A matematikában egy fontos fogalom a függvény. Segítségével számos, a természetben előforduló folyamatot megjeleníthet, képletek, táblázatok és grafikonon lévő képek segítségével tükrözheti bizonyos mennyiségek kapcsolatát. Példa erre a folyékony réteg nyomásának a testre való függése a merülés mélységétől, a gyorsulástól - egy bizonyos erő hatásától egy tárgyra, a hőmérséklet növekedésétől - az átvitt energiától és sok más folyamattól. Egy függvény tanulmányozása magában foglalja a gráf felépítését, tulajdonságainak, hatókörének és értékeinek, növekedési és csökkenési intervallumainak tisztázását. Ennek a folyamatnak egy fontos pontja a szélsőséges pontok megtalálása. Arról, hogyan kell helyesen csinálni, és a beszélgetés folytatódik.
Magáról a koncepcióról egy konkrét példán
Az orvostudományban a függvénygrafikon ábrázolása megmutatja a beteg testében lévő betegség előrehaladását, vizuálisan tükrözve állapotát. Tegyük fel, hogy az időt napokban az OX tengely mentén, az emberi test hőmérsékletét pedig az OY tengely mentén ábrázoljuk. Az ábrán jól látható, hogy ez a mutató hogyan emelkedik meredeken, ésakkor leesik. Könnyű észrevenni azokat a szinguláris pontokat is, amelyek azokat a pillanatokat tükrözik, amikor a funkció, miután korábban növekedett, csökkenni kezd, és fordítva. Ezek a szélső pontok, vagyis a kritikus értékek (maximum és minimum) a páciens hőmérsékletének jelen esetben, ami után az állapotában változások következnek be.
Dőlésszög
Az ábráról könnyen megállapítható, hogyan változik egy függvény deriváltja. Ha a grafikon egyenesei idővel felfelé mennek, akkor az pozitív. És minél meredekebbek, annál nagyobb a derivált értéke, ahogy a dőlésszög növekszik. A csökkenés időszakaiban ez az érték negatív értékeket vesz fel, szélső pontokon nullára fordul, és ez utóbbi esetben a derivált grafikonja párhuzamos az OX tengellyel.
Bármely más folyamatot ugyanígy kell kezelni. De a legjobb dolog ebben a koncepcióban meg tudja mondani a különböző testek mozgását, amely jól látható a grafikonokon.
Mozgás
Tegyük fel, hogy egy tárgy egyenes vonalban mozog, egyenletesen gyorsítva. Ebben az időszakban a test koordinátáinak változása grafikusan ábrázol egy bizonyos görbét, amelyet a matematikus a parabola ágának nevezne. Ugyanakkor a funkció folyamatosan növekszik, mivel a koordináta-jelzők másodpercről másodpercre gyorsabban változnak. A sebesség grafikon a derivált viselkedését mutatja, melynek értéke is nő. Ez azt jelenti, hogy a mozgásnak nincsenek kritikus pontjai.
A végtelenségig folytatódott volna. De ha a test hirtelen úgy dönt, hogy lassít, állj meg és kezdj el egy másikban mozogniirány? Ebben az esetben a koordináta mutatók csökkenni kezdenek. És a függvény átadja a kritikus értéket, és növekvőről csökkenőre vált.
Ebben a példában ismét megértheti, hogy a függvénygrafikon szélsőpontjai azokban a pillanatokban jelennek meg, amikor az már nem monoton.
A származék fizikai jelentése
A korábban leírtak egyértelműen megmutatták, hogy a derivált lényegében a függvény változási sebessége. Ez a finomítás tartalmazza a fizikai jelentését. Az extrém pontok kritikus területek a diagramon. Ezek kiderítése és kimutatása a derivált értékének kiszámításával lehetséges, amely nullával egyenlő.
Van még egy jel, ami elégséges feltétele az extrémumnak. A derivált az ilyen inflexiós helyeken változtatja előjelét: "+"-ról "-"-ra a maximum tartományában és "-"-ről "+"-ra a minimum tartományában.
Mozgás a gravitáció hatására
Képzeljünk el egy másik helyzetet. A labdázó gyerekek úgy dobták el, hogy az ferdén kezdett mozogni a látóhatárhoz képest. A kezdeti pillanatban ennek az objektumnak a sebessége volt a legnagyobb, de a gravitáció hatására csökkenni kezdett, és minden másodpercben ugyanazzal az értékkel, ami körülbelül 9,8 m/s2. Ez annak a gyorsulásnak az értéke, amely a föld gravitációja hatására fellép a szabadesés során. A Holdon körülbelül hatszor kisebb lenne.
A test mozgását leíró grafikon egy parabola ágakkal,lefelé. Hogyan lehet extrém pontokat találni? Ebben az esetben ez a függvény csúcsa, ahol a test (labda) sebessége nulla értéket vesz fel. A függvény deriváltja nulla lesz. Ebben az esetben az irány, és így a sebesség értéke az ellenkezőjére változik. A test minden másodperccel egyre gyorsabban repül lefelé, és ugyanannyit gyorsul - 9,8 m/s2.
Második származék
Az előző esetben a sebességmodulus grafikonját egyenesként rajzoltuk meg. Ez a vonal először lefelé irányul, mivel ennek a mennyiségnek az értéke folyamatosan csökken. Miután az egyik időpontban elérte a nullát, ennek az értéknek a mutatói növekedni kezdenek, és a sebességmodul grafikus ábrázolásának iránya drámaian megváltozik. A vonal most felfelé mutat.
A sebességnek, amely a koordináta időbeli deriváltja, szintén van egy kritikus pontja. Ebben a régióban a funkció kezdetben csökkenőben kezd növekedni. Ez a függvény deriváltjának szélsőpontjának helye. Ebben az esetben az érintő meredeksége nulla lesz. A gyorsulás pedig, amely a koordináta második deriváltja az idő függvényében, az előjelet „-”-ról „+”-ra változtatja. És az egyenletesen lassú mozgás egyenletesen gyorsul.
Gyorsulási diagram
Most nézzünk meg négy képet. Mindegyik egy olyan grafikont jelenít meg, amely egy olyan fizikai mennyiség időbeli változását mutatja, mint a gyorsulás. "A" esetén értéke pozitív és állandó marad. Ez azt jelenti, hogy a test sebessége, akárcsak a koordinátája, folyamatosan növekszik. Ha egyképzeljük el, hogy az objektum végtelenül sokáig fog így mozogni, a koordináta időfüggőségét tükröző függvény folyamatosan növekszik. Ebből következik, hogy nincsenek kritikus régiói. A derivált, azaz lineárisan változó sebesség grafikonján sincsenek szélsőpontok.
Ugyanez vonatkozik a „B” esetre is, pozitív és folyamatosan növekvő gyorsulással. Igaz, a koordináták és a sebesség ábrázolása itt valamivel bonyolultabb lesz.
Ha a gyorsulás nullára hajlik
A "B" kép megtekintésekor egy teljesen más kép látható, amely a test mozgását jellemzi. Sebessége grafikusan egy parabolaként lesz ábrázolva, amelynek ágai lefelé mutatnak. Ha a gyorsulás változását leíró sort az OX tengellyel való metszésig folytatjuk, és tovább, akkor elképzelhetjük, hogy addig a kritikus értékig, ahol a gyorsulás nullával egyenlő, az objektum sebessége megnő. egyre lassabban. A koordinátafüggvény deriváltjának szélső pontja éppen a parabola tetején lesz, ezután a test radikálisan megváltoztatja a mozgás természetét, és a másik irányba kezd el mozogni.
Az utóbbi "G" esetben a mozgás jellege nem határozható meg pontosan. Itt csak azt tudjuk, hogy a vizsgált időszakban nincs gyorsulás. Ez azt jelenti, hogy a tárgy a helyén maradhat, vagy a mozgás állandó sebességgel történik.
Koordináta hozzáadása feladat
Térjünk át azokra a feladatokra, amelyek gyakran előfordulnak az iskolai algebra tanulmányozása során, és amelyeketfelkészülés a vizsgára. Az alábbi ábra a függvény grafikonját mutatja. Ki kell számítani az extrém pontok összegét.
Tegyük ezt az y tengelyre úgy, hogy meghatározzuk azon kritikus tartományok koordinátáit, ahol a függvény jellemzőiben változás figyelhető meg. Egyszerűen fogalmazva, megkeressük az értékeket az x tengely mentén az inflexiós pontokhoz, majd folytassuk a kapott tagok hozzáadásával. A grafikon szerint nyilvánvaló, hogy a következő értékeket veszik fel: -8; -7; -5; -3; -2; egy; 3. Ez összeadja -21-et, ami a válasz.
Optimális megoldás
Fontos magyarázni, hogy a gyakorlati feladatok elvégzésében mennyire fontos lehet az optimális megoldás kiválasztása. Végül is sok módja van a cél elérésének, és a legjobb kiút általában csak egy. Ez rendkívül szükséges például hajók, űrjárművek és repülőgépek, építészeti struktúrák tervezésekor, hogy megtalálják ezeknek az ember alkotta tárgyaknak az optimális alakját.
A járművek sebessége nagymértékben függ a vízen és levegőn áthaladó ellenállás megfelelő minimalizálásától, a gravitációs erők és sok más mutató hatására fellépő túlterheléstől. A tengeren közlekedő hajónak olyan tulajdonságokra van szüksége, mint a stabilitás vihar alatt; a folyami hajóknál a minimális merülés fontos. Az optimális tervezés kiszámításakor a grafikon szélsőpontjai vizuálisan képet adnak egy összetett probléma legjobb megoldásáról. Az ilyen jellegű feladatok gyakrana gazdaságban, a gazdasági területeken, sok más élethelyzetben megoldódnak.
Az ókori történelemből
Az extrém problémák még az ókori bölcseket is foglalkoztatták. A görög tudósok matematikai számításokkal sikeresen megfejtették a területek és térfogatok titkát. Ők értették meg először, hogy különböző, azonos kerületű alakzatok síkján mindig a körnek van a legnagyobb területe. Hasonlóképpen, egy labdának van felruházva a legnagyobb térfogata a térben lévő, azonos felületű objektumok között. Olyan híres személyiségek, mint Arkhimédész, Euklidész, Arisztotelész, Apollonius szentelték magukat az ilyen problémák megoldásának. Nagyon jól sikerült extrém pontokat találnia Heronnak, aki számításokhoz folyamodva zseniális eszközöket épített. Ide tartoztak a gőzzel mozgó automaták, szivattyúk és ugyanazon az elven működő turbinák.
Karthágó építése
Van egy legenda, melynek cselekménye az egyik szélsőséges probléma megoldásán alapul. A föníciai hercegnő üzleti megközelítésének eredménye, aki a bölcsekhez fordult segítségért, Karthágó megépítése volt. Ennek az ősi és híres városnak a telkét az egyik afrikai törzs vezetője ajándékozta Didónak (ez volt az uralkodó neve). A kiosztás területe elsőre nem tűnt túl nagynak, mivel a szerződés szerint ökörbőrrel kellett lefedni. De a hercegnő megparancsolta katonáinak, hogy vágják vékony csíkokra, és készítsenek belőlük övet. Olyan hosszúnak bizonyult, hogy lefedte az old alt,ahol az egész város elfér.
A számítás eredete
És most térjünk át az ókorból egy későbbi korszakba. Érdekes módon a 17. században Keplert egy borárussal folytatott találkozó késztette arra, hogy megértse a matematikai elemzés alapjait. A kereskedő annyira jártas volt a szakmájában, hogy könnyen meg tudta határozni a hordóban lévő ital térfogatát, ha egyszerűen leeresztett egy vas érszorítót. Egy ilyen érdekességre gondolva a híres tudósnak sikerült megoldania ezt a dilemmát magának. Kiderült, hogy az akkori idők ügyes kádárjai rájöttek, hogy az edényeket úgy készítsék, hogy a rögzítőgyűrűk kerületének bizonyos magasságában és sugarában maximális kapacitásuk legyen.
Ez Kepler miatt volt a további gondolkodásra. A Bocharok hosszas keresgélés, hibák és újabb próbálkozások révén jutottak el az optimális megoldáshoz, tapasztalataikat generációról generációra adva. Kepler azonban fel akarta gyorsítani a folyamatot, és megtanulni, hogyan kell ezt rövid időn belül matematikai számításokkal megtenni. Minden fejlesztése, amelyet a kollégák átvettek, Fermat és Newton - Leibniz ma már ismert tételeivé változtak.
Maximális terület probléma
Képzeljük el, hogy van egy 50 cm-es vezetékünk. Hogyan csináljunk belőle legnagyobb területű téglalapot?
A döntés megkezdésekor az egyszerű és ismert igazságokból kell kiindulni. Jól látható, hogy a figuránk kerülete 50 cm lesz, ráadásul mindkét oldal hosszának kétszereséből áll. Ez azt jelenti, hogy ha az egyiket "X"-szel jelölte meg, a másikat (25 - X) lehet kifejezni.
Innen kapjukX-szel egyenlő terület (25 - X). Ez a kifejezés olyan függvényként ábrázolható, amely sok értéket vesz fel. A feladat megoldásához meg kell találni belőlük a maximumot, ami azt jelenti, hogy meg kell találni az extrém pontokat.
Ehhez megkeressük az első deriváltot, és egyenlővé tesszük nullával. Az eredmény egy egyszerű egyenlet: 25 - 2X=0.
Ebből megtudjuk, hogy az egyik oldal X=12, 5.
Ezért egy másik: 25 – 12, 5=12, 5.
Kiderül, hogy a feladat megoldása egy 12,5 cm-es oldalú négyzet lesz.
Hogyan találjuk meg a maximális sebességet
Vegyünk még egy példát. Képzeljük el, hogy van egy test, amelynek egyenes vonalú mozgását az S=- t3 + 9t2 – 24t – 8 egyenlet írja le, ahol a távolság a megtett értéket méterben fejezzük ki, az időt pedig másodpercben. Meg kell találni a maximális sebességet. Hogyan kell csinálni? A letöltött keresse meg a sebességet, vagyis az első derivált.
Megkapjuk az egyenletet: V=- 3t2 + 18t – 24. A probléma megoldásához ismét meg kell találnunk a szélsőpontokat. Ezt ugyanúgy kell elvégezni, mint az előző feladatnál. Keresse meg a sebesség első deriváltját, és tegye egyenlővé nullával.
A következőt kapjuk: - 6t + 18=0. Ebből t=3 s. Ez az az idő, amikor a test sebessége kritikus értéket vesz fel. A kapott adatokat behelyettesítjük a sebességegyenletbe, és megkapjuk: V=3 m/s.
De hogyan lehet megérteni, hogy pontosan ez a maximális sebesség, mert egy függvény kritikus pontjai a maximum vagy a minimum értékei lehetnek? Az ellenőrzéshez meg kell találnia egy másodikata sebesség deriváltja. 6-os számként van kifejezve, mínuszjellel. Ez azt jelenti, hogy a talált pont a maximum. A második derivált pozitív értéke esetén pedig minimum lenne. Tehát a talált megoldás helyesnek bizonyult.
A példaként megadott feladatok csak egy részét képezik azoknak, amelyeket úgy lehet megoldani, hogy meg tudjuk találni egy függvény szélsőpontjait. Valójában sokkal több van. És ez a tudás korlátlan lehetőségeket nyit meg az emberi civilizáció előtt.
