A matematika egyik ága, amellyel az iskolások a legnagyobb nehézségekkel küzdenek, a trigonometria. Nem csoda: ahhoz, hogy szabadon elsajátíthassa ezt a tudásterületet, térbeli gondolkodásra van szüksége, képesnek kell lennie szinuszok, koszinuszok, érintők, kotangensek képletekkel történő megtalálására, a kifejezések egyszerűsítésére, valamint a pi szám használatára a számításokban. Ezenkívül a tételek bizonyításakor tudnia kell trigonometriát alkalmazni, ehhez pedig vagy fejlett matematikai memóriára, vagy összetett logikai láncok levezetésének képességére van szükség.
A trigonometria eredete
Ebbe a tudományba való bevezetést a szög szinuszának, koszinuszának és tangensének meghatározásával kell kezdeni, de először ki kell derítened, mit csinál a trigonometria általában.
Történelmileg a derékszögű háromszögek képezték a kutatás fő tárgyát a matematikai tudomány ezen részében. A 90 fokos szög jelenléte lehetővé teszi különféle műveletek elvégzését, amelyek kettőt tesznek lehetővéoldalak és egy sarok vagy két sarok és egy oldal a kérdéses ábra összes paraméterének értékének meghatározásához. A múltban az emberek észrevették ezt a mintát, és aktívan használták az épületek építésében, a navigációban, a csillagászatban és még a művészetben is.
Kezdés
Kezdetben a szögek és az oldalak kapcsolatáról kizárólag a derékszögű háromszögek példáján beszéltek. Ezután speciális képleteket fedeztek fel, amelyek lehetővé tették a matematika e szakaszának a mindennapi életben való felhasználásának határainak kiterjesztését.
A trigonometria tanulmányozása az iskolában ma derékszögű háromszögekkel kezdődik, majd a megszerzett tudást a fizikában és az absztrakt trigonometrikus egyenletek megoldásában hasznosítják a diákok, amivel a munka a középiskolában kezdődik.
Gömb-trigonometria
Később, amikor a tudomány a fejlődés következő szintjére ért, a szinuszos, koszinuszos, érintős, kotangenses képleteket elkezdték használni a gömbgeometriában, ahol más szabályok érvényesek, és a háromszög szögeinek összege mindig több mint 180 fok. Ezt a részt az iskolában nem tanulmányozzák, de tudni kell a létezéséről, legalábbis azért, mert a Föld felszíne és minden más bolygó felszíne domború, ami azt jelenti, hogy a felület bármely jelölése "ív alakú" lesz. " háromdimenziós térben.
Vegyél egy földgömböt és egy szálat. Rögzítse a szálat a földgömb bármely két pontjához úgy, hogy az megfeszüljön. Figyeljen - ív alakot kapott. Olyan formákkal foglalkozika geodéziában, csillagászatban és más elméleti és alkalmazott területeken használt gömbgeometria.
Derékszögű háromszög
Miután egy kicsit megtanultuk a trigonometria használatának módjait, térjünk vissza az alapvető trigonometriához, hogy jobban megértsük, mi a szinusz, koszinusz, tangens, milyen számításokat lehet elvégezni a segítségükkel és milyen képleteket kell használni.
Először is meg kell értened a derékszögű háromszöggel kapcsolatos fogalmakat. Először is, a hipotenusz a 90 fokos szöggel ellentétes oldal. Ő a leghosszabb. Emlékezzünk rá, hogy a Pitagorasz-tétel szerint a számértéke megegyezik a másik két oldal négyzetösszegének gyökével.
Például, ha két oldal 3, illetve 4 centiméteres, akkor a hipotenusz hossza 5 centiméter. Egyébként az ókori egyiptomiak körülbelül négy és fél ezer éve tudtak erről.
A két fennmaradó old alt, amelyek derékszöget alkotnak, lábnak nevezzük. Ezenkívül emlékeznünk kell arra is, hogy egy téglalap alakú koordinátarendszerben a háromszög szögeinek összege 180 fok.
Definíció
Végül, ha jól ismerjük a geometriai alapot, rátérhetünk a szög szinuszának, koszinuszának és tangensének meghatározására.
A szög szinusza a szemközti láb (vagyis a kívánt szöggel ellentétes oldal) és az alsó rész aránya. A szög koszinusza a szomszédos láb és a hipotenusz aránya.
Ne feledje, hogy sem a szinusz, sem a koszinusz nem lehet nagyobb egynél! Miért?Mivel a befogó alapértelmezés szerint a derékszögű háromszög leghosszabb oldala. Nem számít, milyen hosszú a láb, rövidebb lesz, mint a hypotenusa, ami azt jelenti, hogy arányuk mindig kisebb lesz egynél. Így ha a feladatra adott válaszban 1-nél nagyobb értékű szinusz vagy koszinusz kap, keressen hibát a számításokban vagy az érvelésben. Ez a válasz egyértelműen rossz.
Végül egy szög érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya. Ugyanez az eredmény adja a szinusz koszinuszos osztását. Nézd: a képlet szerint az oldal hosszát elosztjuk a befogóval, majd elosztjuk a második oldal hosszával és megszorozzuk a befogóval. Így ugyanazt az arányt kapjuk, mint az érintő definíciójában.
Kotangens a sarokkal szomszédos oldal és a szemközti oldal aránya. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha az egységet elosztjuk az érintővel.
Tehát megvizsgáltuk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit, és foglalkozhatunk a képletekkel.
Egyszerű képletek
A trigonometriában nem nélkülözhetjük a képleteket – hogyan lehet nélkülük szinust, koszinust, érintőt, kotangenst találni? De pontosan erre van szükség a problémák megoldásához.
Az első képlet, amelyet tudnia kell a trigonometria tanulmányozásának megkezdésekor, azt mondja, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege eggyel egyenlő. Ez a képlet egyenes következménye a Pitagorasz-tételnek, de időt takarít meg, ha a szög értékét kell megtudnia, nem az oldalát.
Sok diák nem emlékszik a második képletre, szintén nagyoniskolai feladatok megoldásában népszerű: egy és egy szög érintőjének négyzete egyenlő a szög koszinuszának négyzetével osztva. Nézze meg közelebbről: elvégre ez ugyanaz az állítás, mint az első képletben, csak az azonosság mindkét oldalát elosztottuk a koszinusz négyzetével. Kiderült, hogy egy egyszerű matematikai művelet teljesen felismerhetetlenné teszi a trigonometrikus képletet. Ne feledje: ha ismeri a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens fogalmát, az átalakítási szabályokat és néhány alapvető képletet, bármikor önállóan levezetheti a szükséges összetettebb képleteket egy papírlapon.
Kettős szögképletek és argumentumok hozzáadása
Két további megtanulandó képlet kapcsolódik a szögek összegének és különbségének szinuszos és koszinuszos értékéhez. Az alábbi ábrán láthatók. Kérjük, vegye figyelembe, hogy az első esetben a szinusz és a koszinusz mindkétszer megszorozódik, a második esetben pedig a szinusz és a koszinusz páronkénti szorzata adódik össze.
A kettős szög argumentumokhoz képletek is kapcsolódnak. Teljesen az előzőekből származnak – gyakorlatként próbálja meg saját maga megszerezni őket, úgy, hogy az alfa szög egyenlő a béta szögével.
Végezetül vegye figyelembe, hogy a kettős szögképletek konvertálhatók a szinusz, koszinusz, alfa érintő mértékének csökkentésére.
Tételek
Az alapvető trigonometria két fő tétele a szinusztétel és a koszinusztétel. Ezeknek a tételeknek a segítségével könnyen megértheti, hogyan kell megtalálni a szinusz, a koszinusz és az érintő, és ezáltal az ábra területét és a nagyságát.mindkét oldalon stb.
A szinusztétel kimondja, hogy ha egy háromszög oldalainak hosszát elosztjuk az ellentétes szög értékével, akkor ugyanazt a számot kapjuk. Ráadásul ez a szám egyenlő lesz a körülírt kör két sugarával, vagyis annak a körnek a körével, amely az adott háromszög összes pontját tartalmazza.
A koszinusztétel általánosítja a Pitagorasz-tételt, bármely háromszögre vetítve. Kiderül, hogy a két oldal négyzeteinek összegéből vonja ki a szorzatukat, megszorozva a velük szomszédos szög kettős koszinuszával - a kapott érték egyenlő lesz a harmadik oldal négyzetével. Így a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esetének bizonyul.
Gondatlanságból fakadó hibák
Még annak tudatában is, hogy mi a szinusz, koszinusz és tangens, könnyen hibázhatunk a figyelmetlenség vagy a legegyszerűbb számítások hibája miatt. Az ilyen hibák elkerülése érdekében vessünk egy pillantást a legnépszerűbbekre.
Először is, ne alakítsa át a közönséges törteket tizedesjegyekké, mielőtt megkapja a végeredményt – a választ meghagyhatja köztörtként, hacsak a feltételben másként nem szerepel. Egy ilyen átalakítás nem nevezhető hibának, de emlékezni kell arra, hogy a feladat minden szakaszában új gyökerek jelenhetnek meg, amelyeket a szerző elképzelése szerint csökkenteni kell. Ebben az esetben felesleges matematikai műveletekre pazarolja az időt. Ez különösen igaz az olyan értékekre, mint a három vagy kettő gyöke, mivel ezek minden lépésben előfordulnak a feladatokban. Ugyanez vonatkozik a kerekítésre is."Csúnya" számok.
Ezután vegye figyelembe, hogy a koszinusztétel bármely háromszögre vonatkozik, a Pitagorasz-tételre azonban nem! Ha tévedésből elfelejti kivonni az oldalak szorzatának kétszeresét a köztük lévő szög koszinuszával, akkor nemcsak teljesen rossz eredményt kap, hanem a téma teljes félreértését is mutatja. Ez rosszabb, mint egy gondatlan hiba.
Harmadszor, ne keverje össze a szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek 30 és 60 fokos szögeinek értékeit. Ne felejtse el ezeket az értékeket, mert a 30 fok szinusza egyenlő a 60 koszinuszával, és fordítva. Könnyű összekeverni őket, és elkerülhetetlenül hibás eredményt kap.
Alkalmazás
Sok diák nem siet elkezdeni trigonometriát tanulni, mert nem érti annak alkalmazott jelentését. Mit jelent a szinusz, koszinusz, tangens egy mérnök vagy csillagász számára? Ezek olyan fogalmak, amelyeknek köszönhetően kiszámíthatja a távoli csillagok távolságát, megjósolhatja a meteorit esését, kutatószondát küldhet egy másik bolygóra. Ezek nélkül lehetetlen épületet építeni, autót tervezni, kiszámítani a felület terhelését vagy egy tárgy pályáját. És ezek csak a legszembetűnőbb példák! Végül is a trigonometriát ilyen vagy olyan formában mindenhol használják, a zenétől az orvostudományig.
Befejezésül
Tehát tudod, mi a szinusz, koszinusz, érintő. Használhatja őket számításokhoz, és sikeresen megoldhatja az iskolai feladatokat.
Az egész lényegA trigonometria arra a tényre redukálódik, hogy a háromszög ismert paraméterei szerint ki kell számítani az ismeretleneket. Összesen hat paraméter van: három oldal hossza és három szög nagysága. A feladatok teljes különbsége abban rejlik, hogy különböző bemeneti adatokat adnak meg.
Hogyan lehet megtalálni a szinusz, koszinusz, érintőt a lábak ismert hossza vagy a hipotenusz alapján, most már tudja. Mivel ezek a kifejezések nem jelentenek mást, mint egy arányt, az arány pedig tört, ezért a trigonometrikus probléma fő célja egy közönséges egyenlet vagy egyenletrendszer gyökereinek megtalálása. És itt a szokásos iskolai matematika segít.
