Polinom vagy polinom – az egyik alapvető algebrai struktúra, amely megtalálható az iskolai és a felsőfokú matematikában. A polinomok tanulmányozása a legfontosabb téma az algebratanfolyamon, mivel egyrészt a polinomok meglehetősen egyszerűek más típusú függvényekhez képest, másrészt széles körben használják matematikai elemzési problémák megoldásában.. Tehát mi az a polinom?
Definíció
A polinom definíciója megadható a monom vagy monom fogalmán keresztül.
A monom a cx1i1x2 alakú kifejezés. i2 …x in. Itt с egy állandó, x1, x2, … x - változók, i1, i2, … in - változók kitevői. Ekkor a polinom a monomok tetszőleges véges összege.
A polinom fogalmának megértéséhez konkrét példákat tekinthet meg.
A 8. osztályos matektanfolyamban részletesen tárgy alt négyzetes trinom egy polinom: ax2+bx+c.
Egy két változót tartalmazó polinom így nézhet ki: x2-xy+y2. Ilyena polinomot az x és y közötti különbség nem teljes négyzetének is nevezik.
Polinomosztályozások
Polinom fokozat
A polinomban lévő minden monomhoz keresse meg az i1+i2+…+in kitevők összegét. Az összegek közül a legnagyobbat a polinom kitevőjének, az ennek megfelelő monomit pedig a legmagasabb tagnak nevezzük.
Egyébként bármely állandó nulla fokú polinomnak tekinthető.
Csökkentett és nem redukált polinomok
Ha a c együttható 1-gyel egyenlő a legmagasabb tagra, akkor a polinom adott, ellenkező esetben nem.
Például az x2+2x+1 kifejezés egy redukált polinom, és a 2x2+2x+1 nem redukálódik.
Homogén és inhomogén polinomok
Ha egy polinom minden tagjának fokszáma egyenlő, akkor azt mondjuk, hogy egy ilyen polinom homogén. Az összes többi polinom nem homogénnek minősül.
Homogén polinomok: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogén: x+1, x2+y.
Vannak speciális nevek a két- és háromtagú polinomoknak: binomiális és trinomiális.
Egy változó polinomjai külön kategóriába vannak rendelve.
Egy változóból álló polinom alkalmazása
Egy változó polinomjai jól közelítenek egy argumentumból származó változó bonyolultságú folytonos függvényeket.
Az a tény, hogy az ilyen polinomokat egy hatványsor részösszegének tekinthetjük, a folytonos függvényt pedig tetszőlegesen kis hibával sorozatként ábrázolhatjuk. Egy függvény bővítési sorozatát Taylor sorozatnak nevezzük, és azokparciális összegek polinomok formájában - Taylor-polinomok.
Egy függvény viselkedésének grafikus tanulmányozása úgy, hogy azt valamilyen polinommal közelítjük, gyakran könnyebb, mint ugyanazt a függvényt közvetlenül vagy sorozatot használni.
Könnyű a polinomok deriváltjainak keresése. A 4-es és az alatti fokú polinomok gyökereinek megtalálásához kész képletek állnak rendelkezésre, a magasabb fokozatokkal való munkavégzéshez pedig nagy pontosságú közelítő algoritmusokat használnak.
Létezik egy általánosítás is a leírt polinomoknak több változó függvényeihez.
Newton binomiálisa
A híres polinomok Newton-polinomok, amelyeket a tudósok származtattak az (x + y).
kifejezés együtthatóinak megtalálása céljából.
Elég megnézni a binomiális dekompozíció első néhány hatványát, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy a képlet nem triviális:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Minden együtthatóhoz van egy kifejezés, amely lehetővé teszi annak kiszámítását. A nehézkes képletek memorizálása és a szükséges aritmetikai műveletek minden egyes alkalommal történő elvégzése azonban rendkívül kényelmetlen lenne azoknak a matematikusoknak, akiknek gyakran van szükségük ilyen bővítésre. Pascal háromszöge sokkal könnyebbé tette az életüket.
A figura a következő elv szerint épül fel. 1-et írunk a háromszög tetejére, és minden következő sorban egy számjeggyel több lesz, az élekre 1 kerül, és a sor közepét az előző két szomszédos szám összegével töltjük ki.
Ha megnézi az illusztrációt, minden világossá válik.
Természetesen a polinomok használata a matematikában nem korlátozódik a megadott példákra, a legszélesebb körben ismertekre.
