A térfogat minden olyan alak jellemzője, amelynek a tér mindhárom dimenziójában nullától eltérő méretei vannak. Ebben a cikkben a sztereometria (a térbeli alakzatok geometriája) szempontjából egy prizmát fogunk megvizsgálni, és megmutatjuk, hogyan találjuk meg a különböző típusú prizmák térfogatait.
Mi az a prizma?
A sztereometria megadja a pontos választ erre a kérdésre. Ebben a prizmában két azonos sokszöglapból és több paralelogrammából álló alakot kell érteni. Az alábbi képen négy különböző prizma látható.
Mindegyik a következőképpen érhető el: vegyen egy sokszöget (háromszög, négyszög stb.) és egy bizonyos hosszúságú szakaszt. Ezután a sokszög minden csúcsát párhuzamos szegmensekkel át kell vinni egy másik síkra. Az új síkban, amely párhuzamos lesz az eredetivel, egy új sokszöget kapunk, hasonlóan az eredetileg kiválasztotthoz.
A prizmák különböző típusúak lehetnek. Tehát lehetnek egyenesek, ferdék és helyesek. Ha a prizma oldalsó éle (szegmens,az alapok csúcsait összekötő) az ábra alapjaira merőlegesen, akkor az utóbbi egy egyenes. Ennek megfelelően, ha ez a feltétel nem teljesül, akkor ferde prizmáról beszélünk. A szabályos alak egy derékszögű és egyenlő oldalú alappal rendelkező prizma.
A cikk későbbi részében megmutatjuk, hogyan kell kiszámítani az egyes ilyen típusú prizmák térfogatát.
Szabályos prizmák térfogata
Kezdjük a legegyszerűbb esettel. Megadjuk egy n-szögű alappal rendelkező szabályos prizma térfogatának képletét. A vizsgált osztály bármely alakjának V térfogati képlete a következő:
V=Soh.
Azaz a térfogat meghatározásához elég kiszámítani az egyik So alap területét és megszorozni az ábra h magasságával.
Szabályos prizma esetén az alapja oldalának hosszát jelöljük a betűvel, magasságát, amely megegyezik az oldalél hosszával, h betűvel. Ha az n-szög alapja helyes, akkor a területének kiszámításának legegyszerűbb módja a következő univerzális képlet:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Az n oldalak számának értékét és az egyik a oldal hosszát behelyettesítve egyenlőségbe, kiszámíthatja az n-szögű alap területét. Vegye figyelembe, hogy a kotangens függvény itt a pi/n szögre vonatkozik, amelyet radiánban fejezünk ki.
Tekintettel az S-re írt egyenlőségre, megkapjuk a szabályos prizma térfogatának végső képletét:
V=n/4a2hctg(pi/n).
Minden konkrét esetre felírhatja a megfelelő képleteket V-re, de mindegyiketegyedülállóan következnek az írott általános kifejezésből. Például egy szabályos négyszögű prizmára, amely általános esetben egy téglalap alakú paralelepipedon, a következőt kapjuk:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
Ha ebben a kifejezésben h=a-t vesszük, akkor megkapjuk a kocka térfogatának képletét.
Közvetlen prizmák térfogata
Rögtön megjegyezzük, hogy az egyenes alakzatokhoz nincs általános térfogatszámítási képlet, amit fentebb a szabályos prizmáknál megadtunk. A kérdéses érték megtalálásakor az eredeti kifejezést kell használni:
V=Soh.
Itt h az oldalél hossza, mint az előző esetben. Ami az So alapterületet illeti, sokféle értéket vehet fel. Az egyenes térfogat-prizma kiszámításának feladata az alapterületének megtalálására korlátozódik.
Az Soérték kiszámítását magának az alapnak a jellemzői alapján kell elvégezni. Például, ha ez egy háromszög, akkor a terület a következőképpen számítható ki:
So3=1/2aha.
Itt ha a háromszög apotémje, vagyis a magassága az a alapra süllyesztett.
Ha az alap négyszög, akkor lehet trapéz, paralelogramma, téglalap vagy teljesen tetszőleges típusú. Mindezen esetekben a megfelelő planimetriai képletet kell használni a terület meghatározásához. Például egy trapéz esetében ez a képlet így néz ki:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
Ahol ha a trapéz magassága, a1 és a2 a hossza párhuzamos oldalainak.
A magasabb rendű sokszögek területének meghatározásához egyszerű alakzatokra (háromszögekre, négyszögekre) kell osztani őket, és ki kell számítani az utóbbiak területének összegét.
Döntött prizmás hangerő
Ez a prizma térfogatának kiszámításának legnehezebb esete. Az ilyen számokra vonatkozó általános képlet is érvényes:
V=Soh.
A tetszőleges típusú sokszöget képviselő alap területének megtalálásának bonyolultságához azonban hozzáadódik az ábra magasságának meghatározásának problémája. Mindig kisebb, mint egy ferde prizma oldalélének hossza.
Ezt a magasságot a legkönnyebben úgy találhatja meg, ha ismeri az ábra bármely szögét (lapos vagy kétszögletű). Ha adott egy ilyen szög, akkor ezzel a prizmán belül egy derékszögű háromszöget kell készíteni, amelynek egyik oldalaként a h magasság lenne, és trigonometrikus függvények és a Pitagorasz-tétel segítségével meg kell keresni a h értéket.
Geometriai térfogati probléma
Adott egy szabályos prizma háromszög alappal, amelynek magassága 14 cm, oldalhossza 5 cm. Mekkora a háromszög alakú prizma térfogata?
Mivel a helyes ábráról beszélünk, jogunk van a jól ismert képlet használatára. Nálunk:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 cm3.
A háromszög alakú prizma meglehetősen szimmetrikus alakzat, amelynek formájában gyakran különféle építészeti szerkezeteket készítenek. Ezt az üvegprizmát az optikában használják.
