A sztereometria egyik gyakori problémája az egyenesek és síkok keresztezése, valamint a köztük lévő szögek kiszámítása. Ebben a cikkben nézzük meg részletesebben az úgynevezett koordináta módszert, valamint az egyenes és a sík közötti szögeket.
Egyenes és sík a geometriában
Mielőtt a koordinátamódszert, valamint az egyenes és a sík közötti szöget figyelembe venné, érdemes megismerkednie a megnevezett geometriai objektumokkal.
A vonal olyan pontok gyűjteménye a térben vagy egy síkon, amelyek mindegyikét úgy kaphatjuk meg, hogy az előzőt lineárisan áthelyezzük egy bizonyos vektorba. A következőkben ezt a vektort u¯ szimbólummal jelöljük. Ha ezt a vektort megszorozzuk bármely számmal, amely nem egyenlő nullával, akkor u¯-val párhuzamos vektort kapunk. A vonal egy lineáris végtelen objektum.
A sík is olyan pontok gyűjteménye, amelyek úgy helyezkednek el, hogy ha tetszőleges vektorokat alkotunk belőlük, akkor mindegyik merőleges lesz valamelyik n¯ vektorra. Ez utóbbit normálisnak vagy egyszerűen normálisnak nevezik. A sík, az egyenessel ellentétben, kétdimenziós végtelen objektum.
Koordináta módszer a geometriai feladatok megoldásához
Maga a módszer neve alapján megállapíthatjuk, hogy egy olyan feladatmegoldási módszerről beszélünk, amely analitikus szekvenciális számítások elvégzésén alapul. Más szóval, a koordináta-módszer lehetővé teszi geometriai problémák megoldását univerzális algebrai eszközök segítségével, amelyek közül a fő egyenletek.
Megjegyzendő, hogy a vizsgált módszer a modern geometria és algebra hajnalán jelent meg. Fejlődéséhez nagyban hozzájárult Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton és Leibniz a 17-18. században.
A módszer lényege, hogy ismert pontok koordinátái alapján kiszámítjuk a geometriai elemek távolságait, szögeit, területeit és térfogatait. Figyeljük meg, hogy a kapott végső egyenletek formája a koordinátarendszertől függ. Leggyakrabban a derékszögű derékszögű rendszert használják a feladatok megoldására, mivel ezzel a legkényelmesebb dolgozni.
Vonalegyenlet
A koordinátamódszer, valamint az egyenes és a sík közötti szögek figyelembevételével kezdjük az egyenes egyenletének beállításával. Számos módja van a vonalak algebrai formában történő ábrázolásának. Itt csak a vektoregyenletet vesszük figyelembe, mivel az könnyen beszerezhető belőle bármilyen más formában, és könnyű vele dolgozni.
Tegyük fel, hogy két pont van: P és Q. Ismeretes, hogy rajtuk keresztül lehet húzni egy vonalat, éslesz az egyetlen. Az elem megfelelő matematikai ábrázolása így néz ki:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Ahol PQ¯ egy vektor, amelynek koordinátáit a következőképpen kapjuk meg:
PQ¯=Q - P.
A λ szimbólum egy olyan paramétert jelöl, amely bármilyen számot felvehet.
Az írott kifejezésben megváltoztathatja a vektor irányát, és a P pont helyett a Q koordinátákat is helyettesítheti. Mindezek a transzformációk nem vezetnek az egyenes geometriai helyének változásához.
Ne feledje, hogy a feladatok megoldása során néha szükséges az írott vektoregyenlet kifejezett (paraméteres) formában történő ábrázolása.
Sík beállítása a térben
Az egyeneshez hasonlóan a síkra vonatkozó matematikai egyenleteknek is többféle formája létezik. Közülük megjegyezzük a vektort, az egyenletet szegmensekben és az általános alakot. Ebben a cikkben különös figyelmet fordítunk az utolsó űrlapra.
Egy tetszőleges síkra vonatkozó általános egyenlet a következőképpen írható fel:
Ax + By + Cz + D=0.
A latin nagybetűk bizonyos számok, amelyek egy síkot határoznak meg.
Ennek a jelölésnek az a kényelmessége, hogy kifejezetten tartalmaz egy, a síkra normális vektort. Ez egyenlő:
n¯=(A, B, C).
Ennek a vektornak a ismeretében a sík egyenletének rövid áttekintésével elképzelhető, hogy ez utóbbi hol helyezkedik el a koordinátarendszerben.
Kölcsönös megállapodás bevonal és sík tere
A cikk következő bekezdésében áttérünk a koordinátamódszer, valamint az egyenes és a sík közötti szög figyelembevételére. Itt választ adunk arra a kérdésre, hogy a vizsgált geometriai elemek hogyan helyezkedhetnek el a térben. Három módja van:
- Az egyenes metszi a síkot. A koordináta módszerrel kiszámíthatja, hogy az egyenes és a sík melyik pontban metszi egymást.
- Egy egyenes síkja párhuzamos. Ebben az esetben a geometriai elemek egyenletrendszerének nincs megoldása. A párhuzamosság bizonyítására általában az egyenes irányítóvektorának és a sík normálisának skaláris szorzatának tulajdonságát használják.
- A sík egy vonalat tartalmaz. Az egyenletrendszert ebben az esetben megoldva arra a következtetésre jutunk, hogy a λ paraméter bármely értékére megkapjuk a helyes egyenlőséget.
A második és harmadik esetben a megadott geometriai objektumok közötti szög nullával egyenlő. Az első esetben 0 és 90 között vano.
Az egyenesek és síkok közötti szögek kiszámítása
Most menjünk közvetlenül a cikk témájához. Egy egyenes és egy sík metszéspontja valamilyen szögben történik. Ezt a szöget maga az egyenes és annak a síkra való vetülete alkotja. Vetítést kaphatunk, ha egy egyenes bármely pontjából merőlegest leeresztünk a síkra, majd a kapott sík és a merőleges metszéspontján, valamint a sík és az eredeti egyenes metszéspontján keresztül rajzolunk egy egyenes vonal, amely egy vetület lesz.
A vonalak és síkok közötti szögek kiszámítása nem nehéz feladat. Megoldásához elegendő ismerni a megfelelő geometriai objektumok egyenleteit. Tegyük fel, hogy ezek az egyenletek így néznek ki:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
A kívánt szög könnyen megtalálható az u¯ és n¯ skalárvektorok szorzatának tulajdonságával. A végső képlet így néz ki:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Ez a képlet azt mondja, hogy az egyenes és a sík közötti szög szinusza egyenlő a megjelölt vektorok skaláris szorzatának modulusának a hosszúságuk szorzatával. Hogy megértsük, miért jelent meg a szinusz a koszinusz helyett, nézzük meg az alábbi ábrát.
Látható, hogy ha a koszinuszfüggvényt alkalmazzuk, akkor megkapjuk az u¯ és n¯ vektorok közötti szöget. A kívánt θ szöget (α az ábrán) a következőképpen kapjuk meg:
θ=90o- β.
A szinusz a redukciós képletek alkalmazása eredményeként jelenik meg.
Példaprobléma
Térjünk át a megszerzett ismeretek gyakorlati felhasználására. Oldjunk meg egy tipikus feladatot az egyenes és a sík szögére. Négy pont alábbi koordinátái adottak:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Ismerhető, hogy a pontokon keresztül a PQMegy sík halad át rajta, és egy egyenes halad át MN-en. A koordináta módszerrel ki kell számítani a sík és az egyenes közötti szöget.
Először is írjuk fel az egyenes és a sík egyenleteit. Egy egyenes vonalhoz könnyen összeállítható:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
A sík egyenletének elkészítéséhez először meg kell találni a normált. Koordinátái megegyeznek az adott síkban elhelyezkedő két vektor vektorszorzatával. Nálunk:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Most helyettesítsük be a benne lévő bármely pont koordinátáit az általános sík egyenletébe, hogy megkapjuk a D szabad tag értékét:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
A sík egyenlet:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Még csak az egyenes és a sík metszéspontjában képzett szög képletét kell alkalmazni a probléma megválaszolásához. Nálunk:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Ezt a feladatot példaként használva megmutattuk, hogyan kell a koordináta módszert használni geometriai feladatok megoldására.
