Az inverz trigonometrikus függvények hagyományosan nehézségeket okoznak az iskolásoknak. Egy szám arctangensének kiszámításának képességére szükség lehet a planimetriás és sztereometriai USE feladatoknál. Egy egyenlet és egy paraméterrel kapcsolatos probléma sikeres megoldásához ismernie kell az arctangens függvény tulajdonságait.
Definíció
Az x szám arctangense egy olyan y szám, amelynek érintője x. Ez a matematikai meghatározás.
Az arctangens függvény y=arctg x.
Általánosabban: y=Carctg (kx + a).
Számítás
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan működik az arctangens inverz trigonometrikus függvénye, először emlékeznie kell arra, hogyan határozható meg egy szám érintőjének értéke. Nézzük meg közelebbről.
X tangense az x szinuszának és x koszinuszának az aránya. Ha e két mennyiség közül legalább az egyik ismert, akkor a második modulusát az alap trigonometrikus azonosságból kaphatjuk meg:
sin2 x + cos2 x=1.
Igaz, hogy a modul feloldásához értékelésre lesz szükség.
Hamaga a szám ismert, és nem a trigonometrikus jellemzői, akkor a legtöbb esetben a Bradis-táblázatra hivatkozva közelítőleg meg kell becsülni a szám tangensét.
A kivételek az úgynevezett standard értékek.
Ezeket a következő táblázat mutatja be:
A fentieken túlmenően az adatokból ½πк (к - tetszőleges egész szám, π=3, 14) formátumú szám hozzáadásával nyert értékek szabványosnak tekinthetők.
Pontosan ugyanez igaz az arctangensre is: legtöbbször a hozzávetőleges érték látható a táblázatból, de csak néhány érték ismert biztosan:
A gyakorlatban az iskolai matematikai feladatok megoldása során az arctangenst tartalmazó kifejezés formájában szokás a választ adni, nem pedig a hozzávetőleges becslését. Például arctg 6, arctg (-¼).
Grafikon ábrázolása
Mivel az érintő bármilyen értéket felvehet, az arctangens függvény tartománya a teljes számsor. Magyarázzuk el részletesebben.
Ugyanaz az érintő végtelen számú argumentumnak felel meg. Például nem csak a nulla érintője egyenlő nullával, hanem bármely π k alakú szám érintője is, ahol k egész szám. Ezért a matematikusok megállapodtak abban, hogy az arctangens értékeit a -½ π és ½ π közötti intervallumból választják ki. Ezt így kell érteni. Az arctangens függvény tartománya a (-½ π; ½ π) intervallum. A rés végeit nem tartalmazza, mivel a -½p és ½p érintő nem létezik.
A megadott intervallumon az érintő folyamatosannöveli. Ez azt jelenti, hogy az arctangens inverz függvénye is folyamatosan növekszik a teljes számegyenesen, de felülről és alulról korlátos. Ennek eredményeként két vízszintes aszimptotája van: y=-½ π és y=½ π.
Ebben az esetben tg 0=0, az abszcissza tengellyel való egyéb metszéspontok (0;0 kivételével) a grafikonnak nem lehet növekedése miatt.
Amint az érintőfüggvény paritásából következik, az arctangens hasonló tulajdonsággal rendelkezik.
Grafikon létrehozásához vegyen ki néhány pontot a standard értékek közül:
Az y=arctg x függvény deriváltja bármely ponton a következő képlettel számítható ki:
Ne feledje, hogy a származéka mindenhol pozitív. Ez összhangban van a függvény folyamatos növekedéséről korábban levont következtetéssel.
Az arctangens második deriváltja a 0 pontban eltűnik, az argumentum pozitív értékei esetén negatív, és fordítva.
Ez azt jelenti, hogy az arctangens függvény grafikonjának inflexiós pontja van nullán, és lefelé konvex az intervallumon (-∞; 0] és felfelé konvex a [0; +∞) intervallumon.
