A felhívott cikkben matematikai modellekre kínálunk példákat. Emellett figyelmet fordítunk a modellalkotás szakaszaira, és elemezünk néhány matematikai modellezéssel kapcsolatos feladatot.
Még egy kérdésünk a gazdaság matematikai modelljeivel, példáival kapcsolatos, melyek definícióját egy kicsit később tárgyaljuk. Javasoljuk, hogy beszélgetésünket magával a „modell” fogalmával kezdjük, röviden mérlegeljük besorolásukat, és folytassuk fő kérdéseinkkel.
A "modell" fogalma
Gyakran halljuk a „modell” szót. Mi az? Ennek a kifejezésnek sok definíciója van, ezek közül csak három:
- egy meghatározott objektum, amelyet információ fogadására és tárolására hoztak létre, tükrözve ennek az objektumnak bizonyos tulajdonságait vagy jellemzőit stb. (ez a konkrét objektum különböző formákban fejezhető ki: mentális, jelekkel történő leírás, és így tovább);
- modell egyben bármilyen konkrét helyzet, élet illvezetői;
- a modell bármely objektum kicsinyített másolataként szolgálhat (a részletesebb tanulmányozás és elemzés céljából jönnek létre, mivel a modell tükrözi a szerkezetet és a kapcsolatokat).
A
A korábban elmondottak alapján egy kis következtetést vonhatunk le: a modell lehetővé teszi egy összetett rendszer vagy objektum részletes tanulmányozását.
Minden modell számos kritérium alapján besorolható:
- felhasználási terület szerint (oktatási, kísérleti, tudományos és műszaki, játék, szimuláció);
- dinamikával (statikus és dinamikus);
- ismereti ágak szerint (fizikai, kémiai, földrajzi, történelmi, szociológiai, gazdasági, matematikai);
- bemutató útján (anyag és információ).
Az információs modelleket jelekre és verbálisra osztják. És ikonikus – számítógépen és nem számítógépen. Most menjünk tovább egy matematikai modell példáinak részletes áttekintésére.
Matematikai modell
Ahogy sejtheti, a matematikai modell egy objektum vagy jelenség bizonyos jellemzőit tükrözi speciális matematikai szimbólumok segítségével. A matematikára azért van szükség, hogy a környező világ mintáit a saját nyelvén modellezzük.
A matematikai modellezés módszere meglehetősen régen, több ezer évvel ezelőtt keletkezett, e tudomány megjelenésével együtt. Ennek a modellezési módszernek a kidolgozásához azonban a lendületet a számítógépek (elektronikus számítógépek) megjelenése adta.
Most menjünk tovább az osztályozásra. Bizonyos jelek szerint is végrehajtható. Őkaz alábbi táblázatban találhatók.
| Tudományok szerinti osztályozás | Matematikai modellek alkalmazása a fizikában, szociológiában, kémiában és így tovább |
| A modellezési folyamatban használt matematikai apparátus szerint | Differenciálegyenleteken, diszkrét algebrai transzformációkon és hasonlókon alapuló modellek |
| Célok modellezésével | Ennek az elvnek megfelelően léteznek leíró, optimalizáló, több szempontú, játék- és szimulációs modellek |
Javasoljuk, hogy álljunk meg és nézzük meg közelebbről az utolsó osztályozást, mivel az tükrözi a modellezés általános mintáit és a készülő modellek céljait.
Leíró modellek
Ebben a fejezetben azt javasoljuk, hogy foglalkozzunk részletesebben a leíró matematikai modellekkel. Annak érdekében, hogy minden nagyon világos legyen, adunk egy példát.
Először is, ez a nézet leíró jellegű. Ez abból adódik, hogy csak számításokat, előrejelzéseket készítünk, de az esemény kimenetelét semmilyen módon nem tudjuk befolyásolni.
A leíró matematikai modell szembetűnő példája a Naprendszerünk hatalmas területeit megszálló üstökös repülési útvonalának, sebességének és a Földtől való távolságának kiszámítása. Ez a modell leíró jellegű, mivel az összes kapott eredmény csak figyelmeztethet bennünket valamilyen veszélyre. Befolyásoljuk az esemény kimenetelét, de sajnos nemTud. A kapott számítások alapján azonban bármilyen intézkedés megtehető az élet megmentésére a Földön.
Optimalizálási modellek
Most beszélünk egy kicsit a gazdasági és matematikai modellekről, amelyekre különböző helyzetek lehetnek példák. Ebben az esetben olyan modellekről beszélünk, amelyek bizonyos körülmények között segítenek megtalálni a helyes választ. Bizonyos paraméterekkel kell rendelkezniük. A világosság érdekében vegyünk egy példát a mezőgazdasági részből.
Van egy magtárunk, de a gabona nagyon hamar megromlik. Ebben az esetben meg kell választanunk a megfelelő hőmérsékleti rendszert és optimalizálnunk kell a tárolási folyamatot.
Így definiálhatjuk az "optimalizálási modell" fogalmát. Matematikai értelemben ez egy (lineáris és nem lineáris) egyenletrendszer, amelynek megoldása segít megtalálni az optimális megoldást egy adott gazdasági helyzetben. Egy matematikai modellre (optimalizálásra) gondoltunk egy példát, de hozzáteszem: ez a típus az extrém problémák osztályába tartozik, segít leírni a gazdasági rendszer működését.
Megjegyezzen még egy árnyalatot: a modellek különböző jellegűek lehetnek (lásd az alábbi táblázatot).
| determinisztikus | Ebben az esetben az eredmény a bemeneti adatoktól függ |
| sztochasztikus | Véletlenszerű folyamatok leírása. Ebben az esetben az eredmény meghatározatlan marad |
Több kritériumú modellek
Most megkérjük Önt, hogy beszéljen egy kicsittöbbcélú optimalizálás matematikai modellje. Előtte példát adtunk egy matematikai modellre a folyamat optimalizálására bármely kritérium szerint, de mi van, ha sok van belőlük?
A többszempontú feladat szembetűnő példája a megfelelő, egészséges és egyben gazdaságos táplálkozás megszervezése nagy csoportok számára. Az ilyen feladatok gyakran megtalálhatók a hadseregben, iskolai étkezdékben, nyári táborokban, kórházakban stb.
Milyen kritériumokat adunk meg ebben a feladatban?
- Az ételnek egészségesnek kell lennie.
- Minimálisra kell csökkenteni az élelmiszerre fordított kiadásokat.
Amint látja, ezek a célok egyáltalán nem esnek egybe. Ez azt jelenti, hogy egy probléma megoldása során az optimális megoldást kell keresni, az egyensúlyt két kritérium között.
Játékmodellek
A játékmodellekről beszélve meg kell érteni a „játékelmélet” fogalmát. Egyszerűen fogalmazva, ezek a modellek a valós konfliktusok matematikai modelljeit tükrözik. Legyen tudatában annak, hogy a valódi konfliktusokkal ellentétben a játék matematikai modelljének megvannak a maga sajátos szabályai.
Most lesz egy minimális információ a játékelméletből, ami segít megérteni, mi is az a játékmodell. Tehát a modellben szükségszerűen vannak felek (két vagy több), amelyeket általában játékosoknak neveznek.
Minden modellnek van néhány jellemzője.
| Tárgyak | Játékosok száma |
| Stratégia | Lehetőségek a lehetséges műveletekhez |
| Fizetés | A konfliktus végeredménye (nyer vagy veszít). |
A játékmodell párosítható vagy több is lehet. Ha két alanyunk van, akkor a konfliktus páros, ha több - többszörös. Antagonisztikus játék is megkülönböztethető, nulla összegű játéknak is nevezik. Ez egy olyan modell, amelyben az egyik résztvevő nyeresége egyenlő a másik veszteségével.
Szimulációs modellek
Ebben a részben a szimulációs matematikai modellekre fogunk figyelni. Példák a feladatokra:
- a mikroorganizmusok számának dinamikájának modellje;
- molekulák mozgásának modellje, és így tovább.
Ebben az esetben olyan modellekről beszélünk, amelyek a lehető legközelebb állnak a valós folyamatokhoz. Általánosságban elmondható, hogy a természetben bármilyen megnyilvánulást utánoznak. Az első esetben például modellezhetjük egy kolóniában a hangyák számának dinamikáját. Ebben az esetben megfigyelheti az egyes egyének sorsát. Ebben az esetben a matematikai leírást ritkán használják, gyakrabban vannak írott feltételek:
- öt nap elteltével a nőstény tojásokat rak;
- 20 nappal később a hangya meghal, és így tovább.
Így szimulációs modelleket használnak egy nagy rendszer leírására. A matematikai következtetés a kapott statisztikai adatok feldolgozása.
Követelmények
Nagyon fontosügyeljen arra, hogy az ilyen típusú modellekre bizonyos követelmények vonatkoznak, köztük az alábbi táblázatban megadottak.
| Sokoldalúság | Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy ugyanazt a modellt használja azonos típusú objektumok csoportjainak leírására. Fontos megjegyezni, hogy az univerzális matematikai modellek teljesen függetlenek a vizsgált objektum fizikai természetétől |
| Megfelelőség | Fontos megérteni, hogy ez a tulajdonság lehetővé teszi a valós folyamatok lehető legpontosabb reprodukálását. Az üzemeltetési feladatoknál a matematikai modellezésnek ez a tulajdonsága nagyon fontos. Egy modellre példa a gázrendszer használatának optimalizálásának folyamata. Ebben az esetben a számított és a tényleges mutatók összehasonlításra kerülnek, ennek eredményeként ellenőrzik az összeállított modell helyességét |
| Pontosság | Ez a követelmény magában foglalja azoknak az értékeknek az egybeesését, amelyeket a matematikai modell és a valós objektumunk bemeneti paramétereinek kiszámításakor kapunk |
| Gazdaság | Minden matematikai modell költséghatékonysági követelményét a megvalósítási költségek jellemzik. Ha a modellel végzett munka kézzel történik, akkor ki kell számítani, hogy mennyi időbe telik egy probléma megoldása ezzel a matematikai modellel. Ha számítógéppel segített tervezésről beszélünk, akkor az idő és a számítógép memória költségének mutatóit kiszámítjuk |
Stádiumokmodellezés
Összesen négy szakaszt szokás megkülönböztetni a matematikai modellezésben.
- Fogadja meg azokat a törvényeket, amelyek összekapcsolják a modell részeit.
- Matematikai problémák kutatása.
- A gyakorlati és elméleti eredmények egybeesésének tisztázása.
- A modell elemzése és modernizálása.
Gazdasági és matematikai modell
Ebben a részben röviden kiemeljük a gazdasági és matematikai modellek kérdéskörét. Példák a feladatokra:
- húskészítmények előállítására szolgáló termelési program kialakítása, a termelés maximális profitjának biztosítása;
- maximalizálja a szervezet profitját a bútorgyárban gyártandó asztalok és székek optimális számának kiszámításával és így tovább.
A közgazdasági-matematikai modell egy gazdasági absztrakciót jelenít meg, amelyet matematikai kifejezésekkel és előjelekkel fejeznek ki.
Számítógépes matematikai modell
Példák számítógépes matematikai modellekre:
- hidraulika problémái folyamatábrák, diagramok, táblázatok stb. használatával;
- problémák a szilárd mechanikával és így tovább.
A számítógépes modell egy objektum vagy rendszer képe, amely a következőképpen jelenik meg:
- asztalok;
- folyamatábrák;
- diagramok;
- grafika és így tovább.
Ez a modell ugyanakkor tükrözi a rendszer felépítését és összekapcsolódásait.
Egy gazdasági-matematikai modell felépítése
Arról már beszéltünk, hogy mi a gazdaságimatematikai modell. A probléma megoldására most egy példát veszünk figyelembe. Elemeznünk kell a termelési programot, hogy azonosítsuk a tartalékot a nyereség növelésére a választék eltolódásával.
Nem fogjuk teljesen megvizsgálni a problémát, csak egy gazdasági és matematikai modellt építünk fel. Feladatunk kritériuma a profitmaximalizálás. Ekkor a függvény alakja: Л=р1х1+р2х2… a maximumra törekszik. Ebben a modellben p az egységenkénti nyereség, x a megtermelt egységek száma. Továbbá a megszerkesztett modell alapján számításokat és összegzést kell végezni.
Példa egy egyszerű matematikai modell felépítésére
Feladat. A halász a következő fogással tért vissza:
- 8 hal - az északi tengerek lakói;
- a fogás 20%-a – a déli tengerek lakói;
- egyetlen halat sem találtak a helyi folyóból.
Hány halat vett a boltban?
Tehát egy példa a probléma matematikai modelljének megalkotására a következő. A halak teljes számát x-szel jelöljük. A feltételt követve 0,2x a déli szélességi körökben élő halak száma. Most összevonjuk az összes rendelkezésre álló információt, és megkapjuk a probléma matematikai modelljét: x=0, 2x+8. Megoldjuk az egyenletet, és megkapjuk a választ a fő kérdésre: vett 10 halat a boltban.
