módja, amelyet gyakran használnak a vizsgált geometriai objektumokkal való munkavégzésre, egy általános egyenlet használata. A kétdimenziós esetnél ez így néz ki:
Ax + By + C=0
Itt a nagy latin betűk meghatározott számértékeket jelölnek. Ennek az egyenlőségnek a kényelme a problémák megoldásában abban rejlik, hogy kifejezetten tartalmaz egy vektort, amely merőleges egy egyenesre. Ha n¯-vel jelöljük, akkor ezt írhatjuk:
n¯=[A; B]
Ezen túlmenően a kifejezés kényelmesen használható az egyenes és a P(x1; y1). A d távolság képlete:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
Könnyű kimutatni, hogy ha az y változót az általános egyenletből explicit módon kifejezzük, akkor a következő jól ismert egyenes írási formát kapjuk:
y=kx + b
Ahol k-t és b-t egyedileg határozzák meg az A, B, C számok.
Az egyenlet szegmensekben és kanonikusban
A szegmensekben lévő egyenlet a legkönnyebben az általános nézetből érhető el. Megmutatjuk, hogyan kell csinálni.
Tegyük fel, hogy a következő sorunk van:
Ax + By + C=0
Vigyük a szabad tagot az egyenlőség jobb oldalára, majd osszuk el vele az egész egyenletet, így kapjuk:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, ahol q=-C / A, p=-C / B
Szegmensekben megkaptuk az úgynevezett egyenletet. Nevét arról kapta, hogy a nevező, amellyel az egyes változókat felosztjuk, az egyenes és a megfelelő tengellyel való metszéspont koordinátájának értékét mutatja. Ezt a tényt kényelmes felhasználni egy egyenes koordinátarendszerben való ábrázolására, valamint annak más geometriai objektumokhoz (egyenesekhez, pontokhoz) viszonyított relatív helyzetének elemzéséhez.
Most menjünk tovább a kanonikus egyenlet megszerzésére. Ez könnyebben megtehető, ha figyelembe vesszük a parametrikus opciót. A repülős esethez a következőket találjuk:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Minden egyenlőségben kifejezzük a λ paramétert, majd egyenlővé tesszük őket, így kapjuk:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Ez a kívánt egyenlet szimmetrikus formában. Csakúgy, mint egy vektorkifejezés, kifejezetten tartalmazza az irányvektor koordinátáit és a vonalhoz tartozó egyik pont koordinátáit.
Látható, hogy ebben a bekezdésben egyenleteket adtunk meg a kétdimenziós esetre. Hasonlóképpen felírhatja egy egyenes egyenletét a térben. Itt kell megjegyezni, hogy ha a kanonikus formaa rekordok és a szakaszokban lévő kifejezések azonos formájúak lesznek, akkor az általános térbeli egyenletet egy egyenesre egy két egyenletrendszer reprezentálja metsző síkra vonatkozóan.
Egyenes egyenlet megalkotásának problémája
A geometriából minden tanuló tudja, hogy két ponton keresztül egyetlen vonalat húzhatunk. Tegyük fel, hogy a következő pontok adottak a koordinátasíkban:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Meg kell találni annak az egyenesnek az egyenletét, amelyhez mindkét pont tartozik, szegmensekben, vektoros, kanonikus és általános formában.
Vegyük először a vektoregyenletet. Ehhez adja meg az M1M2¯: közvetlen irányvektort.
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Most létrehozhat egy vektoregyenletet a feladatmeghatározásban megadott két pont egyikének figyelembevételével, például: M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
A kanonikus egyenlet megszerzéséhez elegendő a talált egyenlőséget paraméteres formává alakítani, és kizárni a λ paramétert. Nálunk:
x=-1 - 2λ, ezért λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, akkor azt kapjuk, hogy λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
A fennmaradó két egyenlet (általános és szegmensekben) megtalálható a kanonikus egyenletből a következő transzformációval:
x + 1=-2y + 6;
általános egyenlet: x + 2y - 5=0;
szegmensekben egyenlet: x / 5 + y / 2, 5=1
A kapott egyenletek azt mutatják, hogy az (1; 2) vektornak merőlegesnek kell lennie az egyenesre. Valóban, ha megtalálja a skaláris szorzatát az irányvektorral, akkor az egyenlő lesz nullával. A szakaszegyenlet azt mondja, hogy az egyenes metszi az x tengelyt (5; 0) és az y tengelyt (2, 5; 0) pontban.
Az egyenesek metszéspontjának meghatározásának problémája
Két egyenest adnak meg a síkon a következő egyenletek:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Meg kell határozni annak a pontnak a koordinátáit, ahol ezek az egyenesek metszik egymást.
A probléma megoldásának két módja van:
- Alakítsa át a vektoregyenletet általános formává, majd oldja meg a két lineáris egyenletrendszert.
- Ne hajtson végre semmilyen transzformációt, hanem egyszerűen helyettesítse be a metszéspont koordinátáját a λ paraméterrel kifejezve az első egyenletbe. Ezután keresse meg a paraméter értékét.
Csináljuk a második módszert. Nálunk:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Helyettesítse be a kapott számot a vektoregyenletbe:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Így az egyetlen pont, amely mindkét egyeneshez tartozik, az a (-2; 5) koordinátákkal rendelkező pont. A vonalak metszik egymást benne.
