Síkok közötti szögek. Hogyan határozzuk meg a síkok közötti szöget

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

A térbeli geometriai feladatok megoldása során gyakran előfordul, hogy ki kell számítani a különböző térbeli objektumok közötti szögeket. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a síkok közötti szögek, valamint a síkok és az egyenes közötti szögek meghatározását.

Vonal a térben

Ismert, hogy a síkban minden egyenes definiálható a következő egyenlőséggel:

y=ax + b

Itt a és b néhány szám. Ha egy térbeli egyenest ugyanazzal a kifejezéssel ábrázolunk, akkor a z tengellyel párhuzamos síkot kapunk. A térbeli vonal matematikai meghatározásához más megoldási módszert alkalmazunk, mint a kétdimenziós esetben. Ez az "irányvektor" fogalmának használatából áll.

Egy egyenes irányítóvektora a térbeli tájolását mutatja. Ez a paraméter a sorhoz tartozik. Mivel a térben párhuzamos vektorok végtelen halmaza van, ezért a vizsgált geometriai objektum egyedi meghatározásához ismerni kell a hozzá tartozó pont koordinátáit is.

Tegyük fel, hogy vanP(x₀; y₀; z_{0) és v¯(a; b) irányvektor c), akkor az egyenes egyenlete a következőképpen adható meg:}

(x; y; z)=P + αv¯ vagy

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Ezt a kifejezést egy egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezik. Az α együttható egy olyan paraméter, amely abszolút bármilyen valós értéket vehet fel. Egy egyenes koordinátái explicit módon ábrázolhatók az egyenlőség kiterjesztésével:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

A sík egyenlete

Többféleképpen írhatunk egyenletet egy síkra a térben. Itt az egyiket fogjuk figyelembe venni, amelyet leggyakrabban két sík vagy az egyik és az egyenes közötti szögek kiszámításakor használnak.

Ha ismert valamilyen n¯(A; B; C) vektor, amely merőleges a kívánt síkra, és a P(x₀; y ₀; z_{0), amely hozzá tartozik, akkor az utóbbi általános egyenlete:}

Ax + By + Cz + D=0 ahol D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Elhagytuk ennek a kifejezésnek a származtatását, ami meglehetősen egyszerű. Itt csak annyit jegyezünk meg, hogy a sík egyenletében szereplő változók együtthatóinak ismeretében könnyen megtalálhatjuk az összes rá merőleges vektort. Ez utóbbiakat normálisnak nevezzük, és a dőlésszög és a sík közötti szögek kiszámításához használják.tetszőleges analógok.

A síkok elhelyezkedése és a köztük lévő szög képlete

Tegyük fel, hogy két sík van. Milyen lehetőségek vannak a térbeli relatív helyzetükre. Mivel a síknak két végtelen dimenziója és egy nullája van, csak két lehetőség lehetséges a kölcsönös orientációjukra:

párhuzamosak lesznek egymással;
átfedhetik egymást.

A síkok közötti szög az irányvektoraik közötti index, azaz az n₁¯ és n_2¯.

Nyilvánvalóan, ha párhuzamosak a síkkal, akkor a metszésszög nulla közöttük. Ha metszik egymást, akkor az nem nulla, de mindig éles. A metszés speciális esete a 90o szög, amikor a síkok kölcsönösen merőlegesek egymásra.

Az n₁¯ és n_{2¯ közötti α szög könnyen meghatározható ezen vektorok skaláris szorzatából. Vagyis a képlet a következőképpen zajlik:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Tegyük fel, hogy ezeknek a vektoroknak a koordinátái: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Ezután a skaláris szorzat és a vektorok koordinátáikon keresztüli moduljainak kiszámítására szolgáló képletekkel a fenti kifejezés átírható a következőképpen:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

A modulus a számlálóban azért jelent meg, mert a tompaszögek értékeit kizártuk.

Példák a síkok metszésszögének meghatározására szolgáló feladatok megoldására

A síkok közötti szög meghatározásának ismeretében megoldjuk a következő feladatot. Két sík adott, amelyek egyenletei:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Mekkora a szög a síkok között?

A feladat kérdésének megválaszolásához emlékezzünk arra, hogy a sík általános egyenletében szereplő változók együtthatói a vezetővektor koordinátái. A jelzett síkokhoz a következő normál koordinátáink vannak:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Most megtaláljuk ezen vektorok és moduljaik skaláris szorzatát, a következőket kapjuk:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Most a talált számokat behelyettesítheti az előző bekezdésben megadott képletbe. Ezt kapjuk:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

A kapott érték a feltételben megadott síkok metszéspontjának hegyesszögének felel megfeladatok.

Most vegyünk egy másik példát. Adott két sík:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Metszik egymást? Írjuk ki irányvektoraik koordinátáit, számítsuk ki skaláris szorzatukat és moduljaikat:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Akkor a metszésszög:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Ez a szög azt jelzi, hogy a síkok nem metszik egymást, hanem párhuzamosak. Az a tény, hogy nem egyeznek egymással, könnyen ellenőrizhető. Vegyünk erre egy tetszőleges pontot, amely az elsőhöz tartozik, például P(0; 3; 2). Helyettesítsük be a koordinátáit a második egyenletbe, így kapjuk:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Azaz a P pont csak az első síkhoz tartozik.

Tehát két sík párhuzamos, ha a normálisuk.

Sík és egyenes

Egy sík és egy egyenes relatív helyzetének figyelembevétele esetén sokkal több lehetőség van, mint két sík esetén. Ez a tény összefügg azzal a ténnyel, hogy az egyenes egydimenziós objektum. A vonal és a sík lehet:

kölcsönösen párhuzamos, ebben az esetben a sík nem metszi az egyenest;
ez utóbbi tartozhat a síkhoz, miközben párhuzamos is lesz vele;
mindkét objektum képesvalamilyen szögben metszik egymást.

Vegyük először az utolsó esetet, mivel ehhez be kell vezetni a metszésszög fogalmát.

Egyenes és sík, a köztük lévő szög

Ha egy egyenes metszi a síkot, akkor azt ferde vonalnak nevezzük. A metszéspontot a lejtő alapjának nevezzük. A geometriai objektumok közötti szög meghatározásához le kell engedni a síkra merőleges egyenest bármely pontból. Ekkor a merőleges metszéspontja a síkkal és a ferde metszéspont vele egy egyenest alkot. Ez utóbbit az eredeti egyenes vetületének nevezzük a vizsgált síkra. Az egyenes és a vetülete közötti hegyesszög a szükséges.

A sík és a ferde közötti szög kissé zavaros meghatározása tisztázza az alábbi ábrát.

Itt az ABO szög az AB egyenes és az a sík közötti szög.

A képlet leírásához vegyen egy példát. Legyen egy egyenes és egy sík, amelyeket a következő egyenletek írnak le:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Könnyű kiszámítani a kívánt szöget ezekhez az objektumokhoz, ha megtalálja a skaláris szorzatot az egyenes és a sík irányvektorai között. Az így kapott hegyesszöget ki kell vonni a 90o-ból, majd az egyenes és a sík között kapjuk meg.

A fenti ábra a leírt keresési algoritmust mutatjafigyelembe vett szög. Itt β a normál és az egyenes közötti szög, α pedig az egyenes és a síkra való vetülete. Látható, hogy összegük 90o.

Fentebb egy képletet mutattunk be, amely választ ad arra a kérdésre, hogyan találhatunk szöget a síkok között. Most megadjuk a megfelelő kifejezést egy egyenes és egy sík esetére:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

A képlet modulusa csak hegyesszögek kiszámítását teszi lehetővé. Az arkoszinusz helyett a trigonometrikus függvények közötti megfelelő redukciós képlet (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α) használata miatt jelent meg az arkoszinusz függvény.

Probléma: Egy sík metszi az egyenest

Most mutassuk meg, hogyan kell dolgozni a fenti képlettel. Oldjuk meg a feladatot: ki kell számítani az y tengely és az egyenlet által megadott sík szögét:

y - z + 12=0

Ez a sík látható a képen.

Látható, hogy a (0; -12; 0) és (0; 0; 12) pontokban metszi az y és z tengelyt, és párhuzamos az x tengellyel.

Az y egyenes irányvektorának koordinátái vannak (0; 1; 0). Egy adott síkra merőleges vektort koordinátákkal (0; 1; -1) jellemezünk. Alkalmazzuk az egyenes és a sík metszésszögének képletét, így kapjuk:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Probléma: a síkkal párhuzamos egyenes

Most döntsük elhasonló az előző problémához, amelynek kérdése másképp van feltéve. A sík és az egyenes egyenlete ismert:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Ki kell deríteni, hogy ezek a geometriai objektumok párhuzamosak-e egymással.

Két vektorunk van: az egyenes iránya (0; 2; 2), a sík iránya pedig (1; 1; -1). Keresse meg a pontterméküket:

01 + 12 - 12=0

A kapott nulla azt jelzi, hogy a vektorok közötti szög 90o, ami azt bizonyítja, hogy az egyenes és a sík párhuzamos.

Most nézzük meg, hogy ez az egyenes csak párhuzamos-e, vagy a síkban is fekszik. Ehhez válasszon ki egy tetszőleges pontot az egyenesen, és ellenőrizze, hogy az a síkhoz tartozik-e. Például vegyük λ=0-t, akkor a P(1; 0; 0) pont az egyeneshez tartozik. Helyettesítsd be a P sík egyenletébe:

1 - 3=-2 ≠ 0

A P pont nem tartozik a síkhoz, ami azt jelenti, hogy a teljes egyenes sem fekszik benne.

Hol fontos tudni a figyelembe vett geometriai objektumok közötti szögeket?

A fenti képletek és a problémamegoldó példák nem csak elméleti érdeklődésre tartanak számot. Gyakran használják valódi háromdimenziós alakzatok, például prizmák vagy piramisok fontos fizikai mennyiségeinek meghatározására. Fontos, hogy az ábrák térfogatának és felületük területének számításakor meg lehessen határozni a síkok közötti szöget. Sőt, ha egyenes prizma esetén lehetséges, hogy ezeket a képleteket ne használjuk a meghatározásáhozmeghatározott értékeket, akkor bármilyen típusú piramis esetén ezek használata elkerülhetetlen.

Az alábbiakban vegyünk egy példát a fenti elmélet használatával egy négyzet alakú gúla szögeinek meghatározására.

Piramis és sarkai

Az alábbi ábrán egy piramis látható, melynek alján egy a oldalú négyzet található. Az ábra magassága h. Két sarkot kell találni:

oldalfelület és alap között;
oldalborda és talp között.

A feladat megoldásához először be kell lépnie a koordinátarendszerbe, és meg kell határoznia a megfelelő csúcsok paramétereit. Az ábrán látható, hogy a koordináták origója egybeesik a négyzetalap közepén lévő ponttal. Ebben az esetben az alapsíkot a következő egyenlet írja le:

z=0

Azaz bármely x és y esetén a harmadik koordináta értéke mindig nulla. Az ABC oldalsík a z tengelyt a B(0; 0; h) pontban, az y tengelyt pedig a (0; a/2; 0) pontban metszi. Nem keresztezi az x tengelyt. Ez azt jelenti, hogy az ABC sík egyenlete a következőképpen írható fel:

y / (a/2) + z / h=1 vagy

2hy + az - ah=0

AB vektor¯ egy oldalél. Kezdő- és végkoordinátái: A(a/2; a/2; 0) és B(0; 0; h). Ezután magának a vektornak a koordinátái:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Megtaláltunk minden szükséges egyenletet és vektort. Most már csak a figyelembe vett képleteket kell használni.

Először is kiszámítjuk a piramisban az alap síkjai közötti szögetés old alt. A megfelelő normálvektorok: n₁¯(0; 0; 1) és n_{2¯(0; 2h; a). Ekkor a szög a következő lesz:}