Minden test, amely körülvesz minket, állandó mozgásban van. A testek mozgását az űrben minden skálaszinten megfigyeljük, kezdve az elemi részecskék mozgásától az anyag atomjaiban és a galaxisok felgyorsult mozgásával az Univerzumban. Mindenesetre a mozgás folyamata gyorsulással történik. Ebben a cikkben részletesen megvizsgáljuk a tangenciális gyorsulás fogalmát, és megadunk egy képletet, amellyel kiszámítható.
Kinematikai mennyiségek
Mielőtt tangenciális gyorsulásról beszélnénk, nézzük meg, milyen mennyiségekkel szokás jellemezni a testek tetszőleges mechanikai mozgását a térben.
Először is, ez az L útvonal. Megmutatja a távolságot méterben, centiméterben, kilométerben stb., a test egy bizonyos ideig megtett.
A kinematika második fontos jellemzője a test sebessége. Az útvon altól eltérően ez vektormennyiség, és a pálya mentén irányultestmozgások. A sebesség határozza meg a térbeli koordináták időbeni változásának sebességét. A kiszámításának képlete:
v¯=dL/dt
A sebesség az útvonal időbeli deriváltja.
Végül a testek mozgásának harmadik fontos jellemzője a gyorsulás. A fizika definíciója szerint a gyorsulás olyan mennyiség, amely meghatározza a sebesség időbeli változását. A képlet a következőképpen írható fel:
a¯=dv¯/dt
A gyorsulás a sebességhez hasonlóan vektormennyiség is, de vele ellentétben a sebességváltozás irányába irányul. A gyorsulás iránya is egybeesik a testre ható erő vektorával.
Pálya és gyorsulás
A fizika számos problémáját figyelembe veszik az egyenes vonalú mozgás keretein belül. Ebben az esetben általában nem a pont érintőleges gyorsulásáról beszélnek, hanem lineáris gyorsulással dolgoznak. Ha azonban a test mozgása nem lineáris, akkor a teljes gyorsulása két komponensre bontható:
- érintő;
- normál.
Lineáris mozgás esetén a normál komponens nulla, ezért nem beszélünk a gyorsulás vektortágulásáról.
Így a mozgás pályája nagymértékben meghatározza a teljes gyorsulás természetét és összetevőit. A mozgás pályája egy képzeletbeli vonal a térben, amely mentén a test mozog. Bármiegy görbe vonalú pálya a fent említett, nullától eltérő gyorsulási összetevők megjelenéséhez vezet.
Tangenciális gyorsulás meghatározása
Az érintőleges vagy más néven érintőleges gyorsulás a teljes gyorsulás összetevője, amely érintőlegesen irányul a mozgás pályájára. Mivel a sebesség is a pálya mentén irányul, a tangenciális gyorsulás vektora egybeesik a sebességvektorral.
A gyorsulás fogalmát mint a sebességváltozás mértékét fentebb megadtuk. Mivel a sebesség egy vektor, változtatható modulo vagy irányban. Az érintőleges gyorsulás csak a sebességmodulus változását határozza meg.
Vegyük figyelembe, hogy egyenes vonalú mozgás esetén a sebességvektor nem változtatja meg az irányát, ezért a fenti definíció szerint a tangenciális gyorsulás és a lineáris gyorsulás azonos érték.
A tangenciális gyorsulás egyenletének beszerzése
Tegyük fel, hogy a test valamilyen görbült pálya mentén mozog. Ekkor a sebessége v¯ a kiválasztott pontban a következőképpen ábrázolható:
v¯=vut¯
Itt v a v¯ vektor modulusa, ut¯ az egységnyi sebességvektor, amely érintőlegesen irányul a pályára.
A gyorsulás matematikai definícióját használva a következőket kapjuk:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
A derivált keresésekor itt két függvény szorzatának tulajdonságát használtuk. Látjuk, hogy a teljes gyorsulás a¯ a vizsgált pontban két tag összegének felel meg. Ezek a pont érintője és normál gyorsulása.
Mondjunk néhány szót a normál gyorsulásról. Felelős a sebességvektor megváltoztatásáért, vagyis a test mozgási irányának megváltoztatásáért a görbe mentén. Ha kifejezetten kiszámítjuk a második tag értékét, akkor a normál gyorsulás képletét kapjuk:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
A normál gyorsulás a görbe adott pontjára visszaállított normál mentén irányul. Körkörös mozgás esetén a normál gyorsulás centripetális.
Tangenciális gyorsulási egyenlet at¯ a következő:
at¯=dv/dtut¯
Ez a kifejezés azt mondja, hogy a tangenciális gyorsulás nem az irányváltozásnak, hanem a sebességi modulus v¯ egy idő alatti változásának felel meg. Mivel a tangenciális gyorsulás tangenciálisan irányul a pálya figyelembe vett pontjára, ezért mindig merőleges a normál komponensre.
Tangenciális gyorsulás és teljes gyorsulási modulus
Az összes fenti információ bemutatásra került, amely lehetővé teszi a teljes gyorsulás kiszámítását az érintőn és a normálon keresztül. Valójában, mivel mindkét komponens egymásra merőleges, vektoraik egy derékszögű háromszög szárait alkotják,amelynek hipotenusza a teljes gyorsulási vektor. Ez a tény lehetővé teszi, hogy a teljes gyorsulási modul képletét a következő formában írjuk fel:
a=√(a2 + at2)
A teljes gyorsulás és a tangenciális gyorsulás közötti θ szög a következőképpen határozható meg:
θ=arccos(at/a)
Minél nagyobb a tangenciális gyorsulás, annál közelebb van a tangenciális és a teljes gyorsulás iránya.
Az érintőleges és a szöggyorsulás kapcsolata
Egy tipikus görbe vonalú pálya, amelyen a testek a technológiában és a természetben mozognak, egy kör. Valójában a fogaskerekek, lapátok és bolygók mozgása saját tengelyük vagy világítótestjeik körül pontosan körben történik. Az ennek a pályának megfelelő mozgást forgásnak nevezzük.
A forgás kinematikáját ugyanazok az értékek jellemzik, mint az egyenes mentén történő mozgás kinematikáját, azonban szögjellegűek. Tehát a forgás leírására a θ központi forgásszöget, az ω szögsebességet és az α gyorsulást használjuk. A következő képletek érvényesek ezekre a mennyiségekre:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Tegyük fel, hogy a test t idő alatt egy fordulatot tett a forgástengely körül, akkor a szögsebességre ezt írhatjuk:
ω=2pi/t
A lineáris sebesség ebben az esetben egyenlő lesz:
v=2pir/t
Ahol r a pálya sugara. Az utolsó két kifejezés lehetővé teszi az írásta képlet két sebesség összekapcsolására:
v=ωr
Most kiszámoljuk az egyenlet bal és jobb oldalának időbeli deriváltját, így kapjuk:
dv/dt=rdω/dt
Az egyenlőség jobb oldala a szöggyorsulás és a kör sugarának szorzata. Az egyenlet bal oldala a sebességmodulus változása, azaz az érintőleges gyorsulás.
Így a tangenciális gyorsulást és a hasonló szögértéket egyenlőség köti össze:
at=αr
Ha feltételezzük, hogy a korong forog, akkor egy pont tangenciális gyorsulása állandó α érték mellett lineárisan növekszik az ettől a ponttól az r forgástengelyig terjedő távolság növekedésével.
Ezután két problémát oldunk meg a fenti képletekkel.
Tangenciális gyorsulás meghatározása ismert sebességfüggvényből
Ismert, hogy egy bizonyos görbe pályán mozgó test sebességét a következő időfüggvény írja le:
v=2t2+ 3t + 5
Meg kell határozni az érintőleges gyorsulás képletét, és meg kell találni az értékét a t=5 másodperc időpontban.
Először is írjuk fel a tangenciális gyorsulási modul képletét:
at=dv/dt
Azaz az at(t) függvény kiszámításához meg kell határoznia a sebesség deriváltját az idő függvényében. Nálunk:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
Ha a t=5 másodpercet behelyettesítjük a kapott kifejezésbe, akkor a válaszhoz jutunk: at=23 m/s2.
Megjegyezzük, hogy ebben a feladatban a sebesség és idő grafikonja egy parabola, míg a tangenciális gyorsulás grafikonja egy egyenes.
Tangenciális gyorsítási feladat
Ismerhető, hogy az anyagi pont az idő nulla pillanatától egyenletesen gyorsított forgásba kezdett. 10 másodperccel a forgás megkezdése után a centripetális gyorsulása 20 m/s2 lett. Meg kell határozni egy pont tangenciális gyorsulását 10 másodperc után, ha ismert, hogy a forgási sugara 1 méter.
Először is írja le a centripetális vagy normál gyorsulás képletét ac:
ac=v2/r
A lineáris és a szögsebesség közötti összefüggés képletével a következőt kapjuk:
ac=ω2r
Egyenletesen gyorsított mozgásnál a sebesség és a szöggyorsulás a következő képlettel függ össze:
ω=αt
Ha behelyettesítjük ω-t az egyenletbe ac, a következőt kapjuk:
ac=α2t2r
A tangenciális gyorsuláson keresztüli lineáris gyorsulást a következőképpen fejezzük ki:
α=at/r
Az utolsó egyenlőséget behelyettesítve az utolsó előtti egyenlőséggel a következőt kapjuk:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
Az utolsó képlet, figyelembe véve a probléma feltételének adatait, a következő válaszhoz vezet: at=0, 447m/s2.
